Programação Linear - PO, Esquemas de Engenharia de Transportes

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UNIVERSIDADE DE UBERABA

ADMINISTRAÇÃO

ETAPA V

VOLUME 3

Organização

Raul Sérgio Reis Rezende

ROTEIRO DE ESTUDO 1

Aplicações da programação linear no ambiente de gestão

Objetivos:

Ao final dos estudos deste roteiro, esperamos que você seja capaz de:

Desenvolver modelos matemáticos que auxiliem na tomada de decisão; Identificar situações que possam ser trabalhadas através da programação linear; Utilizar planilhas eletrônicas para resolver modelos matemáticos; Assumir os riscos de gestão e lidar eficientemente com eles; Interpretar os resultados encontrados.

Texto introdutório

Prezado (a) aluno (a). ?Qual é a melhor solução para um determinado problema?

A forma de encontrar uma resposta a esta indagação está na Pesquisa Operacional, pois, ao representar a situação por uma expressão matemática, você verá que é possível encontrar uma melhor resposta para um determinado problema por meio do uso da programação linear.

Apresentarei a você, ao longo deste roteiro, o funcionamento do processo de modelagem, utilizando a programação linear para minimizar ou maximizar funções no cotidiano de gestão. Os conhecimentos da matemática serão importantes para que os dados do cotidiano organizacional possam ser convertidos em expressões numéricas. É importante salientar que, a partir deste assunto, a utilização do computador para nos auxiliar com os cálculos é imprescindível para que possamos tirar maior proveito da parte de análise dos resultados atingidos.

Programação linear

Segundo Bregalda, Oliveira e Bornstein (1988, p.61), a programação linear é uma técnica matemática que tem por objetivo encontrar a melhor solução para problemas que tenham seus “modelos” representados por expressões lineares, ou seja, que possam ser representados por uma linha reta no gráfico.

Conforme mencionamos no roteiro anterior, no volume 1, o problema será convertido em um modelo simbólico ou matemático, representando as situações de gestão em expressões lineares. É possível utilizar esta técnica para resolver problemas de distribuição de recursos, transportes, planejamento de produção, corte de materiais, etc.

O principal objetivo da programação linear é maximizar ou minimizar o resultado de uma função linear, denominada Função-Objetivo , respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades que recebem o nome de Restrições do modelo.

Programação Linear

Identificamos no desenho quatro situações que estão presentes nas resoluções de problemas com a utilização da programação linear:

Problema de gestão – situação cotidiana que necessita ser otimizada e que possa ser representada por meio de um modelo com variáveis e equações matemática lineares.

O que é P.L.?

Problema de gestão

Função Objetivo

Restrições Solução Ótima

Já que a função está sujeita às restrições impostas pelo problema, teremos que a quantidade total de recursos necessários para a produção não poderá ultrapassar o limite estabelecido no levantamento das informações. Assim, podemos representar os limites do problema por meio de inequações, como apresentado, a seguir:

4a + 1b + 2c ≤ 2.500 (espaço físico em m^2 ) 1a + 4b + 2c ≤ 4.000 (tecido em m) 1a + 2b + 4c ≤ 3.500 (horas-máquina em h)

Em que : a, b e c ≥ 0, pois não se pode fabricar quantidades de produtos negativas.

Vimos que o nosso problema pode ser visualizado por meio de um modelo (representação numérica) com as expressões matemáticas anteriores, existindo várias formas de chegarmos a uma solução para o problema, sem que haja a utilização de um computador.

Porém, as técnicas manuais requerem conhecimentos matemáticos mais específicos, tais como: sistemas de equações lineares e operações com matrizes, e, ainda, outras técnicas matemáticas para representar a solução, tais como o método gráfico, quando temos um máximo de três variáveis e o algoritmo Simplex.

No entanto, dentro do objetivo de seu curso, é importante que você, como futuro gestor, entenda as facilidades da programação linear, sabendo modelar um problema e fazer a sua análise. Para que isso ocorra, não aprofundaremos nas técnicas citadas anteriormente, buscando atingir o adequado entendimento por meio do equacionamento do problema e utilização do recurso SOLVER, contido no grupo de ferramentas Análise da guia Dados do software Microsoft Excel. Esta ferramenta pode, com relativa facilidade, encontrar as respostas que precisamos, bem como também, auxiliar em outras análises cotidianas de gestão.

Exemplo prático

Para resolver o problema proposto e, através da programação linear, utilizar as funções da planilha eletrônica no Microsoft Excel, seguiremos seis passos que nos ajudarão na compreensão do processo:

1. estabeleça as variáveis, a função objetivo a ser otimizada e as restrições;
2. defina os parâmetros do SOLVER;
3. adicione as restrições;
4. defina as opções do SOLVER;
5. resolva o problema;
6. interprete o resultado final no “Relatório de Resposta”.

Passo #01: estabeleça as variáveis, a função objetivo a ser otimizada e as restrições

Conforme você pode observar, em Lachtermacher (2004), o segredo da modelagem em uma planilha eletrônica está na maneira como arrumamos as células. Devemos, portanto, elaborar uma planilha, identificando as variáveis que serão obtidas e a função que será otimizada (maximizada, minimizada ou igualada), bem como introduzir os valores e regras de restrições impostas pelo problema.

Para facilitar a visualização das funções matemáticas criadas para a nossa indústria de jeans, o layout da planilha eletrônica pode ser elaborado da seguinte maneira:

Ao elaborar esta planilha foram relevados alguns pontos importantes em sua construção, que devemos seguir se quisermos resolver com facilidade outros problemas que exijam modelagem no Excel.

• As células variáveis (quantidades de saias, calças e bermudas entre B2 e D2) devem estar próximas para facilitar a identificação e o relacionamento dos coeficientes com as variáveis de cada função;
• A célula que irá receber o valor da solução ótima deve ser sempre representada por uma fórmula em função das variáveis do problema. Assim, no nosso exemplo, a margem de contribuição total é a soma das margens de contribuição unitárias presentes entre as células B4 e D4 e está localizada na célula E4;
• As células com os valores das condições estabelecidas pelo problema devem ser fórmulas e, obrigatoriamente, assim como a função objetivo, devem ser funções das variáveis entre B2 e D2. As restrições devem ser posicionadas ao lado juntamente com os critérios de relacionamento para facilitar o processo de modelagem no SOLVER.

Passo #02: defina os parâmetros do SOLVER

Antes de iniciarmos a definição dos parâmetros, é importante que você verifique se o seu Excel tem o SOLVER instalado como ferramenta de análise de dados. Ele pode ser facilmente localizado assim:

1. Clique no botão do Office
2. Aparecerá a Janela:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

A B C D E F G Saia Calça Bermuda Quantidades Margem unitária 2 4 7 Margem Total =B3B2 =C3C2 =D3*D2 =B4+C4+D Função Objetivo

Espaço Físico(m 2 ) 4 1 2 =(B7$B$2+C7$C$2+D7$D$2) <= 2. Tecido (m) 1 4 2 =(B8$B$2+C8$C$2+D8$D$2) <= 4. Horas‐máquina(hm) 1 2 4 =(B9$B$2+C9$C$2+D9*$D$2) <= 3. Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição

4. Clique em Suplementos, a Janela Opções do Excel mudará para:

5. Agora clique no botão Ir..

Aparecerá a Janela Suplementos:

Ao final deste processo, teremos inseridas as três condições simultaneamente, devido ao fato de existir uma relação de igualdade em todos os casos

IMPORTANTE!

No caso de problemas que tenham restrições com relações diferentes, é preciso inserir cada restrição separadamente para que possamos concluir o processo.

Caso surgisse uma nova condição de análise, como por exemplo, uma quantidade mínima a ser produzida em qualquer um dos itens devido a um pedido de venda urgente pendente para ser atendido, bastaria inserir uma nova condição na lista de submissão de restrições antes de rodar o processo de resolução. Para fins de conclusão do exemplo que estamos trabalhando, continuaremos com as condições propostas anteriormente.

Passo #04: definição das opções do SOLVER

Nesta fase, são indicadas opções que permitem gerir a maneira como o SOLVER irá resolver o problema. É possível melhorar a precisão do resultado obtido e o tempo consumido no processo de solução e, dependendo da escolha, a solução poderá ser encontrada com maior ou menor rapidez e, também, com maior ou menor precisão.

Deixaremos as pré-seleções apresentadas pelo programa da mesma forma como foram apresentadas, marcando apenas as caixas de seleção:

• Presumir modelo linear : permite utilizar a programação linear como método;
• Presumir não negativos : apresenta apenas valores positivos para as variáveis.

Passo #05: resolva o problema

Ao escolhermos a opção “Resolver”, na janela de parâmetros do SOLVER, dá-se início ao processo de busca por uma solução ótima para o problema. Após rodado o processo, será apresentada uma janela para escolher a forma de apresentação dos resultados, onde podemos manter a solução obtida ou retornar aos valores originais

Para obtenção do relatório de resposta que utilizaremos para a análise final, devemos selecionar a opção “Resposta” na lista de relatórios e clicar “OK”, assim, teremos o resultado final das iterações e a planilha ficará como apresentada a seguir:

• Valor Original: valores informados na planilha inicial, a partir dos quais o SOLVER iniciou as iterações.
• Valor Final: valor da célula que otimizará a solução e das variáveis básicas. No exemplo, a margem de contribuição total (MCT) e as quantidades de produtos a fabricar.
• Valor da célula: valor de cada restrição, de acordo com a solução encontrada.
• Fórmula: cada uma das expressões lineares representativas das restrições, as quais foram informadas no Passo 3.
• Status: Agrupar – significa que não houve diferença entre o valor da restrição inicial e o valor do recurso necessário calculado para a solução ótima. A restrição, neste caso, está justa, não existe folga.
• Transigência: valor da diferença (folga) existente entre o recurso necessário calculado e o valor original da restrição. Este valor será diferente de zero quando o Status for do tipo “Não Agrupar”, ou seja, quando existir folga de recurso.

Considerações finais

A programação linear possibilita a você, como futuro gestor, ter informações importantes para o processo de tomada de decisão, em que, com a utilização de equações matemáticas e planilhas eletrônicas é possível criar modelos e otimizar soluções para problemas cotidianos. Uma das maiores vantagens da técnica é poder calcular o reflexo do impacto de decisões locais na lucratividade global de um empreendimento. Com isso, fica mais fácil saber quais ações devem ser perseguidas, para que haja benefícios para a organização como um todo, ao invés daquelas que provoquem apenas melhorias individuais de processos e setores.

Portanto, a ênfase maior é na prestação de informações como suporte à ação gerencial, não bastando saber apenas qual o volume requerido de produção. É imprescindível avaliar como utilizar cada recurso de acordo com o planejamento delineado.

É importante também ressaltar que a programação linear apresenta algumas limitações. Uma delas é apresentar resultados numéricos sem arredondamento, mesmo para variáveis indivisíveis. No nosso exemplo, apresentou como solução para o problema a produção de quantidades não inteiras, ficando como recomendação, neste momento, considerar a quantidade inteira imediatamente inferior, porém, no próximo roteiro, aprenderemos a encontrar estas quantidades de forma mais correta, utilizando os relatórios de sensibilidade.

Antes de concluirmos este assunto, releve que a construção do modelo matemático, no caso um modelo linear, é parte mais complicada deste nosso estudo. Lembre-se de que é necessário, primeiramente, definir quais são as variáveis de decisão e o objetivo do problema. Em seguida, defina as restrições e escolha a melhor forma de processar o modelo e encontrar a resposta.

Veremos, no nosso próximo e último encontro desta disciplina, como fazer avaliações econômicas, utilizando os relatórios de análise de limites e sensibilidade, bem como aplicar a programação linear na resolução de problemas de transporte. Por agora, leia o livro de estudos e treine as três perguntas apresentadas, fazendo todos os exercícios que são propostos.

Sucesso, e até o nosso próximo encontro!

CAPÍTULO 3 do livro Pesquisa Operacional na tomada de decisões de

Lachtermacher, Gerson

UTILIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR NO MUNDO

REAL

Neste capítulo estaremos procurando mostrar uma série de tipos de problemas reais que são resolvidos através da Programação Linear. Todos os problemas serão resolvidos no Excel. Dentre os problemas escolhidos podemos citar:

• Decisões do Tipo - Fazer ou Comprar
• Escolha de Carteira de Investimentos
• Escala de Funcionários
• Problema de Mistura de Componentes
• Problemas de Mix de Produção
• Problemas de Produção e Estoque
• Problemas de Fluxo de Caixa Multiperíodo
• Problemas de Escala de Produção

3.1 – RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR EM UM MICROCOMPUTADOR

Até agora nos preocupamos com o embasamento teórico necessário para a resolução do problema e sua análise. A partir deste ponto estaremos mostrando como evitar todos os cálculos. Concentraremos nossa atenção no que esperamos ser a tarefa de um gerente, isto é, vamos nos concentrar na modelagem de problemas e na análise de suas respostas. Existem muitos softwares disponíveis no mercado que podem nos auxiliar na tarefa dos cálculos.

Dentre as ferramentas que vêm ganhando cada vez mais adeptos, as Planilhas Eletrônicas são as preferidas, pois, além da facilidade de utilização, estão presentes em praticamente todas as empresas modernas. Dentre estas planilhas, as mais utilizadas são o Excel da Microsoft, a Lotus da Lotus/IBM e o Quattro-Pro da Corel. Todas as planilhas dispõem basicamente das mesmas das mesmas ferramentas, diferindo apenas na forma do comando empregado. No nosso caso, estaremos focalizando a utilização da planilha Excel da Microsoft, por ser a mais popular no Brasil. Presumiremos que o leitor tem conhecimento básico de operação de uma planilha Excel.

As versões do Excel podem ser em inglês ou em português. Em relação ao Excel as diferenças estão nos menus, nomes de funções, nas diferenças dos separadores utilizados nas funções (,para;), nos separadores decimais (. para ,). A utilização do Excel em português pode nos causar problemas quando adicionamos suplementos existentes na internet, por duas razões: na procura de nomes de funções que estão na língua inglesa e que diferem do nome em português (por exemplo: sum no lugar de soma ) e pela diferença dos separadores de função (,para;). Apesar disso, estaremos utilizando neste livro a planilha em português (diferentemente da 1ª edição), por acreditarmos que a maioria dos leitores dificilmente utilizará estes suplementos.

Existe uma série de softwares específicos para a resolução de problemas de programação linear. Um dos mais populares é o LINDO da Lindo Systems. Uma versão educacional limitada pode ser obtida gratuitamente, via download da página da Lindo Systems ( http://www.lindo.com ) , bem como um suplemento para o Excel ou para o Lotus chamado What´s Best que substitui a ferramenta Solver do Excel e possibilita a resolução de problemas de maior porte.

3.1.1 – RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR COM O SOLVERDO EXCEL

lembrar o que cada célula representa é aconselhável a colocação de títulos que especifiquem o conteúdo de cada célula (células com texto). As células B3 e C3 são utilizadas para inserir os valores dos coeficientes da função-objetivo, enquanto as células de B9 até C12 representam os coeficientes das quatro restrições.

Agora devemos definir cada uma das entradas citadas anteriormente. A tabela 3.1 representa as fórmulas colocadas em cada uma destas células.

B5 =(B3B4) + (C3C4) Função-objetivo D9 =B9$B$4 + C9$C$4 LHS da 1ª Restrição D10 =B10$B$4 + C10$C$4 LHS da 2ª Restrição D11 =B11$B$4 + C11$C$4 LHS da 3ª Restrição D12 =B12$B$4 + C12$C$4 LHS da 4ª Restrição

Precisamos agora avisar ao Excel quais são as células que representam a nossa função-objetivo, as variáveis de decisão, as restrições do modelo e, finalmente, mandar o Excel resolver para nós. Isto é feito utilizando-se a Ferramenta (Solver) do Excel. Para tal, clique na guia Dados e no grupo de ferramentas Análise, clique em Solver^1.

FIGURA 3.2 – Tela de ativação da ferramenta Solver do Excel

Após este procedimento aparecerá na tela a janela representada pela Figura 3.3. Nesta janela é que serão informadas ao software as células que representarão a função-objetivo, as variáveis de decisão e as restrições.

FIGURA 3.3 – Janela de ferramenta do Solver do Excel

(^1) Esta ferramenta deve estar instalada

Na parte superior da janela (Figura 3.3) aparece um campo, para a entrada de dados, chamado Definir Célula de Destino que deve representar o valor da função-objetivo. Existem duas maneiras para designar esta célula. A primeira é clicar sobre o ícone que está do lado direito do campo. A segunda é digitar o nome da célula (B5 no nosso exemplo) no campo. Realizando uma das duas maneiras, a janela resultante para o nosso problema é representada pela Figura 3.4.

FIGURA 3.4 – Escolha da célula-alvo

Na linha seguinte são apresentadas as opções de Maximizar , Minimizar e Valor de. Dependendo do problema devemos clicar o mouse sobre uma das três. A opção Valor de pode ser utilizada em análise do tipo ponto de equilíbrio, onde desejamos que a função Lucro (por exemplo) atinja o valor de zero. Nos casos de Programação Linear esta opção não será utilizada.

Na próxima linha há um campo denominado Células Variáveis. Neste campo serão inseridas as células que representarão as variáveis de decisão. Os valores podem ser inseridos da mesma maneira como o caso da função-objetivo, isto é, clicando sobre o ícone à direita do campo e marcando as células escolhidas ou simplesmente digitando seus nomes utilizando as regras do Excel para tal. Utilizando uma das maneiras, a janela terá o seguinte formato.

FIGURA 3.5 – Janela do Solver após a designação das células das variáveis.

O próximo passo é designar as restrições do problema. Devemos inserir uma restrição de cada vez. Para inserir a 1ª restrição devemos clicar no botão Adicionar para exibir uma janela de entrada de restrições como representada pela Figura 3.6, abaixo

FIGURA 3.6 – Janela de entrada de restrição.

FIGURA 3.9 – Entrada de restrições, forma alternativa

FIGURA 3.10 – Janela do Solver, forma alternativa

Faltam ainda as restrições de não-negatividade, isto é, que as variáveis de decisão não são negativas. Existem duas maneiras de colocar estas restrições no modelo. A primeira é simplesmente criar restrições dizendo que cada variável deve ser maior ou igual a zero, adicionando a restrição mostrada na Figura 3.11.

FIGURA 3.11 – Restrições de não-negatividade

A segunda alternativa para introduzir as variáveis de não-negatividade é através de opções do Solver. Para poder utilizá-las, devemos clicar no botão Opções na janela de parâmetros. A janela representada pela Figura 3.12, contendo as opções da ferramenta Solver do Excel, é então apresentada. Para incluir essa opção basta marcar a caixa de seleção ao lado da opção Presumir Não Negativos , como indicado na Figura 3.12.

FIGURA 3.12 – Opção de não-negatividade

A última característica do modelo que deve ser implementada é a da Programação Linear. Isto é feito na mesma janela de opções da Ferramenta Solver utilizada anteriormente. Basta marcar a opção Presumir Modelo Linear , bem acima da opção de não-negatividade. Esta opção também está assinalada na Figura 3.12. Para sair da janela basta clicar sobre o botão OK da janela e isto o levará de volta para a janela de parâmetros.

Uma vez inserido o modelo e suas características, devemos efetivamente resolvê-lo. Para tanto basta clicar no botão Resolver na janela dos parâmetros da ferramenta Solver do Excel. (Figura 3.10).

Se o modelo foi corretamente inserido, será processado e o resultado será automaticamente exibido na planilha. A seguinte janela (Figura 3.13) aparecerá na tela.

FIGURA 3.13 – Opções de resultado da ferramenta Solver

Se observarmos valores incoerentes ou inesperados, devemos neste ponto clicar na opção Restaurar Valores Originais para restaurar os valores iniciais do modelo. Existe ainda neste ponto a opção de requisitar três tipos de relatórios (lado direito da janela). Falaremos sobre cada um dos relatórios mais adiante.

Devemos ser cuidadosos com a mensagem que o Excel está nos mandando. Neste caso, a mensagem é “O Solver encontrou uma solução. Todas as Restrições e Condições Otimizadas foram atendidas”, informando que uma solução ótima foi encontrada para o nosso modelo. Outras mensagens poderiam aparecer, indicando que soluções não foram encontradas por serem inviáveis ou por serem ilimitadas.

Por ora vamos apenas clicar no botão OK para manter os resultados na planilha, a fim e melhor estudá- los.

Ao clicar no botão OK, a Janela de Resultado do Solver será apagada e os resultados aparecerão na planilha como mostra a Figura 3.14.