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CENTRO UNIVERSITÁRIO NOVE DE JULHO DISCIPLINA: PESQUISA OPERACIONAL PROF.: LUIS ANTONIO CCOPA YBARRA
A PROGRAMAÇÃO LINEAR E O PROCESSO DE DECISÃO
INTRODUÇÃO:
A programação linear é uma das muitas técnicas analíticas recentemente desenvolvidas que se têm mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas empresariais. Esses métodos quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicados na pesquisa operacional, são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos. Considerando que a programação linear seja um “modelo”, um método apropriado de estudo seria estrutura-la dentro da estrutura mais extensa do processo de tomada de decisão administrativa.
Objetivos para o estudo da programação linear : a) reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo; b) auxiliar o analista no estágio inicial da investigação; c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; d) aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos problemas e dos resultados envolvidos.
Áreas de aplicação da programação linear:
a) problemas de alocação, ou seja, problemas envolvidos na alocação de recursos escassos entre fins alternativos, de acordo com algum critério. b) Problemas complexos de alocação que não podem ser resolvidos satisfatoriamente com as técnicas analíticas convencionais.
Alguns exemplos de problemas de alocação:
a) determinação dos produtos a serem fabricados, a composição da produção, planejada levando em consideração a demanda esperada, a adequabilidade e as capacidades da produção e facilidades de distribuição, as diretrizes administrativas, tais como a política sobre os produtos levados até o término da linha de produção. Com o objetivo de maximizar os lucros. b) Problemas de mistura ou combinação de ingredientes utilizados na fabricação dos produtos, tendo em vista a disponibilidade e os custos relativos dos ingredientes, qual a combinação que resultará no custo mínimo de material por unidade do produto final? c) Programação da produção e planejamento de estoque, procura-se qual o programa de produção e quais os níveis planejados de estoque durante o próximo período planejado que satisfarão à demanda esperada e também resultarão em custo mínimo? d) Alimentação das máquinas, pergunta-se quais alocações de capacidade da máquina disponível às séries de ordens que resultarão no custo mínimo? e) Problemas de transporte e distribuição física, pergunta-se qual o plano físico de distribuição que estará tanto dentro das restrições de capacidade como da
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demanda e que ao mesmo tempo minimize os custos de produção e de distribuição durante o período de planejamento.
MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Os procedimentos de cálculo matemático de programação linear dependem em parte de vários métodos de programação adotados em determinado problema. O caso básico, ou geral, é chamado MÉTODO SIMPLEX, porque é baseado no algoritmo simplex. Certos tipos de problemas de alocação podem ser resolvidos pelas versões especiais, menos complexas, do método Simplex, conhecidas como métodos Gráficos e de Transporte.
FORMULAÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Quando da análise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de programação linear é fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as variáveis fora do controle do analista, ou parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas cujo valor se quer conhecer.
A solução de um modelo dará exatamente o valor dessas variáveis de decisão. As variáveis de decisão compõem tanto a função objetivo como as restrições e são em geral designadas por letras como x, y, z, etc., ou por uma letra indexada como x1, x2, etc. A função objetivo é uma expressão onde cada variável de decisão é ponderada por algum parâmetro ( como por exemplo lucro unitário).
EXEMPLO DE FORMULAÇÃO : MAXIMIZAÇÃO
Consideremos o caso da indústria de móveis Fresão, que ilustra um problema de composição de produto. A Fresão produz, entre outros artigos, dois tipos de conjunto para sala de jantar: o conjunto Beatrice e o conjunto Anamaria. A Fresão está preparando sua programação semanal de produção para os dois conjuntos. Sabe-se que, embora não haja restrições no tocante à demanda do conjunto Beatrice (dentro das limitações de produção atuais) para o conjunto Anamaria dificilmente a demanda semanal ultrapassará 8 unidades. A fabricação dos dois conjuntos é dividida em dois grandes blocos de operações: Preparação( consistindo do corte da madeira e preparação para montagem) e Acabamento ( consistindo da montagem dos conjuntos e acabamento final). Em face dos outros produtos existentes, a Fresão não poderá alocar mais de 100 horas para a preparação e 108 horas para o acabamento durante a semana. O conjunto Beatrice
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para o acabamento, a restrição será escrita como
9x + 6y < 108
a última restrição diz respeito à demanda máxima dos conjuntos Anamaria, que não pode ultrapassar a 8 unidades semanais
y < 8
finalmente, todo problema de programação linear possui as chamadas condições de não negatividade, segundo as quais as variáveis de decisão só podem assumir valores positivos ou nulos:
x > 0 y > 0
repare que não teria sentido algum em se pensar num número negativo de qualquer um dos dois conjuntos em questão. Aliás, a maioria dos programas de computador disponíveis para a programação linear assume automaticamente as condições de não negatividade, não havendo necessidade de incorpora-las aos dados de entrada na máquina.
Resumindo, o problema da indústria de móveis Fresão, formulado completamente segundo um modelo de programação linear é o seguinte;
Maximizar 4000x + 5000y
Sujeito a
5x + 10y <100 (preparação)
9x + 6y < 108 (acabamento)
1y < 8 (demanda de conjuntos)
x > 0 y > 0
o problema da indústria Fresão admite como solução x = 8 e y = 6, levando a um valor máximo da função objetivo de
4000 (8) + 5000 (6) = R$ 62.000,
se os valores x = 8 e y = 6 forem substituídos nas restrições, veremos que as horas de preparação e acabamento são totalmente esgotadas pela produção. Ao se tentar outros valores de x e y verifica-se que sempre conduzem a uma valor da função objetivo menor que R$ 62.000,00.
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OBSERVAÇÃO: Embora pareça desnecessário escrever 1y < 8 e não simplesmente y < 8, que também está correto, é conveniente que acostumemos a colocar coeficiente 1 ou mesmo 0 (zero, correspondente a uma variável que não compareça numa expressão) dado que isso será de muita utilidade quando da solução dos problemas pelo algoritmo simplex, que será visto brevemente.
EXEMPLO DE FORMULAÇÃO: MINIMIZAÇÃO
A ABORDAGEM é essencialmente a mesma que em problemas de maximização, pelo que aproveitaremos a oportunidade para apresentar um problema de formulação um pouco mais complexa. Consideremos o caso do Senferro A e do Senferro Extra, que são os nomes comerciais de dois líquidos antiferruginosos produzidos pela ABC Química Industrial Ltda. Os dois líquidos são obtidos pela adição, em proporções diferentes, de dois líquidos denominados de HPO 33 e B 45 que são adquiridos de outros fornecedores pela ABC. As proporções, todas em volume, são as seguintes:
Senferro A : 7 partes de HPO 33 para 5 partes do B 45
Senferro Extra: 4 partes de HPO 33 para 8 partes do B
A ABC deseja programar a sua produção para o mês seguinte. como os dois produtos Senferro A e Senferro Extra têm encontrado uma excelente aceitação no mercado servido pela ABC, esta espera que deverá vender pelo menos 7000 litros do Senferro A e 3200 litros do Senferro Extra.
Como estes produtos são colocados no mercado juntamente com outros da ABC, considera-se importante para a imagem da empresa que a demanda seja atendida tão bem quanto possível. Por outro lado, a aquisição dos componentes BPO 33 e B45 acostuma gerar alguns problemas de caixa para a ABC, dado que os fornecedores exigem pagamento à vista, enquanto que a ABC costuma dar 10 dias para os clientes.
A alternativa para a ABC é então a de minimizar o investimento feito na compra do HPO 33 e do B45, que custam respectivamente R$ 400,00 e R$ 200,00 o litro.
Existe uma cláusula adicional com o fornecedor do HPO 33, segundo a qual a abc não pode adquirir menos que 200 litros desse componente a cada compra.
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Supondo que as condições de linearidade prevaleçam, quando se misturam os dois componentes a quantidade final de Senferro A é simplesmente a soma das quantidades isoladas dos componentes.
A primeira restrição fica:
x 1 + y 1 > 7000
o mesmo raciocínio vale para a restrição referente ao Senferro Extra, cuja demanda mínima é de 3200 litros :
A segunda restrição fica:
x 2 + y 2 > 3200
A terceira restrição diz respeito à compra mínima do componente HPO 33, que deve ser de 200 litros
x 1 + x 2 > 200
há ainda duas restrições, que dizem respeito às proporções que devem manter entre si os dois componentes na composição dos dois produtos. Na mistura para a obtenção do Senferro A , a proporção entre o HPO 33 e o B 45 deve ser 7:
x 1 = 7 y 1 5
como é de costume que todas as variáveis estejam alinhadas, e que o lado direito das restrições seja sempre um número, pode-se reescrever a restrição como
5 x 1 - 7 y 1 = 0
na obtenção do Senferro Extra, as proporções são de 4:8 para HPO 33 e B 45
x 2 = 4 y 2 8
8 x 2 - 4 y 2 = 0
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sem esquecer as condições de não negatividade, finalmente:
x 1 > 0, x 2 > 0, y 1 > 0, y 2 > 0
resumindo, o modelo completo (colocando coeficientes iguais a 1 e zero para que todas as restrições contenham todas as variáveis) temos:
minimizar 400 x 1 + 400 x 2 + 200 y 1 + 200 y 2
sujeito a:
1 x 1 + 0 x 2 + 1 y 1 + 0 y 2 > 7000
0 x 1 + 1 x 2 + 0 y 1 + 1 y 2 > 3200
1 x 1 + 1 x 2 + 0 y 1 + 0 y 2 > 200
5 x 1 + 0 x 2 - 7 y 1 + 0 y 2 > 0
0 x 1 + 8 x 2 + 0 y 1 - 4 y 2 > 0
x 1 > 0 x 2 > 0
y 1 > 0 y 2 > 0
o problema completo tem, portanto 4 variáveis e 5 restrições. Não há a necessidade de se colocar os coeficientes das variáveis nas condições de não negatividade, pois não comporão no alogaritmo de solução, embora sejam condição obrigatória.
Novamente para não se deixar em aberto quaisquer dúvidas, segue a solução:
x 1 = 4.983,3 litros
x 2 = 1.066,7 litros total HPO 33 = x 1 + x 2 = 6.050 litros
y 1 = 2.916,7 litros
y 2 = 2.133 litros total B 45 = y 1 + y 2 = 5.050 litros
o investimento mínimo será nesse caso de R$ 3.070.000,00.
Todas as restrições são rigorosamente obedecidas.
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Ao longo da reta, teremos todas as combinações possíveis de valores de x e de y tal que 5 x + 10 y = 100 assim, por exemplo se x = 6 teremos 5 (6) + 10 y = 100 ou y = 7. A região compreendida entre a reta e os eixos também obedece à restrição 5 x + 10 y < 100, logo a restrição pode ser representada pela área compreendida entre a reta e os eixos, incluída a própria reta para o caso de igualdade 5 x + 10 y = 100.
A essa área que aparece no gráfico, denominamos de zona permissível pela restrição do número de horas disponíveis de preparação. A área é limitada pelos eixos porque valem as condições de não negatividade. Qualquer ponto fora da zona permissível ( como por exemplo o ponto onde x = 10 e y = 14 ) não será uma solução possível para o problema.
A restrição seguinte diz respeito ao número máximo disponível de horas para acabamento
9 x + 6 y < 108
tomando novamente a igualdade, a reta resultante cortará os eixos nos pontos (0,8) e (12,0) como é mostrado no gráfico. a região admissível novamente está compreendida entre a reta e os dois eixos, sendo a própria reta o limite, valendo pela igualdade citada.
( Restrição de horas de acabamento )
número de conjuntos Anamaria (y)
Número de conjuntos Beatrice (x)
Finalmente a última restrição estabelece que o número máximo de conjuntos Anamaria que pode ser fabricado é igual a 8 , ou seja:
1 y < 8
18 16 14 12 10 8 6 4 zona permissível 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
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O gráfico a seguir mostrará a reta que responde pela igualdade. Ela é paralela ao eixo, delimitando uma região permissível que não tem limites para a direita, indicando que para qualquer número de conjuntos Beatrice que se queira, o número de conjuntos Anamaria jamais ultrapassa a 8.
(Restrição : conjuntos Anamaria)
número de conjuntos Anamaria (y)
Número de conjuntos Beatrice (x)
Os pontos A, B, C, e D são chamados PONTOS EXTREMOS da região possível, que nesse caso é finita e delimitada pelas arestas do polígono ABCDE. Não é difícil determinar as coordenas desses pontos extremos. Os pontos A, B, e E, por sua localização especial , têm coordenadas imediatas.
18 16 14 12 10 8 6 4 zona permissível 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
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1 y = 8
o que fornece imediatamente x = 4 embora tenhamos no momento uma região permissível para a solução do problema e conheçamos as coordenadas dos pontos limites dessa região, ainda não temos a solução propriamente dita. Acontece que os pontos extremos da região permissível guardam uma importantíssima propriedade:
“ A solução ótima encontra-se em um dos pontos extremos ”
para descobrir qual é o ponto que nos fornece a solução ótima, basta substituirmos as coordenadas de todos os pontos extremos na função objetivo, como mostrado em seguida:
PONTO x y 4000 x 5000 y Função objetivo ( 4000 x + 5000 y)
__
A 0 0 0 0 0 B 12 0 48000 0 48000 C 8 6 32000 30000 62000 D 4 8 16000 40000 56000 E 0 8 0 40000 40000
A solução ótima encontra-se, portanto, no ponto C , fornecendo um valor de R$ 62.000,00 para a FUNÇÃO OBJETIVO. Corresponde a fabricar 8 conjuntos Beatrice e 6 conjuntos Anamaria.
Há uma outra forma de se determinar o ponto C como SOLUÇÃO ÓTIMA. A função objetivo 4000 x + 5000 y define uma família de retas no plano xy. Atribuindo um valor arbitrário à função poderemos encontrar a reta correspondente, analogamente ao que fizemos com as restrições. Atribuindo a 4000 x + 5000 y, por exemplo, o valor 20.000 ( múltiplo de 4000 e 5000, para facilitar os cálculos) define-se a reta que passa pelos pontos ( 0,4) e (5,0) , como se mostra no gráfico:
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Se a reta for movida paralelamente a si mesma, para a direita, o último ponto da região permissível que ela tangenciará será o ponto C. O gráfico também mostra um movimento intermediário, correspondente a um valor 40. para a função objetivo. Observe que ao mover a reta para a direita, paralelamente a si mesma, significa atribuir valores cada vez maiores à função objetivo. Como o ponto C é o último ponto da tangência da região possível, a ele corresponderá a solução (x = 8 e y = 6 ) que maximiza a função objetivo.
SOLUÇÃO GRÁFICA: PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO
O tratamento é análogo ao caso de problemas de maximização: as restrições são delimitadas por retas, definindo-se as regiões permissíveis. A combinação dessas regiões dará a região final, comum a todas as restrições. A solução estará então, em um dos pontos extremos. Como se recorda, o problema da ABC Química Industrial Ltda. Tinha 4 variáveis, de forma que não podemos toma-lo como exemplo. Consideremos então, o modelo abaixo. Minimizar 4 x + 4 y
Sujeito a 2 x + 1 y > 10 1 x + 2 y > 8 1 y < 6
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Podemos também determinar a solução ótima construindo as retas derivadas da função objetivo dando valores à expressão 4 x + 4 y, como mostra o gráfico abaixo
no gráfico foram dados os valores 40, 32 e 24, este último corresponde ao valor mínimo da função objetivo e portanto, tangenciando o ponto B. Repare que agora devemos mover as retas derivadas da função objetivo para a esquerda, até encontrar o ponto extremo.
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O PROBLEMA GERAL DA ALOCAÇÃO LINEAR FONTE PESQUISA OPERACIONAL Russell L. ACKOFF Maurice W. Sasieni
INTRODUÇÃO
Convém lembrar que o problema de alocação envolve recursos e tarefas expressos em diferentes tipos de unidades. Consideremos que uma fábrica produz n produtos diferentes, nas quantidades x 1 , x 2 , ..., xn, empregando diversas combinações de m máquinas diferentes.
Cada unidade do produto j consome ai j unidades de tempo da máquina i ( j = 1, 2, ..., n ; i = 1, 2, ..., m ).
A mesma operação pode requerer mais tempo numa máquina ( por exemplo, uma máquina mais velha) do que noutra ( mais nova). A quantidade total de tempo disponível na máquina i é b , por período de programação. Finalmente, o lucro com cada unidade do produto j que se vende é cj Esta situação está representada na tabela 1.
TABELA 1
NÚMERO DE UNIDADES DE TEMPO NECESSÁRIAS PARA PRODUZIR UMA UNIDADE DE CADA PRODUTO
PRODUTO
j =
1 2 ... n
NÚMERO DE HORAS
DISPONÍVEIS/PERÍODO
DE PROGRAMAÇÃO
MÁQUINAS i = 1 2 . . . m
a 11 a 12 ... a1 n a 21 a 22 ... a2 n
.... .... .... am 1 a (^) m 2 ... am n
b 1 b 2 . . . bm
LUCRO/UNIDADE c 1 c 2 ... cn
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Como os valores negativos de x e y não têm sentido devemos ter
x > 0 , x > 0
não podemos escolher x e y à vontade uma vez que temos de respeitar os limites de capacidade, que nos conduzem aos seguintes resultados:
Torneamento x + y < 1 25 40
Furação x + y < 1 28 35
Retificação x + y < 1 35 25
Eliminando os denominadores, obtemos:
Torneamento 40 x + 25 y < 1.
Furação 35 x + 28 y < 980
Retificação 25 x + 35 y < 875
Quando representamos graficamente a equação 40 x + 25 y = 1.000, obtemos uma reta que divide o plano em duas regiões (tabela 1). Na região que contém a origem, 40 _x
- 25 y_ < 1.000; na outra região, 40 x + 25 y > 1.000.
As duas outras desigualdades que aparecem na tabela 3, dividem o plano de modo semelhante.
Assim, se encararmos nossa decisão sobre os valores de x e y como equivalendo a escolher um ponto no plano, vemos que o ponto deve estar no interior ou no limite da região OABC.
Como a reta 35 x + 28 y = 980 está fora desta região, a restrição relativa à capacidade de furação é redundante.
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Em outras palavras, qualquer combinação de x e y que satisfaça às restrições de torneamento e retificação estará, automaticamente, dentro do limite da capacidade de furação.
A propriedade fundamental que nos permite resolver o problema garante que o ponto (x,y) para o qual os lucros atingem seu valor máximo tem que coincidir com um dos vértices de OABC.
É muito fácil, portanto, verificar que os possíveis valores maximizantes são: O (0,0) A (0,25) B (16,93, 12,90) C (25,0)
Os lucros correspondentes são: ZO = 0, ZA = 35, ZB = 38, ZC = 30
De modo que o melhor plano de produção é 16,93 de A por hora e 12,90 de B por hora.
Estes valores devem ser representados com taxas médias.
Provavelmente poderíamos produzir a Peça A durante várias horas (ou mesmo dias) e depois produzir a Peça B durante várias horas. Tudo o que é preciso maximizar os lucros é manter as quantidades produzidas na proporção de 16,93 para 12,90.
50
40
40 x + 25 y = 1000 30 35 x + 28 y = 980 A 20 25 x + 35 y = 875 B
10
O 10 20 C 30 40
