Propriedades e operações de matrizes reais e sistemas de equações lineares, Notas de estudo de Matemática

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Algebra Linear I´

Maria L´ucia Torres Villela Universidade Federal Fluminense Instituto de Matem´atica Junho de 2010

M. L. T. Villela

U F F 2

Introdu¸c˜ao

O objetivo deste texto ´e ser um apoio aos estudantes da disciplina Algebra Linear I, do Curso de Gradua¸´ c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal Fluminense. O objetivo principal ´e estudar espa¸cos vetoriais finita- mente gerados e transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita.

Pressupomos que o estudante esteja familiarizado com o conceito de vetores no plano e espa¸co e tenha os conhecimentos b´asicos de Geometria Anal´ıtica Plana e Espacial. Vamos interpretar geometricamente diversos conceitos, ao longo do texto.

Na Parte 1 introduziremos a ´algebra das matrizes com coeficientes re- ais, as suas opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar, e as propriedades dessas opera¸c˜oes. Apresentaremos o conceito de matrizes invert´ıveis. Definiremos transposta de uma matriz e matrizes ortogonais e estudaremos as suas propriedades. Al´em disso, definiremos equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais e sistemas de equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais. Estudaremos as opera¸c˜oes sobre as equa¸c˜oes que n˜ao alteram as solu¸c˜oes do sistema, dando origem a sistemas equivalentes. A partir da forma matricial do sistema, essas opera¸c˜oes motivam a defini¸c˜ao de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de uma matriz. Apresentaremos um m´etodo de resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais baseado na redu¸c˜ao por linhas `a forma em escada da matriz ampliada associada ao sistema. Classi- ficaremos as solu¸c˜oes dos sistemas lineares homogˆeneos e n˜ao homogˆeneos. Daremos um algoritmo para calcular a inversa de matrizes invert´ıveis com coeficientes reais, usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz.

Na Parte 2 introduziremos os conceitos de: espa¸co vetorial real, sub- espa¸cos vetoriais, interse¸c˜ao de subespa¸cos, combina¸c˜ao linear, espa¸cos veto- rias reais finitamente gerados, conjuntos linearmente independentes ou line- armente dependentes, base e dimens˜ao de espa¸cos vetoriais reais finitamente gerados, coordenadas numa base e soma e soma direta de subespa¸cos ve- toriais reais. Estudaremos transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita, n´ucleo e imagem de transforma¸c˜oes lineares, te- orema do n´ucleo e da imagem, representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita e suas propriedades. Finalizaremos com a ´algebra das transforma¸c˜oes lineares em espa¸cos vetori- ais de dimens˜ao finita, apresentando as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao

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Parte 1

Matrizes e sistemas lineares

Introduziremos o conceito de matrizes com coeficientes reais e alguns tipos especiais de matrizes: matriz nula, quadrada, diagonal, triangular supe- rior e triangular inferior. Apresentaremos a ´algebra das matrizes com coefici- entes reais definindo as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar e estudando as propriedades dessas opera¸c˜oes. Introduziremos o con- ceito de matrizes invert´ıveis e matrizes nilpotentes. Definiremos transposta de uma matriz e matrizes ortogonais e estudaremos as suas propriedades.

Al´em disso, definiremos equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais e sis- temas de equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais. Estudaremos as opera¸c˜oes sobre as equa¸c˜oes de um sistema linear com coeficientes reais que n˜ao alteram as solu¸c˜oes do sistema, dando origem a sistemas equivalentes, isto ´e, sistemas com o mesmo conjunto solu¸c˜ao. A partir da forma matricial do sistema, essas opera¸c˜oes motivam a defini¸c˜ao de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de uma matriz e o conceito de matrizes equivalentes por linhas. Apresentaremos um m´etodo de resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares com coeficientes reais baseado na redu¸c˜ao por linhas `a forma em escada da matriz ampliada associada ao sistema. Classificaremos as solu¸c˜oes dos sistemas lineares ho- mogˆeneos e n˜ao homogˆeneos. Daremos um algoritmo para calcular a inversa de matrizes invert´ıveis com coeficientes reais, usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz.

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Algebra Linear I´

Matrizes com coeficientes reais

Para cada i = 1,... , m, (ai1, ai2,... , ain) ´e a i-´esima linha da matriz A.

Para cada j = 1,... , n,

a1j a2j ... amj

´e a j-´esima coluna da matriz A.

Mm×n(R) ´e o conjunto de todas as matrizes m por n com coeficientes reais. Exemplo 1 S˜ao matrizes com coeficientes reais:

0 1 − 2 π 3 0 1 −3, 5

 ∈ M 3 × 4 (R),

∈ M 2 × 3 (R) e

∈ M 2 × 2 (R).

Defini¸c˜ao 2 (Igualdade de matrizes) Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Mr×s(R). Dizemos que as matrizes A e B s˜ao iguais se, e somente se, m = r, n = s e aij = bij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Nesse caso, escrevemos A = B. Exemplo 2 Vamos determinar os valores de x ∈ R, tais que A =

1 2 x^2 x^3 1

e

B =

x^2 1

sejam iguais. Como a 11 = b 11 = 1 , a 12 = b 12 = 2 ,

x^2 = a 13 = b 13 = 1 , x^3 = a 21 = b 21 = x^2 , a 22 = b 22 = 1 e a 23 = b 23 = 0 , ent˜ao x^2 = 1 e x^3 = x^2. Logo, x = 1.

H´a alguns tipos especiais de matrizes, que tˆem nomes especiais, con- forme veremos a seguir. Exemplo 3 Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). Matriz quadrada: A ´e matriz quadrada se, e somente se, m = n. Nesse caso, dizemos que os elementos a 11 a 22 · · · ann formam a diagonal prin- cipal da matriz quadrada. ( 1 2 − 1 3

∈ M 2 × 2 (R) e

1 4 e − 1 0 ln 2 0 1 3

 ∈ M 3 × 3 (R) s˜ao matrizes qua-

dradas com diagonais principais 1 3 e 1 0 3. Matriz nula: Para quaisquer m ≥ 1 e n ≥ 1 , existe matriz nula m por n.

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Matrizes com coeficientes reais (^) PARTE 1 - SEC¸ ˜AO 1

A ( = 0 se, e somente se, aij = 0 , para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n.

0 0 0 0 0 0

´e a matriz nula em M 2 × 3 (R) e

´e a matriz nula em

M 2 × 2 (R).

Matriz linha: A ´e matriz linha se, e somente se, m = 1 e n ≥ 1.

(1 2 3 4) ∈ M 1 × 4 (R), (0 1 − 2 ) ∈ M 1 × 3 (R) e (−1 5) ∈ M 1 × 2 (R) s˜ao matrizes linhas.

Matriz coluna: A ´e matriz coluna se, e somente se, n = 1 e m ≥ 1. 



 ∈ M

3 × 1 (R),

 ∈ M 4 × 1 (R) e

∈ M 2 × 1 (R) s˜ao ma-

trizes colunas.

Matriz diagonal: A ´e matriz diagonal se, e somente se, m = n e aij = 0 para i 6 = j.

Nesse caso, os elementos da matriz quadrada fora da diagonal principal s˜ao nulos. ( 1 0 0 3

∈ M 2 × 2 (R) e

0 π 0 0 0 − 3

 ∈ M 3 × 3 (R) s˜ao matrizes diagonais.

Matriz identidade: Para cada n ≥ 1 , a matriz identidade de ordem n, deno-

tada por In, ´e a matriz quadrada de ordem n tal que aij =

1, se i = j 0, se i 6 = j.

I 2 =

∈ M 2 × 2 (R) e I 3 =

 ∈ M 3 × 3 (R) s˜ao as matrizes

identidades de ordens 2 e 3, respectivamente.

Matriz triangular superior: A ´e triangular superior se, e somente se, m = n e aij = 0 , para todo i > j.

Nesse caso, os elementos da matriz quadrada abaixo da diagonal principal s˜ao nulos. ( 1 2 0 3

∈ M 2 × 2 (R) e

0 π 5 0 0 − 3

 ∈ M 3 × 3 (R) s˜ao matrizes triangu-

lares superiores.

Matriz triangular inferior: A ´e triangular inferior se, e somente se, m = n e aij = 0 , para todo i < j.

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Matrizes com coeficientes reais (^) PARTE 1 - SEC¸ ˜AO 1

(A + B) + C

ij

( = 1 ) (A + B)

ij +^ cij ( = 2 ) (a ij +^ bij) +^ cij ( = 3 ) a ij + (bij +^ cij) ( = 4 ) a ij + (B^ +^ C)ij ( = 5 ) (A + (B + C)) ij,

Em (1) usamos a defini¸c˜ao de (A + B) + C; em (2), a defini¸c˜ao de A + B; em (3), a associatividade da adi¸c˜ao em R; em (4), a defini¸c˜ao de B + C e em (5), a defini¸c˜ao de A + (B + C).

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, (A + B) + C = A + (B + C).

(b) Comutativa: Sejam A = (aij) e B = (bij). Ent˜ao, Em (6) usamos a defini¸c˜ao de A + B; em (7), a comutatividade da adi¸c˜ao em R e em (8), a defini¸c˜ao de B + A.

(A + B)ij^ ( =^6 ) aij + bij^ ( =^7 ) bij + aij^ ( = (^8 ) B + A)ij,

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, A + B = B + A.

(c) Existˆencia de elemento neutro aditivo: Seja 0 = (dij), onde dij = 0 , para todo i, j. Ent˜ao, (A + 0 )ij = aij + dij = aij + 0 = aij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, A + 0 = A. 

Defini¸c˜ao 4 (Multiplica¸c˜ao por escalar) Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e k ∈ R. A matriz C = k · A ∈ Mm×n(R) ´e definida por C = (cij), onde cij = k·aij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n.

Exemplo 6 Sejam A =

 ∈ M 3 × 2 (R) e B =

∈ M 2 × 3 (R).

Ent˜ao,

2 · A =

 ∈ M

3 × 2 (R)^ e^ (−^1 )^ ·^ B^ =

∈ M 2 × 3 (R).

Proposi¸c˜ao 3 (Propriedades da multiplica¸c˜ao por escalar) Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R) e k, k 1 , k 2 ∈ R. Valem as seguintes propriedades:

(a) Distributiva: k · (A + B) = k · A + k · B.

(b) Distributiva: (k 1 + k 2 ) · A = k 1 · A + k 2 · A.

(c) Associativa: k 1 · (k 2 · A) = (k 1 · k 2 ) · A.

(d) 1 · A = A, onde 1 ∈ R.

(e) 0 · A = (^0) m×n, onde 0 ∈ R.

Demonstra¸c˜ao:

(a) Distributiva:

Em (1) usamos a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (2), a defini¸c˜ao de A + B; em (3), a distributividade em R; em (4), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (5), a defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes.

k · (A + B)

ij

( = 1 ) k · (A + B) ij

( = 2 ) k · (a ij +^ bij)^

( = 3 ) k · a ij +^ k^ ·^ bij ( = 4 ) (k · A) ij + (k^ ·^ B)ij

( = ( 5 ) k · A + k · B) ij,

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Algebra Linear I´

Matrizes com coeficientes reais

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, k · (A + B) = k · A + k · B. (b) Distributiva: ( (k 1 + k 2 ) · A

ij

( = 6 ) (k 1 +^ k 2 )^ ·^ aij

( = 7 ) k 1 ·^ aij +^ k 2 ·^ aij ( = 8 ) (k 1 ·^ A)ij + (k 2 ·^ A)ij

( = ( 9 ) k 1 ·^ A^ +^ k 2 ·^ A)ij.

Em (6) usamos a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (7), a distributividade em R; em (8), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (9), a defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes. Em (10) usamos a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar; em (11), a associatividade da multiplica¸c˜ao em R; em (12) e (13), novamente, a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar.

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, (k 1 + k 2 ) · A = k 1 · A + k 2 · A. (c) Associativa: ( (k 1 · k 2 ) · A

ij

( (^10) =) (k 1 ·^ k 2 )^ ·^ aij

( (^11) =) k 1 ·^ (k 2 ·^ aij) ( (^12) =) k 1 ·^ (k 2 ·^ A)ij

( (^13) =) (k 1 ·^ (k 2 ·^ A)

ij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, (k 1 · k 2 ) · A = k 1 · (k 2 · A). Deixamos os itens (d) e (e) como Exerc´ıcios.  Defini¸c˜ao 5 (Multiplica¸c˜ao de matrizes) Sejam A = (aik) ∈ Mm×p(R) e B = (bkj) ∈ Mp×n(R), para i = 1,... , m, k = 1,... , p e j = 1,... , n. O produto C = A · B ∈ Mm×n(R) ´e a matriz definida por

Para determinar o elemento de ordem ij do produto usamos a i-´esima linha da matriz A, matriz a esquerda, e a j-´esima coluna de B, matriza direita, respectivamente, (ai1 ,. .. , aip ) e

0 BB @

b1j ... bpj

1 CC A.

cij =

∑^ p

k= 1

aik · bkj,

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n.

Exemplo 7 Sejam A =

∈ M 2 × 3 (R) e B =

 ∈ M 3 × 2 (R). Ent˜ao,

Fa¸ca os c´alculos por linha. Fixe uma linha de A e, sucessivamente, varie as colunas de B, determinando a linha de mesma ordem de AB.

A · B =

( 1 2 3 4 5 6

) ·

 

1 0 0 2 − 1 1

 

=

( 1 · 1 + 2 · 0 + 3 · (− 1 ) 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 1 4 · 1 + 5 · 0 + 6 · (− 1 ) 4 · 0 + 5 · 2 + 6 · 1

)

=

( − 2 7 − 2 16

) ∈ M 2 × 2 (R).

B · A =

 

1 0 0 2 − 1 1

  ·

( 1 2 3 4 5 6

)

=

 

1 · 1 + 0 · 4 1 · 2 + 0 · 5 1 · 3 + 0 · 6 0 · 1 + 2 · 4 0 · 2 + 2 · 5 0 · 3 + 2 · 6 (− 1 ) · 1 + 1 · 4 (− 1 ) · 2 + 1 · 5 (− 1 ) · 3 + 1 · 6

 

=

 

1 2 3 8 10 12 3 3 3

  ∈ M 3 × 3 (R).

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Matrizes com coeficientes reais

( (^11) =) ∑^ q ℓ= 1

( (^) ∑p

k= 1

(aik · bkℓ) · cℓj

( (^12) =)^ ∑^ q ℓ= 1

( (^) ∑p

k= 1

(aik · bkℓ)

· cℓj

( (^13) =)^ ∑^ q ℓ= 1

(A · B)iℓ · cℓj ( (^14) =) ((A · B) · C) ij,

Em (11) usamos a comutatividade e associatividade da adi¸c˜ao em R; em (12), a distributividade em R; em (13), a defini¸c˜ao de A · B; em (14), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao de A · B por C.

para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, A · (B · C) = (A · B) · C. (d) Sejam k ∈ R, A ∈ Mm×p(R) e B ∈ Mp×n(R). Ent˜ao,

Em (15) usamos a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (16), defini¸c˜ao de A · B; em (17), a distributividade em R; em (18), a associatividade em R; em (19), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao por escalar; em (20), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao de matrizes.

k · (A · B)

ij

( (^15) =) k · (A · B) ij ( (^16) =) k ·

( (^) ∑p

k= 1

aik · bkj

( (^17) =) ∑^ p k= 1

k · (aik · bkj)

( (^18) =) ∑^ p k= 1

(k · aik) · bkj

( (^19) =)^ ∑^ p k= 1

(k · A)ik · bkj ( (^20) =) ((k · A) · B) ij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, k · (A · B) = (k · A) · B. A outra igualdade ´e an´aloga e ser´a deixada como Exerc´ıcio, assim como o item (e), que ´e uma simples verifica¸c˜ao. 

As linhas de A s˜ao as colunas de At^ , equivalentemente, as colunas de A s˜ao as linhas de At^.

Defini¸c˜ao 6 (Transposta) Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). A matriz transposta de A, denotada por At, ´e a matriz At^ = (bji) ∈ Mn×m(R) definida por bji = aij, para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Exemplo 8 Sejam A =

∈ M 2 × 3 (R) e B =

∈ M 2 × 2 (R). Ent˜ao,

At^ =

 ∈ M 3 × 2 (R) e Bt (^) =

∈ M 2 × 2 (R)

Proposi¸c˜ao 5 (Propriedades da transposta) Valem as seguintes propriedades: (a) (A + B)t^ = At^ + Bt, para quaisquer A, B ∈ Mm×n(R).

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Matrizes com coeficientes reais (^) PARTE 1 - SEC¸ ˜AO 1

(b) (k · A)t^ = k · At, para quaisquer k ∈ R e A ∈ Mm×n(R).

(c) (A · B)t^ = Bt^ · At, para quaisquer A ∈ Mm×p(R) e B ∈ Mp×n(R).

(d)

At

)t = A, para qualquer A ∈ Mm×n(R).

Demonstra¸c˜ao:

(a) Sejam A = (aij) e B = (bij) em Mm×n(R). Ent˜ao, Em (1) usamos a defini¸c˜ao de transposta; em (2), a defini¸c˜ao de A + B; em (3), a defini¸c˜ao de transposta de A e de B; em (4), a defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes.

(A + B)t

ji

( = 1 ) (A + B)

ij

( = 2 ) a ij +^ bij

( = ( 3 ) At) ji + (Bt)ji

( = 4 ) (At (^) + Bt) ji , para todo i = 1,... , m e j = 1,... , n. Logo, (A + B)t^ = At^ + Bt.

Deixamos como Exerc´ıcio a demonstra¸c˜ao dos outros itens. 

Defini¸c˜ao 7 (Matriz invert´ıvel) Seja A ∈ Mn×n(R). Dizemos que A ´e invert´ıvel se, e somente se, existe B ∈ Mn×n(R) tal que A · B = B · A = In. Nesse caso, dizemos que B ´e a inversa de A e denotamos B = A−^1.

Exemplo 9 Seja A =

. Ent˜ao, A ´e invert´ıvel e A−^1 =

Para verificar a afirma¸c˜ao, fa¸ca o produto das duas matrizes.

Exemplo 10 Consideremos A =

a b c d

∈ M 2 × 2 (R), com ad − bc 6 = 0. Ent˜ao, A ´e

invert´ıvel e A−^1 = 1 ad − bc

d −b −c a

O conceito de determinante ser´a estudado em Algebra´ Linear II.

Observa¸c˜ao: No exemplo anterior, o determinante da matriz A de ordem 2 ´e det(A) = ad − bc 6 = 0. Em geral, A ∈ Mn×n(R) ´e invert´ıvel se, e somente se, det(A) 6 = 0.

Exemplo 11 Consideremos A =

 ∈ M 4 × 4 (R). Verifique que

A−^1 =

Exemplo 12 Vamos determinar, caso exista, a inversa de A =

 em M 3 × 3 (R).

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Matrizes com coeficientes reais (^) PARTE 1 - SEC¸ ˜AO 1

(b) A =

7 y 4 x^2

, B =

4 10x − 25

3. Determine, caso exista, uma matriz B ∈ M 2 × 2 (R) tal que B^2 = A, onde

A =

4. Seja ei = (c 11 ,... , c1m), onde c1k =

0, se k 6 = i 1, se k = i

, para k = 1,... , m.

(a) Mostre que se B = (bij) ∈ Mm×n(R), ent˜ao vale a igualdade eiB = (bi1, bi2,... , bin).

(b) Mostre que se A = (aij) ∈ Mn×m(R), ent˜ao Aejt^ =

a1j a2j ... anj

5. Mostre que:

(a) (A + B)t^ = At^ + Bt, para todo A, B ∈ Mm×n(R). (b) (cA)t^ = cAt, para todo c ∈ R e A ∈ Mm×n(R). (c) (AB)t^ = BtAt, para todo A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mn×p(R). (d) (At)t^ = A, para todo A ∈ Mm×n(R).

6. Seja A ∈ Mn×n(R). A ´e dita sim´etrica se, e somente se, At^ = A e A ´e dita antisim´etrica se, e somente se, At^ = −A. Mostre que:

(a) Se A ∈ Mn×n(R) ´e sim´etrica e antisim´etrica, ent˜ao A = 0. (b) Se A ∈ Mn×n(R), ent˜ao A+At^ ´e sim´etrica e A−At^ ´e antisim´etrica. (c) Para cada A ∈ Mn×n(R), existem B, C ∈ Mn×n(R), univoca- mente determinadas, tais que B ´e sim´etrica, C ´e antisim´etrica e A = 12 (B + C).

7. Sejam A =

, B =

 e

C =

. Mostre que AB = AC.

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Algebra Linear I´

Matrizes com coeficientes reais

8. Sejam A, B, C matrizes com coeficientes reais tais que A 6 = 0 e AB = AC. Responda, justificando a sua resposta:

(a) B = C? (b) Se existe uma matriz D, tal que DA = I, onde I ´e a matriz identidade, ent˜ao B = C? (c) No exerc´ıcio anterior, existe uma matriz D tal que DA = I?

9. Sejam A, B ∈ Mn×n(R) invert´ıveis. Mostre que:

(a) AB ´e invert´ıvel e (AB)−^1 = B−^1 A−^1. (b) Para todo a ∈ R, a 6 = 0 , aA ´e invert´ıvel e (aA)−^1 = a−^1 A−^1.

10. Mostre que se A, B ∈ Mn×n(R) s˜ao ortogonais, ent˜ao AB ´e ortogonal.
11. Sejam A, C ∈ Mm×m(R) com C invert´ıvel.

(a) Mostre que (C−^1 AC)n^ = C−^1 AnC, para todo n ≥ 1. (b) Mostre que se A ´e invert´ıvel, ent˜ao (C−^1 AC)n^ = C−^1 AnC, para todo n ∈ Z.

12. Diga quais das afirma¸c˜oes s˜ao falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:

(a) Sejam A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mn×p(R). Se AB = 0 , ent˜ao A = 0 ou B = 0. (b) Sejam A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) e k 1 , k 2 ∈ R. Ent˜ao, (k 1 A)(k 2 B) = (k 1 k 2 )AB. (c) Se A e B s˜ao matrizes sim´etricas, ent˜ao AB = BA. (d) Se A, B ∈ Mn×n(R), ent˜ao (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. (e) Se A, B ∈ Mn×n(R), ent˜ao (A + B)(A − B) = A^2 − B^2.

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