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Somat´orios: propriedades e exerc´ıcios
Consideremos a seguinte soma:
12 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2.
Existe uma forma abreviada de representar esta soma, recorrendo a um s´ımbolo, que desi- gnamos por s´ımbolo de somat´orio ∑. Assim a soma anterior, passa a poder representar–se por ∑^10 k=
k^2 ,
que se lˆe: somat´orio desde k = 1 at´e 10, de k^2. A letra k diz–se o ´ındice da soma (ou do somat´orio) e pode ser substitu´ıda por qualquer outra (que n˜ao intervenha na soma), como por exemplo: i, j, l, m, n, p, etc. Diz–se assim que k ´e um ´ındice mudo. O simbolo ∑^ ´e a letra grega sigma mai´usculo do alfabeto grego. Mais geralmente, a soma ap + ap+1 + · · · + an,
pode ser representar–se abreviadamente por ∑ni=p ai. Diz–se que p ´e o limite inferior e n o limite superior, do somat´orio.
Exemplos. 1) 22 + 2^3 + 2^4 + 2^5 =
∑^5
i=
2 i.
∑^4
k=− 1
k = −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9.
Propriedades dos Somat´orios
Sejam m, n ∈ N, tais que m < n e ai, bi ∈ R, para i = m, m + 1, · · · , n e c uma constante real.
- Propriedade Aditiva
∑^ n i=m
(ai + bi) =
∑^ n i=m
ai +
∑^ n i=m
bi.
- Propriedade Homog´enea
∑^ n i=m
(cai) = c
∑^ n i=m
ai.
- Propriedade Telesc´opica
∑^ n k=m
(ak − ak+1) = am − an+1.
Demonstra¸c˜ao de 1). A demonstra¸c˜ao da propriedade anterior baseia–se nas propriedades
comutativa e associativa da adi¸c˜ao. Assim:
∑^ n i=m
(ai + bi) = (am + bm) + (am+1 + bm+1) + · · · + (an + bn) = am + bm + am+1 + bm+1 + · · · + an + bn = am + am+1 + · · · + an + bm + bm+1 + · · · + bn =
∑^ n i=m
ai +
∑^ n i=m
bi.
Demonstra¸c˜ao de 2).
∑^ n i=m
(cai) = cam + cam+1 + · · · + can = c(am + am+1 + · · · + an) = c
∑^ n i=m
ai.
Demonstra¸c˜ao de 3). Desenvolvendo o somat´orio
∑^ n k=m
(ak − ak+1), obtemos a soma
(am − am+1) + (am+1 − am+2) + (am+2 − am+3) + · · · + (an− 2 − an− 1 ) + (an− 1 − an),
associando os termos de uma forma diferente, obtemos,
am + (−am+1 + am+1) + (−am+2 + am+2) + · · · + (−an− 1 + an− 1 ) − an,
donde conclu´ımos a f´ormula.
Exemplos. 4) Seja c uma constante real, ent˜ao
∑^ n i=m
c = c(n − m + 1).
- Tem–se
∑^ n k=
k = n(n^2 + 1).
Demonstra¸c˜ao. Da propriedade telesc´opica, temos que
∑^ n k=
[(k + 1)^2 − k^2 ] = (n + 1)^2.
Por outro lado, (^) n ∑ k=
[(k + 1)^2 − k^2 ] =
∑^ n k=
(2k + 1).
Usando as propriedades aditiva e homog´enea, no ´ultimo somat´orio, vem:
∑^ n k=
[(k + 1)^2 − k^2 ] = 2
∑^ n k=
k +
∑^ n k=
Do Exemplo 4), vem ent˜ao:
(n + 1)^2 = 2
∑^ n k=
k + (n + 1),
Exerc´ıcios
- Utilizando o simbolo de somat´orio, represente as seguintes somas (a) z 1 + z 2 + · · · + z 27 (b) x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x 10 y 10 (c) (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 ) + · · · + (a 15 − b 15 ) (d) 3^3 + 4^3 + · · · + 10^3 (e) b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + b 3 x^3 + b 4 x^4 (f) 1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + · · · + 25^25
- Calcule o valor de a)
∑^5
j=
(−1)j+ j b)
∑^ n k=
(2k^ − 2 k−^1 )
- Calcular, aplicando a propriedade telesc´opica,
(a)
∑^ n k=
((k + 1)^3 − k^3 )
(b)
∑^ n i=
i(i − 1)
(c)
∑^500
j=
j(j + 1)(j + 2) atendendo a que^ j(j+1)(^1 j+2) =^12 (^ j(j^1 +1) −^ (j+1)(^1 j+2)^ )
- Averigue o valor l´ogico de cada uma das proposi¸c˜oes seguintes
(a)
∑^200
k=
k^3 =
∑^200
k=
k^3
(b)
∑^100
i=
(3 + i) = 3 +
∑^100
i=
i
(c)
∑^200
k=
(3k) = 3
∑^200
k=
k
(d)
∑^12
k=
k^3 =
k=
k
(e)
∑^100
j=
(3 + j) = 300 +
∑^100
j=
j
- Determine k de modo que seja
(a)
∑^50
i=
(5 + i) = 10k +
∑^50
i=
i
(b)
∑^10
i=
(1 + i)^2 = k +
∑^10
i=
i^2
(c)
∑^20
i=
i^2 =
∑^18
i=
i^2 + k
(d)
∑^600
i=
5 i^3 = 10k
∑^600
i=
i^3
(e)
∑^51
i=
(i + k) = (
∑^51
i=
i) + 104.
- Recorrendo a propriedades de somat´orios calcule:
(a)
∑^50
i=
(3 + i)
(b)
∑^10
k=
(5 + 4k)
(c)
∑^ n k=
[(2k + 1)^2 − (2k)^2 ]
(d)
∑^ n k=
((5k + 1)^2 − (5k − 1)^2 )
(e)
∑^ n k=
5 k^ −^
5 k+
(f)
∑^ n i=
( (^) i + 1 2 i − 1 −^
i + 2 2 i + 1
