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Questão 1: (2,0 pts) Considere R a região no 1º octante da figura (limitada pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas
superfícies z = 4 – x^2 e x = y^2. Descreve uma integral iterada (não precisa calcular) para determinar o volume da
região.
Questão 2: (2,0 pts) Use coordenadas esféricas para determinar o volume da “maçã” (região limitada pela superfície
- a interseção da região com planos contendo o eixo z é a cardioide vista na figura).
Questão 3: (3,0 pts) Converta duas das seguintes integrais em uma integral equivalente em uma
representação de coordenadas diferente da apresentada (Não é para resolver e, naturalmente, apresentar argumentos claros que justifiquem a resposta). a) b) c)
Solução: a) Identificando a região de integração, temos que:
Portanto, em coordenadas cartesianas a região fica caracterizada por:
E como em coordenadas cartesianas, , uma das soluções é:
(ou )
Solução: de b). Identificando a região de integração, temos que:
Portanto, em coordenadas cartesianas a região fica caracterizada por (uma das soluções):
E como, , uma solução em coordenadas cartesianas é:
Já em cilíndricas, como , uma solução é:
Solução: de c). Identificando a região de integração, temos que:
Portanto, em coordenadas cilíndricas a região fica caracterizada por (uma das soluções):
Como, , uma solução em coordenadas cilíndricas é:
Questão 4: (3,0 pts) Seja a região da figura, , e considere a integral da função sobre a região S (). Enuncie
o teorema de mudança de variáveis (substituição) e utilize-o para calcular o valor da integral, justificando que é uma mudança de variável e esboçando a região de integração, , no plano uv.
Solução: Enunciando o TMV, temos que “quando é uma MV que leva uma região do plano xy , S , em uma região do plano uv , ( é MV quando é diferenciável e seu jacobiano não se anula a menos eventualmente de um subconjunto de área nula); então vale a seguinte fórmula de integração dupla:
Para mostrarmos que é MV, multiplicando-se e dividindo-se a as expressões de u e v , conclui-se que. Daí, podemos calcular a jacobiana (diretamente) por: (portanto é MV) Ou através da fórmula , onde:
Com relação a região de integração nas variáveis u e v , tem-se que:
Resolvendo a integral, tem-se que:
Questão 1: (2,0 pts) Considere R a região limitada acima e abaixo planos pelos paraboloides z = 1 + x^2 + y^2 e
z = 9 - x^2 - y^2. Descreve uma integral iterada (não precisa calcular) para calcular a integral.
Questão 2: (2,0 pts) Considere o sólido limitado abaixo pelo plano xy e aos lados pela esfera e o cone. Determine o
seu volume usando integrais triplas.
Questão 1: (2,0 pts) Considere R a região limitada acima e abaixo planos e z = 0 e z = 2 - x e lateralmente
pelo cilindro elíptico x^2 + 4 y^2 = 4. Descreve uma integral iterada (não precisa calcular) para calcular a integral.
