Prova 2
Nome:
1. Considere uma circunferˆencia (anel circular) de raio R, com densidade uniforme de massa
λ0, localizada no plano xy, e com “centro” na origem do sistema de coordenadas. (i)
Obtenha a express˜ao para o trabalho m´ınimo, por unidade massa, requerido de um agente
externo para trazer um corpo do “infinito” at´e a posi¸c˜ao (0,0, z). (ii) Mostre que, para
posi¸c˜oes (0,0, z ), tal que |z| ≫ R, o trabalho por unidade de massa, mencionado no item
anterior, ´e aproximadamente igual ao requerido para trazer um objeto do infinito at´e a
presen¸ca de uma massa puntiforme localizada na origem. (iii) Obtenha a express˜ao para o
trabalho m´ınimo, por unidade massa, requerido de um agente externo para mover um corpo
da origem do sistema de coordenadas at´e a posi¸c˜ao (0,0, z). (iv) Partindo o resultado do
item (i), encontre o campo gravitacional g(0,0, z), bem como a for¸ca gravitacional sobre
uma massa mque se encontra ao longo do eixo z.
2. Considere uma esfera com densidade de massa homogˆenea ρ0, de raio R, e com centro
na origem do sistema de coordenadas. (i) Usando as propriedades do fluxo do campo
gravitacional, bem como argumentos de simetria, obtenha a express˜ao geral para g(r) nas
duas regi˜oes (dentro e fora da esfera). (ii) Atuando o operador ∇no resultado do item
anterior, calcule ∇·g(r) em cada uma das referidas regi˜oes. (iii) Obtenha a express˜ao
para o trabalho m´ınimo, por unidade massa, requerido de um agente externo para trazer
um corpo do “infinito” at´e um ponto no interior da esfera. (iv) Atuando o operador ∇no
resultado do item (i), calcule ∇×g(r) em cada uma das referidas regi˜oes.
F´ormulas:Ig·dS=−4πGM (1)
∇·g(r) = −4πGρ (r) (2)
φ(r) = −Zr
rO
g(r)·dr(3)
φ(r) = −GZdm′1
|r−r′|−1
|rO−r′|(4)
dr=dx
b
i+dyb
j+dzb
k(5)
∇f=∂f
∂xb
i+∂f
∂y b
j+∂f
∂z b
k(6)
∇·v=∂vx
∂x +∂vy
∂y +∂vz
∂z (7)
∇×v=∂vz
∂y −∂vy
∂z b
i+∂vx
∂z −∂vz
∂x b
j+∂vy
∂x −∂vx
∂y b
k(8)
dr=drb
r+rdθb
θ+rsin (θ)dϕb
ϕ(9)
∇f=∂f
∂r b
r+1
r
∂f
∂θ b
θ+1
rsin (θ)
∂f
∂ϕ b
ϕ(10)
∇·v=1
r2
∂
∂r r2vr+1
rsin (θ)
∂
∂θ (sin (θ)vθ) + 1
rsin (θ)
∂vϕ
∂ϕ (11)
∇×v=1
rsin (θ)∂
∂θ sin (θ)vϕ−
∂vθ
∂ϕ b
r+1
r"1
sin (θ)
∂vr
∂ϕ
−
∂
∂r rvϕ#b
θ
+1
r∂
∂r (rvθ)−
∂vr
∂θ b
ϕ(12)
1