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Algebra Linear
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer 1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
23 de agosto de 2010
1e-mail: [email protected]
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Atualizado em 23 de Agosto de 2010. Contém os quatro primeiros capítulos do curso de Álgebra Linear quase completos. Contém também dois apêndices sobre Conjuntos e o Axioma da Escolha.
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Algebra Linear´
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer 1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
23 de agosto de 2010
(^1) e-mail: [email protected]
Sum´ario
- Introdu¸c˜ao
- 1 Espa¸cos Vetoriais
- 1.1 Alguns exemplos conhecidos
- 1.1.1 O plano R
- 1.1.2 O espa¸co Rn
- 1.1.3 O espa¸co Cn
- 1.1.4 O espa¸co Kn
- 1.2 A defini¸c˜ao de espa¸co vetorial
- 1.3 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um corpo
- 1.3.1 Espa¸cos de seq¨uˆencias
- 1.3.2 Espa¸cos de fun¸c˜oes
- 1.3.3 Espa¸cos de matrizes
- 1.3.4 Fun¸c˜oes reais de vari´aveis reais
- 1.4 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um espa¸co vetorial
- 1.4.1 Espa¸cos de matrizes
- 1.4.2 Fun¸c˜oes vetoriais de uma e v´arias vari´aveis
- 1.4.3 Sequˆencias de fun¸c˜oes
- 1.5 Propriedades elementares dos espa¸cos vetoriais
- 1.1 Alguns exemplos conhecidos
- 2 Subespa¸cos Vetoriais
- 2.1 Subespa¸cos e n˜ao–subespa¸cos
- 2.1.1 Exemplos simples de subespa¸cos vetoriais
- 2.1.2 Exemplos n˜ao t˜ao simples de subespa¸cos vetoriais
- 2.1.3 Exemplos menos simples
- 2.1.4 Alguns contraexemplos
- 2.2 Interse¸c˜ao de subespa¸cos
- 2.2.1 Interse¸c˜ao de dois subespa¸cos
- 2.2.2 Interse¸c˜ao de uma quantidade finita de subespa¸cos
- 2.2.3 Interse¸c˜ao de uma fam´ılia de subespa¸cos
- 2.3 Soma de subespa¸cos vetoriais
- 2.3.1 Uni˜ao de subespa¸cos
- 2.3.2 Soma de dois subespa¸cos
- 2.3.3 Soma direta de dois subespa¸cos
- 2.4 Espa¸cos afins
- 2.4.1 Caracterizando espa¸cos afins
- 2.4.2 Espa¸cos afins e parti¸c˜oes
- 2.4.3 Exemplos de espa¸cos afins
- 2.1 Subespa¸cos e n˜ao–subespa¸cos
- 3 Transforma¸c˜oes Lineares
- 3.1 Morfismos entre espa¸cos vetoriais
- 3.1.1 Exemplos gerais
- 3.1.2 Transforma¸c˜oes lineares em Geometria Anal´ıtica
- 3.1.3 Alguns isomorfismos interessantes
- 3.2 Propriedades das transforma¸c˜oes lineares
- 3.2.1 N´ucleo e Imagem
- 3.2.2 Espa¸cos quociente
- 3.2.3 Opera¸c˜oes entre transforma¸c˜oes lineares
- 3.3 Transforma¸c˜oes afins
- 3.3.1 Caracteriza¸c˜ao das transforma¸c˜oes afins
- 3.3.2 Sistemas lineares
- 3.1 Morfismos entre espa¸cos vetoriais
- 4 Bases e Dimens˜ao
- 4.1 Representa¸c˜ao matricial de operadores
- 4.1.1 Bases canˆonicas
- 4.1.2 Matrizes como operadores lineares
- 4.2 Combina¸c˜oes lineares
- 4.2.1 Defini¸c˜oes b´asicas
- 4.2.2 Combina¸c˜oes lineares e conjuntos geradores
- 4.2.3 Combina¸c˜oes lineares e transforma¸c˜oes lineares
- 4.3 Base de um espa¸co vetorial
- 4.3.1 Independˆencia linear e bases
- 4.3.2 Existˆencia de bases
- 4.4 Dimens˜ao
- 4.4.1 Bases e transforma¸c˜oes lineares
- 4.4.2 Cardinalidade de bases
- 4.4.3 Mudan¸cas de bases
- 4.1 Representa¸c˜ao matricial de operadores
- A Teoria de Conjuntos
- A.1 Conjuntos e fun¸c˜oes
- A.1.1 Fun¸c˜oes e subconjuntos
- A.1.2 A fun¸c˜ao inversa
- A.1.3 Algumas fun¸c˜oes importantes
- A.1.4 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes
- A.1.5 Produto cartesiano de dois conjuntos
- A.1.6 Opera¸c˜oes com conjuntos
- A.2 Fam´ılias de conjuntos
- A.2.1 Opera¸c˜oes com fam´ılias
- A.2.2 Coberturas e parti¸c˜oes
- A.2.3 Potˆencia de uma fun¸c˜ao
- A.2.4 Imagem inversa
- A.2.5 Produto cartesiano de uma fam´ılia de conjuntos
- A.1 Conjuntos e fun¸c˜oes
- B O Axioma da Escolha
- B.1 Sobre a existˆencia de fun¸c˜oes de escolha
- B.2 O Axioma da Escolha
- B.2.1 Enunciados equivalentes ao Axioma da Escolha
- B.2.2 Proposi¸c˜oes equivalentes ao Axioma da Escolha
- B.3 Vers˜oes restritas do Axioma da Escolha
- B.3.1 O Princ´ıpio das Escolhas Dependentes
- B.3.2 O Axioma da Escolha Enumer´avel
Introdu¸c˜ao
Sistemas de equa¸c˜oes alg´ebricas lineares, sistemas de rela¸c˜oes de recorrˆencia, sistemas de equa¸c˜oes em diferen¸cas, sistemas de equa¸c˜oes diferenciais lineares (sejam estas ordin´arias ou parciais), sistemas de equa¸c˜oes integrais lineares, e misturas destas, todas elas s˜ao sistemas lineares. A Algebra Linear ´´ e a geometria dos sistemas lineares. O espa¸cos vetoriais s˜ao as solu¸c˜oes dos sistemas homogˆeneos e os espa¸cos afins dos heterogˆeneos. Neste texto se estuda a Algebra Linear deste ponto de vista.´ Segue–se daqu´ı que este n˜ao ´e um texto convencional de Algebra Linear em v´´ arios sentidos. N˜ao nos restringimos a estudar apenas espa¸cos vetoriais reais, nem nos contentamos com in- cluir tamb´em apenas os espa¸cos complexos, pois existem sistemas lineares muito interessantes definidos sobre outros corpos. Do mesmo modo, n˜ao nos restringimos apenas ao caso finito dimensional pois existem sistemas lineares de dimens˜ao infinita (enumer´avel e n˜ao enumer´avel) fundamentais nas aplica¸c˜oes. Por outro lado, a pesar de ter sempre presentes as vastissimas aplica¸c˜oes da Algebra Linear´ dentro e fora da Matem´atica, n˜ao lhes dedicamos aten¸c˜ao especial. Os cap´ıtulos sobre aplica¸c˜oes s˜ao inclu´ıdos apenas para ilustrar o uso e a relevˆancia das constru¸c˜oes te´oricas, muitas das quais s˜ao altamente abstratas e portanto justificam a apresenta¸c˜ao de motiva¸c˜oes adicionais, al´em das puramente est´eticas do ponto de vista matem´atico.
Nesta se¸c˜ao vamos ver uma quantidade infinita de exemplos. Come¸camos com o plano real, velho conhecido dos cursos de Geometria Anal´ıtica denotado por R^2 , e continuamos com os espa¸cos formados por n–uplas de n´umeros reais (para cada n ∈ N temos um exemplo de espa¸co vetorial). Por ´ultimo, estendemos as id´eias utilizadas no caso real para apresentar espa¸cos vetoriais formados por n–uplas de outros tipos de n´umeros.
1.1.1 O plano R^2
O plano R^2 , conhecido tamb´em como plano real, ´e o conjunto formado pelos pares ordenados de n´umeros reais. Sabemos isto porque j´a estudamos Geometria Anal´ıtica Plana. Formalmente temos
R^2 = {(α, β) / α, β ∈ R}. (1.1)
Todos n´os sabemos somar pares ordenados. Por exemplo, a seguinte soma n˜ao ´e mist´erio para ningu´em lendo este texto,
(3, 5) + (1, −2) = (4, 3). (1.2)
Do mesmo modo, todos sabemos multiplicar um n´umero por um par ordenado, por exemplo,
5(2, −1) = (10, −5). (1.3)
Saber isto est´a ´otimo no n´ıvel de um primeiro curso de Geometria Anal´ıtica, mas agora esta- mos no territ´orio da Algebra Linear. Nosso objetivo nesta se¸´ c˜ao ´e usar propriedades alg´ebricas elementares dos n´umeros reais para deduzir propriedades alg´ebricas elementares do plano real. As propriedades dos n´umeros reais que vamos utilizar se seguem todas do fato de R ser um corpo, ou seja, de que existem duas opera¸c˜oes bin´arias comutativas e associativas
σ : R × R → R (x, y) 7 → x + y e μ : R × R → R (x, y) 7 → xy
tais que valem as seguintes afirma¸c˜oes (veja tamb´em a Defini¸c˜ao 1.9).
A1. Existe um n´umero 0 ∈ R tal que para todo n´umero x ∈ R vale x + 0 = x.
A2. Para cada n´umero x ∈ R existe um n´umero −x ∈ R tal que x + (−x) = 0.
M1. Existe um n´umero 1 ∈ R tal que para todo n´umero x ∈ R vale 1x = x.
M2. Para todo n´umero x ∈ R \ { 0 } existe um n´umero x−^1 ∈ R tal que xx−^1 = 1.
D. Para quaisquer n´umeros x, y, z ∈ R vale x(y + z) = xy + xz.
Estas propriedades s˜ao bastante conhecidas e vamos adot´a-las como verdadeiras mesmo sem apresentar uma prova. Na verdade, em certas situa¸c˜oes estas propriedades se tomam como parte da defini¸c˜ao do sistema dos n´umeros reais. A primeira tarefa a cumprir para atingir nosso objetivo, ´e a de descrever formalmente as duas opera¸c˜oes bin´arias conhecidas em R^2 por quem j´a estudou Geometria Anal´ıtica Plana. Para realizar esta descri¸c˜ao ´e fundamental esclarecer melhor a nota¸c˜ao que vai ser usada.
Pela defini¸c˜ao do plano real dada pela express˜ao (1.1), se x ∈ R^2 ent˜ao x ´e um par ordenado de n´umeros reais. Vamos denotar sempre cada n´umero deste par por x 1 e x 2 , e chama–los de primeira e segunda componentes de x. Resumimos isto de maneira formal do seguinte modo^1
x ∈ R^2 ←→ ∃x 1 , x 2 ∈ R , x = (x 1 , x 2 ). (1.4)
Al´em disso, para as opera¸c˜oes em R^2 usamos nota¸c˜oes muito similares `as usadas para escrever as opera¸c˜oes em R.
σ : R^2 × R^2 → R^2 (x, y) 7 → x + y e μ : R × R^2 → R^2 (λ, x) 7 → λx.
Observe que σ ´e uma opera¸c˜ao bin´aria interna, enquanto μ ´e externa. Vamos ent˜ao descrever formalmente o que s˜ao estas duas opera¸c˜oes, ou falando de modo mais simples, vamos dizer agora como se executam estas opera¸c˜oes.
Adi¸c˜ao de pontos. Dados dois pontos x, y ∈ R^2 , temos que dizer qual ´e o ponto x + y ∈ R^2. Em outras palavras, pela express˜ao (1.4) sabemos que existem x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ R, tais que x = (x 1 , x 2 ) e y = (y 1 , y 2 ), e definir a adi¸c˜ao consiste em indicar quais s˜ao as componentes de x + y ∈ R^2. A defini¸c˜ao ´e
(x + y) 1 = x 1 + y 1 e (x + y) 2 = x 2 + y 2. (1.5)
A primeira igualdade define quem ´e a primeira componente do ponto x + y ∈ R^2 , a segunda igualdade define quem ´e a segunda componente. Em outras palavras,
x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) , (1.6)
ou equivalentemente,
(x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ). (1.7)
Compare a soma em (1.2) com a express˜ao geral (1.7).
Multiplica¸c˜ao de um n´umero por um ponto. Dados um ponto x ∈ R^2 e um ´numero real λ ∈ R, temos que dizer qual ´e o ponto λx ∈ R^2. Em outras palavras, se x 1 , x 2 ∈ R s˜ao as componentes de x ∈ R^2 , definir a multiplica¸c˜ao consiste em indicar quais s˜ao as componentes de λx ∈ R^2. A defini¸c˜ao ´e
(λx) 1 = λx 1 e (λx) 2 = λx 2. (1.8)
Novamente, a primeira igualdade define quem ´e a primeira componente do ponto λx ∈ R^2 , a segunda igualdade define quem ´e a segunda componente. Em outras palavras,
λx = (λx 1 , λx 2 ) , (1.9)
ou equivalentemente, λ(x 1 , x 2 ) = (λx 1 , λx 2 ). (1.10) Compare o produto em (1.3) com a express˜ao geral (1.10). (^1) Observe que a express˜ao (1.4) ´e equivalente `a express˜ao (1.1), ou seja, as duas f´ormulas expressam a mesma
defini¸c˜ao do plano R^2 , s´o que est˜ao escritas de forma diferente.
novamente a express˜ao (1.6), para quaisquer x, y ∈ R^2 temos
x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1 , y 2 + x 2 ) = y + x.
A comutatividade dos reais ´e usada duas vezes na passagem da primeira para a segunda linha, uma vez em cada componente.
A2. (A adi¸c˜ao de pontos em R^2 ´e associativa) Prova. Vamos realizar de novo a prova de duas maneiras equivalentes.
- As primeiras componentes de x + (y + z) e de (x + y) + z s˜ao
(x + (y + z)) 1 = x 1 + (y + z) 1 = x 1 + (y 1 + z 1 ) e ((x + y) + z) 1 = (x + y) 1 + z 1 = (x 1 + y 1 ) + z 1.
Lembrando que a adi¸c˜ao em R ´e associativa temos
x 1 + (y 1 + z 1 ) = (x 1 + y 1 ) + z 1 ,
e portanto (x + (y + z)) 1 = ((x + y) + z) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto x + (y + z) ´e igual a primeira compo- nente do ponto (x + y) + z. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de x + (y + z) ´e igual `a segunda componente de (x + y) + z. Acabamos de provar que x + (y + z) tem as mesmas componentes que (x + y) + z, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja x + (y + z) = (x + y) + z.
- Usando a express˜ao (1.6) e apelando `a associatividade dos reais, para quaisquer x, y, z ∈ R^2 temos
x + (y + z) = (x 1 + (y + z) 1 , x 2 + (y + z) 2 ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ), x 2 + (y 2 + z 2 )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1 , (x 2 + y 2 ) + z 2 ) = ((x + y) 1 + z 1 , (x + y) 2 + z 2 ) = (x + y) + z.
A associatividade dos reais ´e usada duas vezes na passagem da segunda para a terceira linha, uma vez em cada componente.
A3. (O plano R^2 tem elemento neutro) Prova. Aqui tamb´em vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- A primeira componente de x + 0 ´e
(x + 0) 1 = x 1 + 0 1 = x 1 + 0 = x 1.
Em palavras, a primeira componente do ponto x + 0 ´e igual a primeira componente do ponto x. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de x + 0 ´e igual `a segunda componente de x. Acabamos de provar que x + 0 tem as mesmas componentes que x, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja x + 0 = x.
- Usando a express˜ao (1.6), para todo x ∈ R^2 temos
x + 0 = (x 1 + 0 1 , x 2 + 0 2 ) = (x 1 + 0, x 2 + 0) = (x 1 , x 2 ) = x.
A4. (Todo ponto do plano tem inverso aditivo) Prova. Mais uma vez, vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- A primeira componente de x + (−x) ´e
(x + (−x)) 1 = x 1 + (−x) 1 = x 1 + (−x 1 ) = 0.
Em palavras, a primeira componente do ponto x + (−x) ´e zero. Realizando exata- mente os mesmos passos na segunda componente chegamos `a conclus˜ao de que a segunda componente de x + (−x) ´e zero. Ou seja x + (−x) = 0.
- Usando a express˜ao (1.6), para todo x ∈ R^2 temos
x + (−x) = (x 1 + (−x) 1 , x 2 + (−x) 2 ) = (x 1 + (−x 1 ), x 2 + (−x 2 )) = (0, 0) = 0.
As outras propriedades ficam como exerc´ıcio.
1.1.2 O espa¸co Rn
Vamos generalizar um pouco o exemplo visto acima. Dado n ∈ N, considere o espa¸co formado pelas n–uplas ordenadas de n´umeros reais, chamado de espa¸co real n–dimensional, e denotado por Rn. Formalmente temos
Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) / x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}. (1.11)
O plano real corresponde ao caso n = 2. O caso n = 3 deve tamb´em ser familiar dos cursos de Geometria Anal´ıtica. Tomando por exemplo n = 5, ´e f´acil adivinhar como somar 5–uplas
Da mesma forma que no caso do plano R^2 , completado o primeiro passo, deveriamos a continua¸c˜ao investigar quais propriedades elementares de Rn^ se seguem destas defini¸c˜oes. Ob- servando as provas das propriedades alg´ebricas de R^2 realizadas acima, podemos perceber que o procedimento seguido foi decompor a prova correspondente para cada componente do par. Esta observa¸c˜ao leva a pensar na possibilidade de agir do mesmo modo em Rn. Esta estrat´egia deveria funcionar pois as opera¸c˜oes acima foram definidas componente a componente. De fato esta estrat´egia funciona. Observe a seguir que as propriedades elementares de Rn^ s˜ao formalmente idˆenticas `as propriedades deduzidas para R^2. Observe que as provas s˜ao tamb´em formalmente idˆenticas.
Teorema 1.2 O espa¸co Rn^ com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de pontos e multiplica¸c˜ao por um n´umero dadas por (1.16) e (1.17) tem as seguintes propriedades.
A1. Para quaisquer x, y ∈ Rn^ vale x + y = y + x
A2. Para quaisquer x, y, z ∈ Rn^ vale x + (y + z) = (x + y) + z.
A3. Se (^0) i = 0, com i ∈ In, ent˜ao para todo x ∈ Rn^ vale x + 0 = x.
A4. Dado x ∈ Rn, se (−x)i = −xi para todo i ∈ In, ent˜ao x + (−x) = 0.
M1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ Rn^ vale α(βx) = (αβ)x.
M2. Para todo x ∈ Rn^ vale 1 x = x.
D1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ Rn^ vale (α + β)x = αx + βx.
D2. Para todo α ∈ R e x, y ∈ Rn^ vale α(x + y) = αx + αy.
Prova. Novamente, provamos apenas as propriedades referntes `a adi¸c˜ao.
A1. (A adi¸c˜ao de pontos em Rn^ ´e comutativa) Prova. Vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- As primeiras componentes de x + y e de y + x s˜ao
(x + y) 1 = x 1 + y 1 e (y + x) 1 = y 1 + x 1.
Lembrando que a adi¸c˜ao em R ´e comutativa temos
x 1 + y 1 = y 1 + x 1 ,
e portanto (x + y) 1 = (y + x) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto x + y ´e igual a primeira componente do ponto y + x. Realizando exatamente os mesmos passos para todas as outras componentes chegamosa conclus˜ao de que x + y tem as mesmas componentes que y + x, e portanto s˜ao o mesmo ponto de Rn, ou seja x + y = y + x.
- Exatamente o mesmo procedimento que acima pode ser realizado seguindo um estilo diferente. Para todo i ∈ In e todo x, y ∈ Rn^ temos
(x + y)i = xi + yi = yi + xi = (y + x)i.
Como x + y tem as mesmas componentes que y + x, segue–se x + y = y + x. Observe que a comutatividade dos reais ´e usada n vezes na passagem da primeira para a segunda linha, uma vez em cada componente.
Um exame cuidadoso mostra que as duas maneiras de provar a comutatividade de pontos em Rn^ s˜ao idˆenticas. Contudo, o segundo modo de escrever a prova ´e mais elegante e se presta para generaliza¸c˜oes interessantes, como veremos nas pr´oximas se¸c˜oes. No que segue vamos utilizar apenas o segundo modo de escrever as provas.
A2. (A adi¸c˜ao de pontos em Rn^ ´e associativa) Prova. Para todo i ∈ In temos
(x + (y + z))i = xi + (y + z)i = xi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi = (x + y)i + zi = ((x + y) + z)i.
Como x + (y + z) tem as mesmas componentes que (x + y) + z, segue–se x + (y + z) = (x + y) + z. Observe que a associatividade dos reais ´e usada n vezes na passagem da segunda para a terceira linha, uma vez em cada componente.
A3. (O espa¸co Rn^ tem elemento neutro) Prova. Se para todo i ∈ In vale 0i = 0, ent˜ao temos
(x + 0)i = xi + 0i = xi + 0 = xi.
Como x + 0 tem as mesmas componentes que x, segue–se que x + 0 = x.
A4. (Todo ponto de Rn^ tem inverso aditivo) Prova. Definindo (−x)i = −xi para todo i ∈ In, temos
(x + (−x))i = xi + (−x)i = xi + (−xi) = 0.
Como todas as componentes de x + (−x) s˜ao nulas, segue–se que x + (−x) = 0.
As outras propriedades ficam como exerc´ıcio.
M1. Dados x, y ∈ R^2 temos
xy = (x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (y 1 x 1 − y 2 x 2 , y 1 x 2 + y 2 x 1 ) = (y 1 , y 2 )(x 1 , x 2 ) = yx.
M2. Dados x, y, z ∈ R^2 temos
x(yz) = (x 1 , x 2 )((y 1 , y 2 )(z 1 , z 2 )) = (x 1 , x 2 )(y 1 z 1 − y 2 z 2 , y 1 z 2 + y 2 z 1 ) = (x 1 (y 1 z 1 − y 2 z 2 ) − x 2 (y 1 z 2 + y 2 z 1 ), x 1 (y 1 z 2 + y 2 z 1 ) + x 2 (y 1 z 1 − y 2 z 2 )) = ((x 1 y 1 − x 2 y 2 )z 1 − (x 1 y 2 + x 2 y 1 )z 2 , (x 1 y 1 − x 2 y 2 )z 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )z 1 ) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 )(z 1 , z 2 ) = ((x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ))(z 1 , z 2 ) = (xy)z.
M3. Dado x ∈ R^2 temos
1 x = (1, 0)(x 1 , x 2 ) = (1x 1 − 0 x 2 , 1 x 2 + 0y 1 ) = (x 1 , x 2 ) = x.
M4. Dado x ∈ R^2 \ { 0 } temos
xx−^1 = (x 1 , x 2 )
x 1 x^21 +x^22 ,^
−x 2 x^21 +x^22
x^21 x^21 +x^22 −^
−x^22 x^21 +x^22 ,^
−x 1 x 2 x^21 +x^22 +^
x 1 x 2 x^21 +x^22
x^21 +x^22 x^21 +x^22 ,^0
D. Para todo x, y, z ∈ R^2 vale
x(y + z) = (x 1 , x 2 )(y 1 + z 1 , y 2 + z 2 ) = (x 1 (y 1 + z 1 ) − x 2 (y 2 + z 2 ), x 1 (y 2 + z 2 ) + x 2 (y 1 + z 1 )) = (x 1 y 1 + x 1 z 1 − x 2 y 2 − x 2 z 2 , x 1 y 2 + x 1 z 2 + x 2 y 1 + x 2 z 1 )) = ((x 1 y 1 − x 2 y 2 ) + (x 1 z 1 − x 2 z 2 ), (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 z 2 + x 2 z 1 )) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 z 1 − x 2 z 2 , x 1 z 2 + x 2 z 1 ) = (x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) + (x 1 , x 2 )(z 1 , z 2 ) = xy + xz.
Isto completa a prova.
O corpo definido no Teorema 1.3 ´e chamado de corpo dos n´umeros complexos e ´e denotado por C. Observe que 1 = (1, 0) ´e o elemento neutro para a multiplica¸c˜ao em C, entanto que i = (0, 1) tem a seguinte propriedade curiosa,
i^2 = (0, 1)^2 = (0, 1)(0, 1) = (− 1 , 0). (1.20)
Esta observa¸c˜ao vai nos permitir daqui a pouco recobrar a nota¸c˜ao convencional usada para trabalhar com os n´umeros complexos, mas antes precisamos de um resultado pr´evio.
Teorema 1.4 O conjunto C 0 = {(a, b) ∈ C / b = 0} ´e um subcorpo de C isomorfo a R.
Prova. Considere a fun¸c˜ao injetiva
η : R → C a 7 → (a, 0).
Temos η(R) = C 0. Por outro lado, para todo a, b ∈ R valem
η(a) + η(b) = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = η(a + b)
e
η(a)η(b) = (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0) = η(ab).
Segue–se que η ´e um isomorfismo de R sobre sua imagem C 0. Considere a opera¸c˜ao bin´aria
μ : R × C → C (α, x) 7 → η(α)x.
Teorema 1.5 O corpo dos n´umeros complexos, com a adi¸c˜ao dos n´umeros complexos e multiplica¸c˜ao por n´umeros reais dada por μ, satisfaz o Teorema 1.1.
Prova. Levando em conta que C ´e apenas outro nome para R^2 , e que a adi¸c˜ao de n´umeros complexos ´e a adi¸c˜ao de pares ordenados, a prova do teorema ´e uma conta simples que mostra que a opera¸c˜ao μ : R × C → C ´e a multiplica¸c˜ao de um n´umero por um par ordenado. Para todo a ∈ R e x ∈ C temos
μ(a, x) = η(a)x = (a, 0)(x 1 , x 2 ) = (ax 1 , ax 2 ) = a(x 1 , x 2 ) = ax ,
e portanto μ : R × C → C ´e a multiplica¸c˜ao por escalares em R^2.
Como a, b ∈ R, devemos ent˜ao encontrar solu¸c˜oes reais do sistema
a^2 − b^2 + 1 = 0 e 2 ab = 0.
Temos ent˜ao a = 0 e b = ±1, ou seja x = (0, 1) = i ou x = (0, −1) = −i.
A equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0 tamb´em pode ser escrita na forma x^2 = − 1 ,
o que induz a pensar que x =
−1, e portanto x = i. Mas pelo Lema 1.7 sabemos agora que x = i ou x = −i. Como surguiu este −i? Acontece que −1 tem duas ra´ızes quadradas, ou seja, existem dois n´umeros (complexos) cujo quadrado ´e −1, e portanto a opera¸c˜ao de tirar a raiz quadrada n˜ao est´a bem definida. Quando trabalhamos com n´umeros reais apenas, ao escrever o s´ımbolo √^ pressup˜oe–se que estamos nos referindo `a raiz positiva. Esta conven¸c˜ao n˜ao ´e mais poss´ıvel ao trabalharmos com n´umeros complexos. N˜ao h´a n´umeros complexos positivos nem negativos. A express˜ao i =
−1 tem valor hist´orico e nem´onico, mas n˜ao ´e v´alida como igualdade matem´atica. A igualdade que vale ´e i = (0, 1), e vale por defini¸c˜ao. No entanto, esta nota¸c˜ao antiga continua sendo ´util, pois permite escrever as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos de um modo mais familiar. Dados x, y ∈ C, onde
x = x 1 + x 2 i e y = y 1 + y 2 i ,
temos
x + y = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )i e xy = (x 1 y 1 − x 2 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i.
Estamos prontos agora para apresentar o espa¸co Cn, onde n ∈ N, llamado de espa¸co com- plexo n–dimensional e formado pelas n–uplas ordenadas de n´umeros complexos. Formalmente temos
Cn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) / x 1 , x 2 ,... , xn ∈ C}. (1.24)
A esta altura do campeonato todo mundo j´a imagina como se somam duas n–uplas orde- nadas de n´umeros complexos, e tamb´em como se multiplica um n´umero complexo por uma n–upla ordenada. Do mesmo modo que nos casos anteriores, o nosso objetivo agora ´e enten- der formalmente estas duas opera¸c˜oes, assim como extrair propriedades alg´ebricas elementares induzidas em Cn^ por elas. Pela Defini¸c˜ao (1.24), se x ∈ Cn^ ent˜ao x ´e uma n–upla ordenada de n´umeros complexos. Vamos denotar cada n´umero desta n–upla ordenada sempre por x 1 , x 2 ,... , xn, e chama–los de primeira, segunda,... , n–´esima componentes de x. Resumimos isto de maneira formal do seguinte modo
x ∈ Cn^ ←→ ∀i ∈ In , ∃xi ∈ C , x = (x 1 , x 2 ,... , xn). (1.25)
A descri¸c˜ao das duas opera¸c˜oes ´e apenas uma c´opia do caso real. σ : Cn^ × Cn^ → Cn (x, y) 7 → x + y
e μ : C × Cn^ → Cn (λ, x) 7 → λx.
Adi¸c˜ao de pontos. Dados dois pontos x, y ∈ Cn, para cada i ∈ In temos
(x + y)i = xi + yi. (1.26)
Multiplica¸c˜ao de um n´umero por um ponto. Dados um ponto x ∈ Cn^ e um ´numero com- plexo λ ∈ C, para cada i ∈ In temos
(λx)i = λxi. (1.27)
Completada a descri¸c˜ao das opera¸c˜oes em Cn, podemos agora deduzir algumas propriedades elementares deste espa¸co. Neste ponto n˜ao deve ser mais surpresa que estas propriedades e suas provas sejam formalmente idˆenticas `as correspondentes de Rn. Temos de fato o seguinte teorema.
Teorema 1.8 O espa¸co Cn^ com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de pontos e multiplica¸c˜ao por um n´umero dadas por (1.26) e (1.27) tem as seguintes propriedades.
A1. Para quaisquer x, y ∈ Cn^ vale x + y = y + x.
A2. Para quaisquer x, y, z ∈ Cn^ vale x + (y + z) = (x + y) + z.
A3. Se (^0) i = 0, com i ∈ In, ent˜ao para todo x ∈ Cn^ vale x + 0 = x.
A4. Dado x ∈ Cn, se (−x)i = −xi para todo i ∈ In, ent˜ao x + (−x) = 0.
M1. Para quaisquer α, β ∈ C e x ∈ Cn^ vale α(βx) = (αβ)x.
M2. Para todo x ∈ Cn^ vale 1 x = x.
D1. Para quaisquer α, β ∈ C e x ∈ Cn^ vale (α + β)x = αx + βx.
D2. Para todo α ∈ C e x, y ∈ Cn^ vale α(x + y) = αx + αy.
1.1.4 O espa¸co Kn
J´a vimos at´e o momento exemplos de espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos n´umeros reais e sobre o corpo dos n´umeros complexos. Surge uma pergunta natural, existem espa¸cos vetoriais sobre outros corpos? Uma inspe¸c˜ao detalhada das provas das propriedades de Rn^ e Cn^ nos mostra que sim. De fato, em momento algum nestas provas foi utilizado o fato das componentes das n– uplas serem especificamente n´umeros reais ou complexos. Utilizamos apenas propriedades dos n´umeros (reais ou complexos) resumidas no fato deles formarem corpos. Veja por exemplo que para mostrar a comutatividade da adi¸c˜ao de duas n–uplas, n˜ao ´e importante se as n–uplas s˜ao formadas por n´umeros reais ou complexos. O que realmente importa ´e que a soma entre os elementos que formam estas n–uplas ´e comutativa. Observando que os n´umeros racionais formam tamb´em um corpo, a mesma constru¸c˜ao feita para Rn^ nos permite construir espa¸cos vetoriais similares sobre os n´umeros racionais, temos assim os espa¸cos Qn. Por exemplo, Q^3 ´e o espa¸co das ternas ordenadas de n´umeros racionais.