Exerc´ıcios e Problemas de ´
Algebra
Linear
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer 1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
23 de agosto de 2010
1e-mail: [email protected]
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Problemas e Exercícios de Álgebra Linear I, Exercícios de Matemática
Atualizado em 23 de Agosto de 2010. Contém os exercícios dos primeiros quatro capítulos do curso de Álgebra Linear e dos dois apêndices. Todas as listas estão incompletas e desordenadas.
Tipologia: Exercícios
Antes de 2010
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Exerc´ıcios e Problemas de ´Algebra
Linear
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer
1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
23 de agosto de 2010
(^1) e-mail: [email protected]
Sum´ario
- 1 Espa¸cos Vetoriais
- 1.1 Alguns exemplos conhecidos
- 1.2 A defini¸c˜ao de espa¸co vetorial
- 1.3 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um corpo
- 1.4 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um espa¸co vetorial
- 1.5 Propriedades elementares dos espa¸cos vetoriais
- 2 Subespa¸cos vetoriais
- 2.1 Subespa¸cos e n˜ao–subespa¸cos
- 2.2 Interse¸c˜ao de subespa¸cos
- 2.3 Soma de subespa¸cos vetoriais
- 2.4 Espa¸cos afins
- 3 Transforma¸c˜oes Lineares
- 3.1 Morfismos entre espa¸cos vetoriais
- 3.2 Propriedades das transforma¸c˜oes lineares
- 3.3 Transforma¸c˜oes afins
- 4 Bases e Dimens˜ao
- 4.1 Representa¸c˜ao matricial de operadores
- 4.2 Combina¸c˜oes lineares
- 4.3 Base de um espa¸co vetorial
- 4.4 Dimens˜ao
- A Teoria de Conjuntos
- A.1 Conjuntos e fun¸c˜oes
- A.2 Fam´ılias de conjuntos
- B O Axioma da Escolha
- B.1 Sobre a existˆencia de fun¸c˜oes de escolha
- B.2 O Axioma da Escolha
- B.3 Vers˜oes restritas do Axioma da Escolha
Terceiro m´etodo. Como para todo v ∈ R 2 existe −v ∈ R 2 tal que v + (−v) = (0, 0), so- mando (−x) em ambos termos da igualdade x + z = y, e usando a comutatividade e a associatividade adi¸c˜ao temos
(−x) + (x + z) = (−x) + y
((−x) + x) + z = y + (−x)
(0, 0) + z = y + (−x)
z = (− 2 , 3) + (− 5 , −1)
z = (− 7 , 2).
Dos trˆes m´etodos, o ´ultimo ´e o ´unico que se pode generalizar para outros espa¸cos.
Exerc´ıcio 1.1.2 Seja V = {x ∈ R^2 / x 1 + x 2 = 0}. Determine quais dos seguintes vetores s˜ao
elementos de V.
- x = (3, 2), y = (1, −6), z = (
2), e w = (−π, π).
- x + y, x − y, z + w, e z − w.
3 x −
√ 2 2 y,^
3 z −
√ 2 2 w.
Solu¸c˜ao.
- Como x = (3, 2) temos x 1 + x 2 = 5 6 = 0, logo x /∈ V. Do mesmo modo temos y 1 + y 2 = − 5 6 = 0, e portanto y /∈ V. Por outro lado, z 1 + z 2 = w 1 + w 2 = 0, e portanto z, w ∈ V.
- Temos x + y = (4, −4), e portanto (x + y) 1 + (x + y) 2 = 0, ou seja x + y ∈ V. J´a x − y = (2, 8), e portanto (x − y) 1 + (x − y) 2 = 10 6 = 0, ou seja x + y /∈ V. Por outro lado temos z +w = (
2 −π, −
2+π) e z −w = (
2+π, −
2 −π), e portanto z +w, z −w ∈ V.
- Temos
3 x −
√ 2 2 y^ =
√ 2 2 ,^2
, logo
3 x −
√ 2 2 y
1
3 x −
√ 2 2 y
2
√ 2 2
e portanto
3 x −
√ 2 2 y /∈ V. Por outro lado,
3 z −
√ 2 2 w =
6 + π
√ 2 2
6 − π
√ 2 2
, e
portanto
3 z −
√ 2 2 w^ ∈^ V^.
Exerc´ıcio 1.1.3 Sejam V = {x ∈ R 3 / x 1 + x 2 + x 3 = 0} e W = {x ∈ R 3 / x 1 = x 2 = x 3 }.
Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de W.
- x = (3, 5 , −2),
- y = (π,
Solu¸c˜ao.
- Sejam v ∈ V e w ∈ W tais que v + w = x. Em componentes temos
(v 1 + w 1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 ) = (3, 5 , −2). (1.1)
Somando as componentes obtemos
(v 1 + v 2 + v 3 ) + (w 1 + w 2 + w 3 ) = 6. (1.2)
Como v ∈ V temos v 1 + v 2 + v 3 = 0, e como w ∈ W temos w 1 + w 2 + w 3 = 3w 1. Substituindo estes valores em (1.2) obtemos 3w 1 = 6, e portanto w 1 = 2. A soma (1.1) toma ent˜ao a forma (v 1 + 2, v 2 + 2, v 3 + 2) = (3, 5 , −2).
Temos ent˜ao v 1 = 1, v 2 = 3 e v 3 = −4. Segue–se que v = (1, 3 , −4) e w = (2, 2 , 2).
- Sejam v ∈ V e w ∈ W tais que v + w = y. Em componentes temos
(v 1 + w 1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 ) = (π,
Somando as componentes obtemos
(v 1 + v 2 + v 3 ) + (w 1 + w 2 + w 3 ) = π +
Como v ∈ V temos v 1 + v 2 + v 3 = 0, e como w ∈ W temos w 1 + w 2 + w 3 = 3w 1. Substituindo estes valores na igualdade (1.4) obtemos 3w 1 = π +
2 + 1, e portanto
w 1 = π+
√ 2+
- A soma (1.3) toma ent˜ao a forma
(v 1 + π+
√ 2+ 3 , v^2 +^
π+
√ 2+ 3 , v^3 +^
π+
√ 2+ 3 ) = (π,^
Temos ent˜ao v 1 = 2 π−
√ 2 − 1 3 ,^ v^2 =^
2
√ 2 −π− 1 3 e^ v^3 =^
2 −π−
√ 2 3 , e portanto
v = ( 2 π−
√ 2 − 1 3 ,^
2
√ 2 −π− 1 3 ,^
2 −π−
√ 2 3 )^ e^ w^ = (
π+
√ 2+ 3 ,^
π+
√ 2+ 3 ,^
π+
√ 2+ 3 )^.
Exerc´ıcio 1.1.4 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ R n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz = 0.
- x = (2, 3 , 4), y = (− 1 , 0 , 3) e z = (1, 1 , 1).
- x = (− 1 , 2 5 ,^ 1),^ y^ = (−^4 ,^4 ,^ −5) e^ z^ = (
1 2 ,^1 ,^ −5).
Solu¸c˜ao.
- Se existem α, β, γ ∈ R tais que αx + βy + γz = 0, ent˜ao
α(2, 3 , 4) + β(− 1 , 0 , 3) + γ(1, 1 , 1) = (0, 0 , 0) ,
ou em componentes,
(2α − β + γ, 3 α + γ, 4 α + 3β + γ) = (0, 0 , 0).
- x = (1, 1 , 0), y = (− 2 , 5 , 1), z = (1, 1 , 2), e u = (4, − 3 , 1).
- x = (− 2 , 1 , 2), y = (1, 4 , 1), z = (3, 3 , −1), e u = (− 2 , 0 , 6).
Solu¸c˜ao.
- Se existem tais α, β, γ ∈ R temos
(4, − 3 , 1) = α(1, 1 , 0) + β(− 2 , 5 , 1) + γ(1, 1 , 2)
= (α, α, 0) + (− 2 β, 5 β, β) + (γ, γ, 2 γ)
= (α − 2 β + γ, α + 5β + γ, β + 2γ).
Igualando componentes temos o sistema linear
α − 2 β + γ = 4 α + 5 β γ = − 3 β + 2 γ = 1
que tem como ´unica solu¸c˜ao α = 1, β = −1 e γ = 1, ou seja
u = x − y + z.
- Se existem tais α, β, γ ∈ R temos
(− 2 , 0 , 6) = α(− 2 , 1 , 2) + β(1, 4 , 1) + γ(3, 3 , −1)
= (− 2 α, α, 2 α) + (β, 4 β, β) + (3γ, 3 γ, −γ)
= (− 2 α + β + 3γ, α + 4β + 3γ, 2 α + β − γ).
Igualando componentes temos o sistema linear
− 2 α + β + 3 γ = − 2 α + 4 β + 3 γ = 0 2 α + β − γ = 6.
Eliminando γ obtemos o sistema
3 α + 3 β = 2 7 α + 7 β = 18
que n˜ao possui solu¸c˜ao. Segue–se que tais α, β, γ ∈ R n˜ao existem, ou seja, que n˜ao ´e poss´ıvel escrever u = αx + βy + γz
com α, β, γ ∈ R.
Este exerc´ıcio mostra que `as vezes ´e poss´ıvel escrever
u = αx + βy + γz
e `as vezes isto n˜ao ´e poss´ıvel.
Exerc´ıcio 1.1.6 Considerando z, w ∈ C, em cada caso calcule z + w, z − w, z · w e z/w.
- z = (3, 5) e w = (4, 1).
- z = (^1 2 , 1) e w = (1, 1 2
Exerc´ıcio 1.1.7 Calcule os seguintes n´umeros complexos.
- 1/i.
- 5/(3 + 4i).
Exerc´ıcio 1.1.8 Encontre todas as solu¸c˜oes em C das seguintes equa¸c˜oes.
- x^2 − 2 x + 2 = 0.
- x 2 − 3 x + 3 = 0.
Exerc´ıcio 1.1.9 Encontre todas as solu¸c˜oes em C das seguintes equa¸c˜oes.
- x 3 − i = 0.
- x^5 − i = 0.
Exerc´ıcio 1.1.10 Em cada caso, encontre z ∈ C^2 tal que x + z = y.
- x = (1 + i, 2 − 3 i), y = (3, i).
- x = (
2 + i 2 , 2), y = (
3 + 3 i , 1+ 2 i).
Exerc´ıcio 1.1.11 Em cada caso, encontre z ∈ C 3 tal que x + z = y.
- x = (2 − i, 1 , 2 i), y = (i, 2 , i).
- x = (2, − 1 ,
2), y = (i, −i, 2 i).
Exerc´ıcio 1.1.12 Seja V = {x ∈ C^2 / x 1 + x 2 = 0}. Determine quais dos seguintes vetores
s˜ao elementos de V.
- x = (3 + i, 2 − i),
- y = ( 13+5i 17 ,^ −
13 − 5 i 17 ),
- x + y,
- ix +
2 y.
Exerc´ıcio 1.1.13 Sejam V = {x ∈ C^3 / x 1 + x 2 + x 3 = 0} e U = {x ∈ C^3 / x 1 = x 2 = x 3 }.
Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
- a = (3 − 2 i, 5 + i, 1),
- b = (2i, 5 , i
Exerc´ıcio 1.1.22 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ Q[
5] n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz = 0.
- x = (1, 2 , 3), y = (−
5 , 0), z = (1 −
- x = (−2 +
5 , 0 , 2), y = (0, 1 −
5 , 1), z = (3, 2 , 2
Exerc´ıcio 1.1.23 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ Q[
2] tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 1 +
2 , 0), y = (1 − 3
2), z = (1,
2 , 3), e u = (4, − 3 , 1).
- x = (
2), y = (− 2 , 5 , 3 −
2), z = (1, 0 ,
2), e u = (
Exerc´ıcio 1.1.24 Prove que Z 2 ´e um corpo.
Exerc´ıcio 1.1.25 Em cada caso, encontre z ∈ Z 3 5 tal que^ x^ +^ z^ =^ y.
- x = (3, 0 , 1), y = (1, 2 , 2).
- x = (4, 1 , 2), y = (2, 1 , 1).
Exerc´ıcio 1.1.26 Seja V = {x ∈ Z 4 2 / x 1 +^ x 2 +^ x 3 +^ x 4 = 0}. Determine quais dos seguintes vetores s˜ao elementos de V.
- x = (1, 1 , 1 , 1),
- y = (1, 0 , 1 , 1),
- z = (1, 1 , 0 , 0),
- x + z,
- x + y,
- y + z.
Exerc´ıcio 1.1.27 Sejam
V = {x ∈ Z 4 3 / x 1 +^ x 2 +^ x 3 +^ x 4 = 0}
e
U = {x ∈ Z 4 3 / x 1 =^ x 2 =^ x 3 =^ x 4 }^.
Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
- a = (2, 1 , 1 , 1),
- b = (1, 2 , 2 , 0),
Exerc´ıcio 1.1.28 Determine em cada caso se existem α, β, γ, δ ∈ Z 3 n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz + δw = 0.
- x = (1, 2 , 2 , 1), y = (2, 1 , 0 , 2), z = (2, 1 , 0 , 1), e w = (2, 2 , 2 , 0).
- x = (0, 1 , 2 , 1), y = (2, 2 , 1 , 0), z = (1, 0 , 2 , 0), e w = (1, 2 , 2 , 2).
Exerc´ıcio 1.1.29 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ Z 5 tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 3 , 4), y = (4, 3 , 1), z = ((1, 2 , 3), e u = (1, 1 , 3).
- x = (4, 1 , 0), y = (0, 3 , 2), z = (1, 3 , 1), e u = (2, 1 , 3).
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcio 1.1.1 Em cada caso, encontre z ∈ R^2 tal que x + z = y.
- x = (1, 2), y = (3, 1).
- x = (− 1 , 0), y = (5, −1).
- x = (^13 , −1), y = (−^12 , 23 ).
- x = (
2 , 2), y = (
1 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.2 Em cada caso, encontre z ∈ R^3 tal que x + z = y.
- x = (− 1 , 0 , 2), y = (2, 3 , −1).
- x = ( 3 5 ,^ −^1 ,^ 1),^ y^ = (1,^1 ,^ −1).
- x = ( 1 3 ,^ −^1 ,^ 2),^ y^ = (0,^ −
1 2 ,^
2 3 ).
- x = (
5 , 2), y = (
1 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.3 Em cada caso, encontre z ∈ Rn^ tal que x + z = y.
- n = 4, e x = (2, 1 2 , 2 , 0), y = (^1 2
- n = 5, e x = (2, − 1 , 1 , 2 , 0), y = ( 1 3 ,^0 ,^1 ,^ −^1 ,^ 2).
- n = 6, e x = ( 1 3 ,^0 ,^2 ,^
2 , − 1 , 2), y = ( 1 3 ,^2 ,^0 ,^ −
1 2 ,^1 ,^
2 3 ).
- n = 7, e x = (^12 , 5 , 0 , 32 , 2 , − 1 , −2), y = (^32 , 2 , 1 , 12 , 1 , 1 , 2).
Exerc´ıcio 1.1.4 Seja V = {x ∈ R 2 / x 1 + x 2 = 0}. Determine quais dos seguintes vetores s˜ao
elementos de V.
- x = (1, 3), y = (2, −6), z = (
3), e w = (− 1 5 ,^
1 5 ).
- x + y, x − y, z + w, e z − w.
2 x −
√ 5 2 y,^
2 z −
√ 5 2 w.
Exerc´ıcio 1.1.10 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ R n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz = 0.
- x = (2, 3 , −2), y = (5, 1 , 3) e z = (1, 0 , 1).
- x = (− 2 , 2 5 ,^ 1),^ y^ = (0,^1 ,^ 1) e^ z^ = (
1 2 ,^2 ,^ −5).
- x = (2, − 1 , 1), y = (− 1 , 1 2 ,^ −
1 2 ) e^ z^ = (1,^1 ,^ 1).
Exerc´ıcio 1.1.11 Determine em cada caso se existem α, β, γ, δ ∈ R n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz + δw = 0.
- x = (1, 2 , 3 , 4), y = (− 1 , 0 , 3 , 0), z = (0, 2 , 6 , 4), e w = (2, − 3 , 2 , −1).
- x = (2, 0 , 1 , 3), y = (1, 0 , 3 , 5), z = (− 1 , 0 , 1 , 2), e w = (1, 0 , 1 , 1).
- x = (− 2 , 1 , 0 , 2), y = (0, 1 , − 2 , 1), z = (1, 0 , 1 , 5), e w = (3, 2 , 1 , 0).
Exerc´ıcio 1.1.12 Determine em cada caso se existem α, β ∈ R tais que u = αx + βy.
- x = (1, 1), y = (− 2 , 5), e u = (4, −3).
- x = (1, −2), y = (3, 1), e u = (− 2 , 1).
- x = (1, 0), y = (5, 1), e u = (1, 1 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.13 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ R tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 1 , 0), y = (− 2 , 5 , 1), z = (1, 0 , 3), e u = (4, − 3 , 1).
Exerc´ıcio 1.1.14 Determine em cada caso se existem α, β, γ, δ ∈ R tais que
u = αx + βy + γz + δw.
- x = (1, 1 , 0), y = (− 2 , 5 , 1), z = (1, 0 , 3), w = (0, 5 , −2) e u = (4, − 3 , 1).
Exerc´ıcio 1.1.15 Determine os vetores x, y ∈ R 4 sabendo que as componentes de x s˜ao todas
iguais, a segunda componente de y ´e nula e x + y = (2, 1 , 4 , 3).
Exerc´ıcio 1.1.16 Dados a = (1, − 3 , 5), b = (0, − 2 , −1) ∈ R 3 resolva 3a + 2x = 5b − x.
Exerc´ıcio 1.1.17 Considerando z, w ∈ C, em cada caso calcule z + w, z − w, z · w e z/w.
- z = (3, 5) e w = (4, 1).
- z = (2, −3) e w = (− 1 , 5).
- z = ( 1 2 ,^ 1) e^ w^ = (1,^
1 2 ).
- z = (3, 4) e w = (3, −4).
Exerc´ıcio 1.1.18 Calcule os seguintes n´umeros complexos.
- 1/i.
- (1 + i)/(1 − i).
- (1 + i
2 .
- 5/(3 + 4i).
Exerc´ıcio 1.1.19 Encontre todas as solu¸c˜oes em C das seguintes equa¸c˜oes.
- x^2 − 2 x + 2 = 0.
- x^2 + 4x + 7 = 0.
- x^2 + x + 1 = 0.
- x 2 − 3 x + 3 = 0.
Exerc´ıcio 1.1.20 Encontre todas as solu¸c˜oes em C das seguintes equa¸c˜oes.
- x 3 − i = 0.
- x 3 + i = 0.
- x^4 + i = 0.
- x^5 − i = 0.
Exerc´ıcio 1.1.21 Em cada caso, encontre z ∈ C^2 tal que x + z = y.
- x = (1 + i, 2 − 3 i), y = (3, i).
- x = (− 1 , i), y = (5 − i, −1 + 2i).
- x = ( 1+i 3 ,^ −1),^ y^ = (−
1 −i 2 ,^
2+i 3 ).
- x = (
i 2 ,^ 2),^ y^ = (
i 3 ,^
1+i 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.22 Em cada caso, encontre z ∈ Cn^ tal que x + z = y.
- n = 3, e x = (2 + i, i, 2), y = (1, 2 , 1).
- n = 4, e x = (2, − 1 , i, 2), y = (1 − i, 0 , 1 , −1).
- n = 5, e x = ( 1 3 ,^0 ,^2 ,^2 i,^ −1),^ y^ = (1^ −^ i,^2 ,^0 ,^1 , i).
- x = (− 2 , 5 + 2i), y = (2 − i, 9 + 13 i 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.28 Determine em cada caso se existem α, β, γ, δ ∈ C n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz + δw = 0.
- x = (1, 2 , 3 , 4), y = (−i, 0 , 3 i, 0), z = (0, 2 , 6 , 4), e w = (−i, 2 − i, 6 , 4 − 2 i).
- x = (2, 1 + i, i, 3), y = (1 − i, 0 , 3 i, 5), z = (− 1 , 0 , i, 2), e w = (1, 0 , 1 , 1).
- x = (−2 + i, 1 , 0 , 2), y = (0, 1 − i, − 2 , 1), z = (1, 0 , i, 5), e w = (3, 2 , 2 i, 0).
Exerc´ıcio 1.1.29 Determine em cada caso se existem α, β ∈ C tais que u = αx + βy.
- x = (1 + i, 1 − i), y = (2, i), e u = (5 + i, 1 + 4i).
- x = (1, −2 + 3i), y = (3i, 1), e u = (− 2 , 1).
- x = (i, 0), y = (5, i), e u = (9 − 4 i, 1 + 2i).
Exerc´ıcio 1.1.30 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ C tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 1 , 0), y = (− 2 , 5 , 1), z = (1, 0 , 3), e u = (4i, − 3 , 1).
- x = (i, 1 , 1 + i), y = (0, 3 , i), z = (0, 1 , 2), e u = (4, 0 , i).
- x = (1, 0 , i), y = (− 1 , i, 0), z = (i, 0 , 1), e u = (1, 3 , 2).
Exerc´ıcio 1.1.31 Determine os vetores x, y ∈ C^4 sabendo que as componentes de x s˜ao todas
iguais, a segunda componente de y ´e nula e x + y = (2i, 1 + i, 4 , 3 − 2 i).
Exerc´ıcio 1.1.32 Dados a = (1 + i, − 3 i, 5), b = (0, −2 + i, −i) ∈ C^3 resolva 3a + 2x = 5b − x.
Exerc´ıcio 1.1.33 Aceitando o fato que
3 ∈/ Q, mostre que Q 6 = Q[
3].
Exerc´ıcio 1.1.34 Em cada caso calcule z + w, z − w, z · w e z/w.
- z = 3 + 5
2 e w = 4 +
- z = 2 − 3
2 e w = −1 + 5
- z = 1 2 +^
2 e w = 1 +
√ 2
z = 3 + 4
2 e w = 3 − 4
Exerc´ıcio 1.1.35 Em cada caso calcule z + w, z − w, z · w e z/w.
- z = 3 + 5
3 e w = 4 +
- z = 2 − 3
3 e w = −1 + 5
- z = 1 2 +^
3 e w = 1 +
√ 3
z = 3 + 4
3 e w = 3 − 4
Exerc´ıcio 1.1.36 Encontre as solu¸c˜oes das seguintes equa¸c˜oes e determine o corpo Q[
n]
onde elas se encontram.
- x 2 − 4 x + 2 = 0.
- x^2 − 2 x − 2 = 0.
- x 2 − 4 x − 1 = 0.
- x^2 + 6x + 6 = 0.
Exerc´ıcio 1.1.37 Em cada caso, encontre z ∈ Q[
2]^2 tal que x + z = y.
- x = (1 +
2), y = (3,
- x = (− 1 ,
2), y = (5 −
- x = (1+
√ 2 3 ,^ −1),^ y^ = (−
1 −
√ 2 2 ,^
2+
√ 2 3 ).
- x = (^12 +
2 , 2), y = (1 +
√ 2 2 ).
Exerc´ıcio 1.1.38 Em cada caso, encontre z ∈ Q[
2]n^ tal que x + z = y.
- n = 3, e x = (2 +
2 , 2), y = (1, 2 , 1 +
- n = 4, e x = (2, − 1 ,
2 , 2), y = (1 −
- n = 5, e x = ( 1 3 ,^0 ,^2 ,^2
2 , −1), y = (1 −
- n = 6, e x = ( 1 2 ,^5 ,^0 ,^
√ 2 2 ,^2 ,^ −1),^ y^ = (
√ 2 2 ,^2 ,^1 ,^
1 2 ,^1 −
Exerc´ıcio 1.1.39 Seja V = {x ∈ Q[
3]
2 / x 1 + x 2 = 0}. Determine quais dos seguintes
vetores s˜ao elementos de V.
- x =
, y =
, z =
13+
√ 3 17
, −^13 −^5
√ 3 17
, e w = ( − 17 23 +^
√ 3 7 ,^
17 23 −^
√ 3 7
- x + y, x − y, z + w, z − w.
3 x + 5y, √^2 3 z + 2w.
Exerc´ıcio 1.1.40 Seja V = {x ∈ Q[
3]
4 / x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0}. Determine quais dos
seguintes vetores s˜ao elementos de V.
- x =
e y =
9 17 ,^ 2 +^
√ 3 17 ,^ −^
1 17 +^
√ 3 17
- z =
e w =
- x + y, x − y, z + w, z − w.
- x = (
2 , 0), y = (5,
2), e u = (9 − 4
Exerc´ıcio 1.1.46 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ Q[
2] tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 1 +
2 , 0), y = (− 2 , 5 , 3 −
2), z = (1,
2 , 3), e u = (4, − 3 , 1).
- x = (
2), y = (− 1 , 5 , 1), z = (1,
2 , 3), e u = (
- x = (1 − 3
2), y = (− 3 , 1 , 1), z = (1, 0 ,
2), e u = (0, −
Exerc´ıcio 1.1.47 Prove que Z 3 ´e um corpo.
Exerc´ıcio 1.1.48 Em cada caso, encontre z ∈ Zn 3 tal que x + z = y.
- n = 3, e x = (2, 1 , 2), y = (1, 2 , 2).
- n = 4, e x = (2, 0 , 1 , 2), y = (1, 1 , 0 , 1).
- n = 5, e x = (1, 0 , 2 , 2 , 1), y = (1, 2 , 1 , 1 , 0).
- n = 6, e x = (1, 0 , 0 , 2 , 2 , 1), y = (2, 2 , 1 , 1 , 1 , 1).
Exerc´ıcio 1.1.49 Seja V = {x ∈ Z^52 / x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0}. Determine quais dos
seguintes vetores s˜ao elementos de V.
- x = (1, 1 , 0 , 1 , 1),
- y = (1, 0 , 0 , 1 , 1),
- z = (0, 1 , 1 , 0 , 0),
- x + z,
- x + y,
- y + z.
Exerc´ıcio 1.1.50 Sejam
V = {x ∈ Z 5 3 / x 1 +^ x 2 +^ x 3 +^ x 4 +^ x 5 = 0}
e
U = {x ∈ Z 5 3 / x 1 =^ x 2 =^ x 3 =^ x 4 =^ x 5 }^.
Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
- a = (2, 1 , 0 , 1 , 1),
- b = (1, 2 , 2 , 1 , 0),
- c = (1, 0 , 1 , 2 , 1),
- d = (0, 1 , 2 , 1 , 0).
Exerc´ıcio 1.1.51 Determine em cada caso se existem α, β, γ, δ ∈ Z 3 n˜ao nulos tais que
αx + βy + γz + δw = 0.
- x = (1, 2 , 2 , 1), y = (0, 0 , 2 , 1), z = (2, 2 , 1 , 0), e w = (1, 2 , 2 , 2).
- x = (2, 1 , 0 , 1), y = (1, 0 , 2 , 2), z = (1, 0 , 1 , 2), e w = (1, 0 , 1 , 1).
- x = (2, 1 , 0 , 2), y = (0, 1 , 2 , 1), z = (1, 0 , 2 , 0), e w = (2, 2 , 2 , 0).
Exerc´ıcio 1.1.52 Determine em cada caso se existem α, β, γ ∈ Z 5 tais que
u = αx + βy + γz.
- x = (1, 3 , 4), y = (2, 1 , 3), z = (1, 0 , 3), e u = (4, 3 , 1).
- x = (4, 1 , 0), y = (1, 3 , 1), z = (1, 2 , 3), e u = (2, 4 , 1).
- x = (1, 1 , 3), y = (3, 1 , 1), z = (1, 0 , 2), e u = (0, 3 , 1).
Exerc´ıcio 1.1.53 Determine os vetores x, y ∈ Z^43 sabendo que as componentes de x s˜ao todas
iguais, a segunda componente de y ´e nula e x + y = (2, 1 , 0 , 2).
Exerc´ıcio 1.1.54 Dados a = (1, 2 , 1), b = (0, 2 , 2) ∈ Z^33 resolva aa + 2x = 2b − x.
Exerc´ıcio 1.1.55 Dado um corpo K, αx = βx implica que α = β em K n ?
Problemas Resolvidos
Problema 1.1.1 Prove que dados x, y ∈ R^2 , existe um ´unico z ∈ R^2 tal que x + z = y.
Solu¸c˜ao. Resolvemos o problema por dois m´etodos distintos.
Primeiro m´etodo. Sejam x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) e z = (z 1 , z 2 ), com todas as componentes
reais. A equa¸c˜ao x + z = y toma a forma
(x 1 , x 2 ) + (z 1 , z 2 ) = (y 1 , y 2 ).
Somando os pares ordenados do lado esquerdo temos
(x 1 + z 1 , x 2 + z 2 ) = (y 1 , y 2 ).
Igualando componentes obtemos
x 1 + z 1 = y 1 e x 2 + z 2 = y 2.
Resolvendo obtemos as solu¸c˜oes ´unicas z 1 = y 1 − x 1 e z 2 = y 2 − x 2 , logo a ´unica solu¸c˜ao do problema ´e
z = (y 1 − x 1 , y 2 − x 2 )
= (y 1 , y 2 ) + (−x 1 , −x 2 )
= y + (−x).