Propriedades da Soma de Matrizes, Provas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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ALGEBRA LINEAR III´

Departamento de Estrutura Matem´atica - IME - UERJ

Prof. Jessica Gavia

Conte´udo

Cap´ıtulo 1

MATRIZES, SISTEMAS LINEARES

E DETERMINANTES

1.1 Defini¸c˜oes e Exemplos

Sejam m e n naturais n˜ao nulos. Uma matriz de ordem m × n ou simplesmente matriz ´e um elemento representado na forma de arranjo retangular com m linhas e n colunas, composto por n´umeros reais ou complexos.

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n ..

....

am 1 am 2... amn

Considerando 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, o elemento aij ´e um n´umero real ou complexo que representa o elemento localizado na posi¸c˜ao (i,j), isto ´e na i-´esima linha e j-´esima coluna, esses elementos tamb´em s˜ao chamados entradas da matriz.

Estaremos sempre tratando com matrizes com entradas reais. Os n´umeros reais tamb´em ser˜ao chamados escalares.

A matriz tamb´em ´e denotada como,

A = Am×n = [aij ]m×n.

Exemplo 1.1.

A 3 × 4 =

Matrizes podem representar dados de diversos tipos de problemas concretos.

Exemplo 1.2. Consideremos duas ligas de a¸co A e B, com componentes adicionais: carbono (C), Sil´ıcio (Si), Manganˆes (Mn), Cromo (Cr), N´ıquel (Ni), Molibdˆenio (Mo) que s˜ao dadas em % na tabela abaixo:

Liga % C %Si %Mn %Ni %Cr %Mo Liga A 0,85 1,50 1,50 0,50 1,30 0, Liga B 0,84 2,00 1,48 0,48 1,32 0,

estes dados podem ser representados pela matriz, [ 0 , 85 1 , 50 1 , 50 0 , 50 1 , 30 0 , 30 0 , 84 2 , 00 1 , 48 0 , 48 1 , 32 0 , 28

]

Exemplo 1.3. Matrizes podem ser definidas atrav´es de regras para o c´alculo de suas entradas, por exemplo:

A = [aij ] 2 × 4 , onde aij = (i − j) cos jπ, para todos i = 1, 2 e j = 1, 2 , 3 , 4;

da´ı obtemos:

A =

[

]

Defini¸c˜ao 1.4. A = [aij ] e B = [bij ] s˜ao matrizes iguais, se s˜ao da mesma ordem e,

aij = bij , para todos i, j.

1.2 Tipos de Matrizes

1. Matriz nula: ´e uma matriz de ordem qualquer, cujas entradas s˜ao todas nulas, esta matriz ´e denotada (^0) m×n ou simplesmente 0.
2. Matriz linha: matriz com uma ´unica linha.

A 1 ×n =

[

a 11... a 1 n

]

1. Matriz coluna: matriz com uma ´unica coluna.

Am× 1 =

a 11 .. . am 1

1. Matriz quadrada: ´e uma matriz de ordem m × m (n´umero de linhas e colunas iguais a m), chamada matriz quadrada de ordem m.

Am×m =

a 11... a 1 m .. .

am 1... amm

Exemplo 1.8. Dadas as matrizes:

A =

 (^) e B =

 (^) , temos A + B =

Propriedades 1.9. Sejam matrizes A, B e C, da mesma ordem. A soma de matrizes possui as seguintes propriedades:

(a) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

(b) Comutativa: A + B = B + A

(c) Matriz Nula: A + 0 = 0 + A, onde 0 ´e a matriz nula na ordem respectiva.

(d) Matriz Oposta: Para cada matriz A = [aij ] define-se a matriz oposta de A, denotada por −A, e definida como −A = [−aij ]. A matriz −A ´e a ´unica com a propriedade: A + (−A) =

Para conferir as propriedades basta ver que os elementos de posi¸c˜ao (i, j) do lado esquerdo e direito das igualdades s˜ao iguais.

Defini¸c˜ao 1.10. Dadas matrizes da mesma ordem A = [aij ] e B = [bij ], define-se a matriz diferen¸ca de A e B na forma usual, A − B = A + (−B) = [aij − bij ].

Multiplica¸c˜ao por Escalar

Dados uma matriz A = [aij ] de ordem m×n e um escalar k, definimos a matriz multiplica¸c˜ao por escalar de k e A como a matriz tamb´em de ordem m × n, dada por

k · A = [kaij ].

Exemplos 1.11.

− 2 ·

[

]

[

]

[

]

[

]

Propriedades 1.12. Sejam A e B matrizes da mesma ordem e k, k 1 , k 2 escalares. O produto de matriz por escalar possui as seguintes propriedades:

(a) k · (A + B) = kA + kB

(b) (k 1 + k 2 ) · A = k 1 A + k 2 A

(c) k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A

(d) 0 · A = 0

(e) 1 · A = A e − 1 · A = −A.

Novamente as demonstra¸c˜oes s˜ao simples e consistem em verificar que elementos das posi¸c˜oes (i, j) em ambos os lados das igualdades s˜ao iguais.

Multiplica¸c˜ao de Matrizes

Definiremos primeiro a multiplica¸c˜ao de uma matriz linha por uma matriz coluna, para isto consideremos a matriz linha L, de ordem 1 × n e a matriz coluna C, de ordem n × 1:

L =

[

a 1... an

]

, C =

b 1 .. . bn

definimos o produto das matrizes L e C, como o escalar.

L · C =

[

a 1... an

]

b 1 .. . bn

 =^ a 1 b 1 +^ a 2 b 2 +^...^ +^ anbn =

∑^ n

k=

akbk.

Exemplo 1.13.

[ 4 12 2

]

√^1

Consideremos uma matriz A = [aij ]m×n e usemos a nota¸c˜ao:

• Li(A) para a matriz linha composta pela i-´esima linha de A

Li(A) =

[

ai 1... ain

]

• Cj (A) para a matriz coluna composta pela j-´esima coluna de A

Cj (A) =

a 1 j .. . amj

Agora, definiremos de forma geral o produto de matrizes. Sejam A = [aij ], uma matriz de ordem m × n e B = [bij ], uma matriz de ordem n × p, a matriz produto, A · B, ´e a matriz de ordem m × p definida como:

A · B = [aij ]m×n[bij ]n×p = [cij ]m×p, onde cij = Li(A) · Cj (B) =

k∑=n

k=

aikbkj ,

ou seja que cij ´e o produto da i-´esima linha de A e a j-´esima coluna de B.

No caso, A =

 (^) e b =

b 1 b 2 b 3

, temos

A · b =

b 1 b 2 b 3

2 b 1 + 6b 2 − 2 b 3 0 + b 2 + 3b 3 b 1 + 2b 2 + 4b 3

2 b 1 0 b 1

6 b 2 b 2 2 b 2

− 2 b 3 3 b 3 4 b 3

= b 1

 (^) + b 2

 (^) + b 3

De forma similar, o produto de uma matriz linha pela matriz A ´e uma matriz linha, que escreve-se em fun¸c˜ao das linhas de A (exerc´ıcio).

Propriedades 1.18. Para matrizes A, B e C com ordens adequadas ´as opera¸c˜oes envolvidas, valem as seguintes propriedades.

1. Associatividade. (A · B) · C = A · (B · C).
2. Distributividade.

A · (B + C) = A · B + A · C, Distributividade `a esquerda ,

(B + C) · A = B · A + C · A, Distributividade `a direita.

1. Im · A = A e A · In = A, onde Im e In s˜ao as matrizes identidades de ordem m e n respectivamente.
2. A · 0 = 0 e 0 · A = 0 , neste caso a ordem da matriz nula deve ter a ordem adequada.
3. (αA) · (βB) = (αβ)A · B, onde α e β s˜ao escalares.

Como nos casos anteriores, para as demonstra¸c˜oes o procedimento ´e verificar as igualdades das entradas das matrizes em ambos os lados.

Mostraremos algumas propriedades do produto usuais nos n´umeros, mas que n˜ao s˜ao verdadei- ras para matrizes.

1. O produto de matrizes n˜ao ´e comutativo, ou seja que para algumas matrizes, A·B 6 = B · A (mesmo que as ordens permitam efetuar os produtos). Por exemplo, se:

A =

[

]

e B =

[

]

temos, A · B =

[

]

[

]

= B · A.

Embora existem matrizes que comutam, como A =

[

]

e B =

[

]

1. A · B = 0 n˜ao implica A = 0 ou B = 0.

Um exemplo ´e o par de matrizes A =

[

]

e B =

[

]

, pois A · B = 0 , mas A 6 = 0 e B 6 = 0.

1. A · B = A · C, A 6 = 0 , n˜ao implica B = C.

Um exemplo ´e o caso A =

[

]

, B =

[

]

e C =

[

]

, pois temos

A · B = A · C =

[

]

, mas B 6 = C.

Matrizes em Blocos

As vezes ´e conveniente particionar uma matriz, para escreve-la como uma matriz cujos elementos s˜ao submatrizes da pr´opria. Dada uma matriz A, com a introdu¸c˜ao de linhas divis´orias entre as linhas ou entre as colunas da matriz, podemos descrever A como a matriz cujos elementos s˜ao os blocos determinados, neste caso A ´e dita matriz em blocos. Por exemplo,

A =

[

I B

0 C

]

Com blocos de ordens adequadas podemos verificar de forma simples que o produto de duas matrizes pode-se descrever em fun¸c˜ao de seus blocos. Por exemplo, se

A =

[

A 11 A 12

A 21 A 22

]

, B =

[

B 11 B 12 B 13

B 21 B 22 B 23

]

, temos:

AB =

[

A 11 A 12

A 21 A 22

] [

B 11 B 12 B 13

B 21 B 22 B 23

]

[

A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 11 B 13 + A 12 B 23

A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 A 21 B 13 + A 22 B 23

]

Exemplos 1.19. 1. Sejam A =

[

A 11 A 12

A 21 A 22

]

e B =

[

B 11

B 21

]

Os blocos de AB s˜ao:

Defini¸c˜ao 1.22. Diremos que uma matriz quadrada ´e Idempotente quando A^2 = A. A ser´a chamada Nilpotente, se existir um natural k, tal que Ak^ = 0. Exemplos:

0 , Im,

[

]

 (^) , s˜ao matrizes idempotentes.

[

]

 (^) s˜ao matrizes nilpotentes.

Transposi¸c˜ao

Consideremos uma matriz A = [aij ] de ordem m × n, chamamos matriz transposta de A `a matriz de ordem n × m, denotada At^ e dada por:

At^ = [bij ], onde bij = aji.

Exemplos 1.23.

t

=

[

]

[

]t

[

]

t

=

[

]

Observa¸c˜oes 1.24.

1. Seja A = [aij ]m×n uma matriz qualquer, ent˜ao considerando as linhas de A e colunas de At^ temos

(Li(A))t^ =

ai 1 .. . ain

 =^ Ci(At),^ (Cj (A))t^ =^

[

a 1 j · · · amj

]

= Lj (At).

1. De acordo com as defini¸c˜oes estudadas ´e simples ver que
   • Uma matriz quadrada ´e sim´etrica, se e somente se At^ = A
   • Uma matriz quadrada ´e antisim´etrica, se e somente se At^ = −A.

Propriedades 1.25. Sejam A, B matrizes, ent˜ao:

1. (At)t^ = A
2. (λA)t^ = λAt, onde λ ´e escalar.

1. (A + B)t^ = At^ + Bt, se A, B s˜ao da mesma ordem
2. (A · B)t^ = Bt^ · At, se as ordens de A e B s˜ao adequadas para o produto.
3. (Ak)t^ = (At)k, onde A ´e uma matriz quadrada e k ´e um natural.

No seguinte exemplo algumas matrizes sim´etricas e antisim´etricas importantes.

Exemplo 1.26. 1. Se A ´e uma matriz de ordem m × n verifiquemos que AAt^ ´e sim´etrica de ordem m e AtA ´e sim´etrica de ordem n. De fato, no primeiro caso, (AAt)t^ = (At)tAt^ = AAt, analogamente para AtA.

1. Se A ´e uma matriz quadrada de ordem m verifiquemos que A + At^ ´e sim´etrica e A − At ´e antisim´etrica. De fato no primeiro caso, (A + At)t^ = At^ + (At)t^ = At^ + A = A + At, analogamente para o segundo caso.

Exemplo 1.27. Muitos processos de diferente natureza podem envolver uma vari´avel que muda no tempo, de forma que em cada per´ıodo de tempo esta vari´avel assume um entre um n´umero finito de estados fixos E 1 ,... , En. Suponhamos que a probabilidade de passagem do estado Ej ao estado Ei (“taxa” de passagem ou tranferˆencia) s´o depende do estado inicial Ej e n˜ao da quantidade de per´ıodos transcorridos,

onde, pij ´e a probabilidade de passagem do estado Ej ao estado Ei, chamadas probabilidades de transi¸c˜ao. Suponha que queremos determinar a probabilidade de acontecer Ei no k-´esimo per´ıodo, pk(Ei), de acordo com o diagrama:

temos,

pk(Ei) =

∑^ n

j=

pij pk−^1 (Ej ) =

[

pi 1... pin

]

pk−^1 (E 1 ) .. . pk−^1 (En)

previs˜ao a longo prazo, pois o processo modificar´a bastante a cada passo. Existem condi¸c˜oes sob as quais podemos saber se T ter´a esta propriedade ou n˜ao, mas n˜ao vamos abordar isso neste exemplo.

O Tra¸co

Defini¸c˜ao 1.28. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. O tra¸co de A, denotado tr(A), ´e o n´umero real dado pela soma dos elementos da diagonal de A, ou seja:

tr(A) = a 11 +... + ann.

Por exemplo, se A =

, ent˜ao tr(A) = 1, 7.

Propriedades 1.29. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e λ ∈ R, temos:

1. tr(λA) = λtr(A).
2. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
3. tr(AB) = tr(BA)
4. tr(AAt) =

∑n i=1,j=1 a

2 ij , onde^ A^ = [aij^ ].

Demonstra¸c˜ao. Provemos 1.29-3, as outras propriedades s˜ao deixadas como exerc´ıcio:

tr(AB) =

∑^ n

i=

Li(A) · Ci(B) =

∑^ n

i=

∑^ n

k=

aikbki

∑^ n

k=

∑^ n

i=

aikbki =

∑^ n

k=

∑^ n

i=

bkiaik

∑^ n

k=

Lk(B) · Ck(A) = tr(BA)

De forma geral, n˜ao ´e verdadeiro que tr(AB) = tr(A)tr(B). Determine matrizes A e B que n˜ao verifiquem a igualdade.

Matriz Inversa

Seja A uma matriz de ordem m × n.

• A ´e dita invert´ıvel a direita, se existir uma matriz B de ordem n×m, tal que AB = Im. Neste caso a matriz B ´e chamada inversaa direita de A.

• A ´e dita invert´ıvel a esquerda, se existir uma matriz C de ordem n × m, tal que CA = In. Neste caso a matriz C ´e chamada inversaa esquerda de A.
• Se A ´e quadrada de ordem m, A ´e dita invert´ıvel , quando existe uma matriz B de mesma ordem, tal que AB = BA = Im. Para ser invert´ıvel ´e suficiˆente que AB = Im ou BA = Im (a prova deste fato resulta do teorema 1.62). Neste caso B ´e dita inversa de A e ´e denotada A−^1 , assim AA−^1 = A−^1 A = Im.

Exemplos 1.30.

1. A matriz identidade Im ´e invert´ıvel pois ImIm = Im. A matriz quadrada nula n˜ao ´e invert´ıvel.
2. Verifique que a matriz A =

 (^) ´e invert´ıvel e sua inversa ´e a matriz B =

 

 (^). De fato,

AB =

Ou seja A ´e invert´ıvel e A−^1 = B.

1. Seja A =

, a matriz B = 1 3

[

]

´e uma inversa a esquerda de A, pois

B · A = I 2.

Seja C =

[

]

, a matriz D = (^13)

 (^) ´e uma inversa a direita de C, pois

C · D = I 2.

4. A =

[

a b c d

]

´e invert´ıvel, se e somente se, 4 = ad − bc 6 = 0. Neste caso

A−^1 =

[

d −b −c a

]

De fato se B =

[

x y z w

]

´e a inversa de A, ent˜ao

[ a b c d

] [

x y z w

]

[

ax + bz ay + bw cx + dz cy + dw

]

[

]

1. kA ´e invert´ıvel e (kA)−^1 = (^1) k A−^1
2. AB ´e invert´ıvel e (AB)−^1 = B−^1 A−^1
3. Am^ ´e invert´ıvel e (Am)−^1 = (A−^1 )m
4. At^ ´e invert´ıvel e (At)−^1 = (A−^1 )t.

Demonstra¸c˜ao. 1. Como AA−^1 = A−^1 A = I, ent˜ao A ´e inversa de A−^1.

1. Segue de: (kA)( (^1) k A−^1 ) = (k · (^) k^1 )(AA−^1 ) = I
2. Segue de: (AB)(B−^1 A−^1 ) = A(BB−^1 )A−^1 = AA−^1 = I
3. Segue da aplica¸c˜ao sucessiva da propriedade anterior, com A = B.
4. Segue de: At(A−^1 )t^ = (A−^1 A)t^ = It^ = I.

Exemplo 1.33. Considere a matriz A =

[

]

. Mostre que A ´e invert´ıvel e resolva a

equa¸c˜ao: I + AXt^ = A^2.

A matriz A ´e invert´ıvel pois 4 = (3)(−1) − (2)(1) = − 5 6 = 0

Aplicando as propriedades das matrizes na equa¸c˜ao, temos:

I + AXt^ = A^2 ⇔ AXt^ = A^2 − I ⇔ A−^1 AXt^ = A−^1 (A^2 − I) ⇔ Xt^ = A − A−^1 ⇔ X = (A − A−^1 )t.

Sendo A−^1 =

[

]

, temos

X =

([

]

[

]− 1 )t

([

]

[

])t

[

]t

[

]

Defini¸c˜ao 1.34. Uma matriz A, quadrada de orden n ´e dita matriz ortogonal quando A ´e invert´ıvel e sua inversa ´e At, ou seja AAt^ = In = AtA.

Exemplos 1.35. 1. A identidade In ´e uma matriz ortogonal, pois InInt = In. Outras matrizes ortogonais s˜ao

A =

[

]

, e B =

de fato,

AAt^ =

[

] [

]

[

]

analogamente para B.

1. Verifique as matrizes da forma

[

cos θ −sen θ sen θ cos θ

]

, s˜ao ortogonais para todo θ ∈ R.

Propriedades 1.36. Se A e B s˜ao matrizes ortogonais, ent˜ao tamb´em s˜ao ortogonais as ma- trizes: AB, At^ e A−^1.

Demonstra¸c˜ao. Usando propriedades da matriz inversa, temos que AB ´e invert´ıvel e (AB)−^1 = B−^1 A−^1 = BtAt^ = (AB)t, logo AB ´e ortogonal. E imediato mostrar que´ At^ = A−^1 tamb´em ´e ortogonal.

No cap´ıtulo 4 se¸c˜ao 4, caracterizamos as matrizes ortogonais.

1.4 Exerc´ıcios

1. Encontre a matriz [aij ] 4 × 4 cujas componentes satisfazem a condi¸c˜ao dada.

(a) aij = 2cos (π(i 2 + j)) (b) aij = ej−^1 (c) aij =

− 5 , se i + j < 4 0 , se i + j = 4 i + j, se i + j > 4

1. Determine a forma geral de uma matriz A = [aij ] 5 × 5 com a propriedade: aij = 0, para todos i, j tais que |i − j| > 1.
2. Dadas A =

[

]

, B =

[

]

e I a matriz identidade de ordem 2.

(a) Se existir, determine a matriz X tal que: 12 (X − A − B) = 13 (X − 2 I) (b) Se existir a matriz X, tal que 2(A − B + X) = 3(X − A)

1. Se existir, determine a solu¸c˜ao do sistema matricial: { X + Y = 3 A X − Y = 2 B

onde A =

[

]

e B =

[

]