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Disciplina: Algebra Linear III - FEN´
1 ª Lista de Exerc´ıcios -´Algebra de Matrizes
- Encontre a matriz [aij ] 4 × 4 cujas componentes satisfazem a condi¸c˜ao dada.
(a) aij = 2cos (π(i 2 + j)) (b) aij = ej−^1 (c) aij =
− 5 , se i + j < 4 0 , se i + j = 4 i + j, se i + j > 4
- Determine a forma geral de uma matriz A = [aij ] 5 × 5 com a propriedade: aij = 0, para todos i, j tais que |i − j| > 1.
- Dadas A =
[
]
, B =
[
]
e I a matriz identidade de ordem 2.
(a) Se existir, determine a matriz X tal que: 12 (X − A − B) = 13 (X − 2 I) (b) Se existir a matriz X, tal que 2(A − B + X) = 3(X − A)
- Se existir, determine a solu¸c˜ao do sistema matricial: { X + Y = 3 A X − Y = 2 B
onde A =
[
]
e B =
[
]
- Considere as matrizes: A =
, B =
[
]
, C =
[
]
D =
e E =
Calcule quando poss´ıvel, as seguintes matrizes: (a) 5(2A + Ct) − 4(A − Ct) (b) 12 (A · B)t^ + 12 At^ (c) (10Et^ − 10 E)t (d) 4B · C + 2B (e) Bt(C · Ct^ − At^ · A) (f) Dt^ · D · E (g) D · Dt^ · E
- Sejam as matrizes A =
e B =
Determine, se poss´ıvel uma matriz C tal que : (a) −Ct^ = −A+B (b) (2A+Ct)t^ = At^ +Bt^ (c) (B^2 − 3 C)t^ = BtAt^ (d) A+B +C = Ct.
- Seja A =
[
]
, mostre duas matrizes B e C, tais que AB = AC e B 6 = C.
- Dados s = 1, 2 , 3 ou 4 e t = 1, 2 ou 3, define-se a matriz,
Est = [eij ] 4 × 3 , onde eij =
1 , se i = s, j = t 0 , outro caso
Analogamente, para k = 1, 2 , 3 e l = 1, 2 , 3, define-se
Fkl = [fij ] 3 × 3 , onde fij =
1 , se i = k, j = l 0 , outro caso
Determine: (a) E 32 F 21 (b) Em que casos EstFkl = 0? (c) Em que casos EstFkl 6 = 0?
- Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n. Determine se as seguintes proposi¸c˜oes s˜ao V ou F, justificando se verdadeiras, dando exemplo de falsidade se falsas. a) Se A e B s˜ao tais que AB = 0 ent˜ao BA = 0. b) A^2 − B^2 = (A + B)(A − B) c) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 d) Se A e B s˜ao matrizes sim´etricas, ent˜ao A + B ´e sim´etrica. e) Se A e B s˜ao matrizes anti-sim´etricas, ent˜ao A + B ´e anti-sim´etrica. f) Se A e B s˜ao matrizes sim´etricas, ent˜ao AB ´e sim´etrica.
- Em cada caso, encontre os valores de k, se houverem, que satisfazem a equa¸c˜ao.
(a)
[
k 1 1
]
k 1 1
(b)
[
2 2 k
]
k
- Considere A =
[
]
e determine todas as matrizes 2 × 2 que comutam com A.
- (a) Se A ´e uma matriz retˆangular, tal que AtA ´e invert´ıvel, verifique que a matriz B = (AtA)−^1 At^ ´e uma inversa
a esquerda de A. (b) Se A ´e uma matriz retˆangular, tal que AAt^ ´e invert´ıvel, verifique que a matriz C = At(AAt)−^1 ´e uma inversaa direita de A.
(c) Se poss´ıvel, determine uma matriz inversa `a esquerda de A =
- Determine os parˆametros reais a, b, c, d de modo que a matriz abaixo seja ortogonal :
0 √^12 √^12
a b c
- Determine, justificando, se ´[ e verdadeiro ou falso que, para todo θ ∈ R a matriz A = cos θ −sen θ sen θ cos θ
]
´e ortogonal.
- Determine, justificando, se ´e verdadeiro ou falso que, o produto de matrizes ortogonais da mesma ordem ´e ortogonal.
- Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas trˆes marcas do mercado: Gelato, Del´ıcia e Suave. Ap´os a aplica¸c˜ao da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram determinadas as seguintes probabilidades de mudan¸ca de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz T = [aij ], onde aij = probabilidade de escolha do refrigerante i, ap´os consumo do refrigerante j. Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
(a) Considere T =
. Determine :
- A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Gelato passe a consumir o refrigerante Suave.
- A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Suave passe a consumir o refrigerante Gelato. (b) Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem n˜ao mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz T 2 que indica a probabilidade de se mudar de marca ap´os duas pesquisas e mostre que ´e T 2 = T 2. (c) Considerando que as pesquisas mostram que, as pessoas sempre mudam de refrigerante para alguma das outras duas marcas com a mesma probabilidade, construa a matriz T.
Verifique que a matriz T 2 que indica a probabilidade de se mudar de marca ap´os duas pesquisas ´e T 2 = T 2 , como em (b).
- (a) A^2 =
[
]
, A^3 =
[
]
= −I 2 , A^4 = −A, A^5 = −A^2 =
[
]
, A^6 =
−A^3 = I 2. Notando que A^6 k+r^ = A^6 kAr^ = Ar, temos 2015 = 6 × 335 + 5, logo A^2015 = A^5 =
[
]
[13.] (b) A^2 =
[
]
, A^3 =
[
− √^12 − √^12
√^1 2 −^ √^1 2
]
, A^4 = −I 2 , A^5 = −A =
[
− √^12 √^12
− √^12 − √^12
]
Como A^8 = I 2 temos A^2015 = A^7 = −A^3 =
[ 1
√ 2 √^12 − √^12 √^12
]
- Denotemos por Ei a i-´esima esta¸c˜ao e A = [aij ]. O elemento de posi¸c˜ao (i, j) de A^2 indica o n´umero de esta¸c˜oes Ek, diferentes de Ei e Ej e intermedi´arias na transmiss˜ao de Ei para Ej , ou seja na situa¸c˜ao: Eiaik →^ =1 Ekakj →^ =1 Ej Os elementos de A + A^2 indicam o n´umero de formas de transmiss˜ao de Ei para Ej , direta ou atrav´es de uma intermedi´aria.
- (a) X = A−^1 B−^1 C (b) X = B (c) X = A−^1 C−^1 A (d) X = I − ((BA)−^1 )t
- (a) X = (^13)
[
]
(b) X =
[
]
- (a) Basta obter BA = I (b) Basta obter AC = I (c) 381
[
]
- a = 0, b = −c = ± √^1 2
- Verdadeiro.
- Verdadeiro.
- (a) 0.1 e 0. 6 (b) T 2 =
(c) T =
