apostila de probabilidades, Resumos de Probabilidades e Processos Estocásticos

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

CENTRO DE ESTUDOS GERAIS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE

Ana Maria Lima de Farias

Luiz da Costa Laurencel

Abril de 2006

Conteúdo

Capítulo 1

Probabilidade - Conceitos Básicos

1.1 Introdução

No nosso cotidiano, lidamos sempre com situações onde está presente a incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis sejam conhecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculino ou feminino, mas só saberemos o resultado quando o experimento se concretizar, ou seja, quando o bebê nascer. Se estamos interessados na face voltada para cima quando jogamos um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas só saberemos o resultado quando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfície sobre a qual foi lançado. É conveniente, então, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em cada um destes acontecimentos. Tal medida é a probabilidade. No estudo das distribuições de freqüências, vimos como essas são importantes para entendermos a variabilidade de um fenômeno aleatório. Por exemplo, se sorteamos uma amostra de empresas e analisamos a distribuição do número de empregados, sabemos que uma outra amostra forneceria resultados diferentes. No entanto, se sorteamos um grande número de amostras, esperamos que surja um determinado padrão que reflita a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, construído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de freqüências quando o fenômeno é observado diretamente. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e eles serão estudados na segunda parte do curso de Estatística. A probabilidade é a ferramenta básica na construção de tais modelos e será estudada nesta primeira parte.

1.2 Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Consideremos o lançamento de um dado. Queremos estudar a proporção de ocorrências das faces desse dado. O primeiro fato a observar é que existem apenas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segundo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que este seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes e, portanto, essa proporção deve ser 16. Nessas condições, nosso modelo probabilístico para o lançamento de um dado pode ser expresso da seguinte forma:

Face 1 2 3 4 5 6 Total Freqüência teórica 16 16 16 16 16 16 1

1

Suponhamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculino (M) ou feminino (F). Então, as possibilidades para o sexo das três crianças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultados sejam igualmente prováveis, o que equivale dizer que cada bebê tem igual chance de ser do sexo masculino ou feminino. Então cada resultado tem uma chance de 18 de acontecer e o modelo probabilístico para esse experimento seria

Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total Freq. teórica 18 18 18 18 18 18 18 18 1

Por outro lado, se só estamos interessados no número de meninas, esse mesmo experimento leva ao seguinte modelo probabilístico:

Meninas 0 1 2 3 Total Freq. teórica 18 38 38 18 1 Nesses exemplos, vemos que a especificação de um modelo probabilístico para um fenômeno casual depende da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, então, estabelecer algumas definições antes de passarmos à definição propriamente dita de proba- bilidade.

1.2.1 Experimento aleatório

Um experimento aleatório é um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, repetindo- se o experimento sob as mesmas condições, os resultados serão diferentes. Contrapondo aos experi- mentos aleatórios, temos os experimentos determinísticos, que são experimentos que, repetidos sob as mesmas condições, conduzem a resultados idênticos. Neste curso, estaremos interessados apenas nos experimentos aleatórios.

1.2.2 Espaço amostral

O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Vamos denotar tal conjunto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quando o espaço amostral é finito ou infinito enumerável, é chamado espaço amostral discreto. Caso contrário, isto é, quando Ω é não enumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral contínuo.

1.2.3 Eventos aleatórios

Os subconjuntos de Ω são chamados eventos aleatórios; já os elementos de Ω são chamados eventos elementares. A classe dos eventos aleatórios de um espaço amostral Ω, que denotaremos por F (Ω) , é o conjunto de todos os eventos (isto é, de todos os subconjuntos) do espaço amostral. A título de ilustração, consideremos um espaço amostral com três elementos: Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 }. A classe dos eventos aleatórios é

F (Ω) = {∅, {ω 1 } , {ω 2 } , {ω 2 } , {ω 1 , ω 2 } , {ω 1 , ω 2 } , {ω 2 , ω 3 } , {ω 1 , ω 2 , ω 3 }} Os eventos, sendo conjuntos, serão representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto, en- quanto os elementos de um evento serão representados por letras minúsculas.

Mais especificamente:

Ω =

Os eventos são: A = {(i, j) : i = 1, 2 , ; j = 1, 2 , 3 , 4; i 6 = j}

ou mais especificamente

A = {(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 3) , (2, 4)}

B = {(i, j) : i = 1, 2 , 3 , 4; j = 1, 2; i 6 = j}

ou B = {(2, 1) , (3, 1) , (4, 1) , (1, 2) , (3, 2) , (4, 2)} C = {(i, j) : i = 1, 2; j = 1, 2; i 6 = j}

ou C = {(1, 2) , (2, 1)}

Exemplo 1.6 Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das cores azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral para esse experimento e liste os eventos:

A : todas as cartas selecionadas são vermelhas. B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecionadas. C : três diferentes cores ocorrem. D : todas as 4 cores ocorrem.

Solução: Vamos denotar por A, V, P e B as cores azul, vermelha, preta e branca, respectivamente. Então

S = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : xi = A, V, P, B; i = 1, 2 , 3 }

A = {(V, V, V )} B = {(V, A, P ) , (V, P, A) , (A, V, P ) , (A, P, V ) , (P, A, V ) , (P, V, A)} C = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : xi = A, V, P, B; i = 1, 2 , 3; x 1 6 = x 2 6 = x 3 }

Ou

C =

(V, A, P ) , (V, P, A) , (A, V, P ) , (A, P, V ) , (P, A, V ) , (P, V, A) ,

(V, P, B) , (V, B, P ) , (P, V, B) , (P, B, V ) , (B, V, P ) , (B, P, V ) ,

(V, A, B) , (V, B, A) , (A, B, V ) , (A, V, B) , (B, A, V ) , (B, V, A) ,

(P, A, B) , (P, B, A) , (A, P, B) , (A, B, P ) , (B, A, P ) , (B, P, A)

Como temos 4 cores diferentes e apenas 3 extrações, não é possível obter todas as cores; logo,

D = ∅

1.4 Operações com eventos aleatórios

1.4.1 Interseção

O evento interseção de dois eventos A e B é o evento que equivale à ocorrência simultânea de A e B (ver Figura 1.1). Seguindo a notação da teoria de conjuntos, a interseção de dois eventos será representada por A ∩ B.

Figura 1.1: Interseção de dois eventos: A ∩ B

Note que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B (1.1)

Exemplo 1.7 Consideremos o experimento “lançamento de dois dados” e os eventos A =“soma das faces é um número par” e B = “soma das faces é um número maior que 9”. Calcule A ∩ B. Solução: O espaço amostral desse experimento, que tem 36 elementos, é

Ω = {(1, 1), (1, 2),... , (1, 6), (2, 1),... , (2, 6),... , (6, 6)}

Para que um elemento pertença à interseção A ∩ B, ele tem que pertencer simultaneamente ao evento A e ao evento B. O evento B é

B = {(4, 6) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6)}

Dos seus elementos, os únicos que pertencem ao evento A, isto é, que têm soma das faces par, são os eventos (4, 6) , (5, 5) , (6, 4) e (6, 6). Logo, A ∩ B = {(4, 6) , (5, 5) , (6, 4) , (6, 6)}. Note que não precisamos listar o evento A! Ele tem 18 elementos!

Figura 1.3: União de dois eventos: A ∪ B

Note que x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B (1.2)

Exemplo 1.9 Consideremos o experimento do lançamento de duas moedas, onde o espaço amostral é Ω = {KK, KC, CK, CC}. Sejam os eventos A = “ocorrência de exatamente 1 cara” e B = “duas faces iguais”. Então A = {KC, CK} e B = {CC, KK} ; logo, A ∪ B = Ω e A ∩ B = ∅. Seja C o evento “pelo menos uma cara”; então C = {KC, CK, KK} e B ∪ C = Ω e B ∩ C 6 = ∅.

1.4.4 Complementar

O complementar de um evento A, denotado por A ou Ac, é a negação de A. Então, o complementar de A é formado pelos elementos que não pertencem a A (ver Figura 1.4).

Figura 1.4: Complementar de um evento A : A

Note que x ∈ A ⇔ x /∈ A (1.3)

e também que A ∪ A = Ω (1.4)

Exemplo 1.10 Consideremos o lançamento de um dado e seja A = “face par”. Então, A é o evento “face ímpar”. Note que A = { 2 , 4 , 6 } e A = { 1 , 3 , 5 } e Ω = A ∪ A.

1.4.5 Diferença

A diferença entre dois eventos A e B, representada por A − B, ou equivalentemente, por A ∩ B, é o evento formado pelos pontos do espaço amostral que pertencem a A mas não pertencem a B (ver Figura 1.5).

Figura 1.5: Diferença de dois conjuntos: A − B = A ∩ B

Note que x ∈ A − B ⇔ x ∈ A e x /∈ B (1.5)

e também A = (A − B) ∪ (A ∩ B) (1.6)

Além disso, A − B 6 = B − A, conforme ilustrado na Figura 1.6.

Figura 1.7: Partição do espaço amostral Ω

Exemplo 1.12 No experimento “lançamento de um dado”, os eventos A = “face par” e B = “face ímpar” formam uma partição do espaço amostral. Temos também que, qualquer que seja Ω, um evento A qualquer e seu complementar A formam uma partição, isto é, A∩A = ∅ e A∪A = Ω.

1.4.7 Propriedades das operações

Sejam A, B, C eventos de um espaço amostral Ω. Então valem as seguintes propriedades.

1. Identidade

A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅ = A A ∩ Ω = A A ∪ Ω = Ω (1.7)

(Note que Ω é o equivalente do conjunto universal da teoria de conjuntos.)

2. Complementar

Ω = ∅ ∅ = Ω A ∩ A = ∅ A ∪ A = Ω (1.8)

3. Idempotente

A ∩ A = A A ∪ A = A (1.9)

4. Comutativa

A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A (1.10)

5. Associativa

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (1.11)

6. Distributiva

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (1.12)

A ilustração da primeira propriedade está na Figura 1.8. Na linha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A ∩ (B ∪ C) : no diagrama à esquerda temos o evento A e no diagrama do centro temos o evento B ∪ C. Para sombrear a interseção desses dois eventos, basta sombrear as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas, o que resulta no diagrama à direita, onde temos o evento A ∩ (B ∪ C). Na linha inferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) : no diagrama à esquerda temos o evento A ∩ B e no diagrama do centro, o evento A ∩ C. Para sombrear a união desses dois eventos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta no diagrama à direita, onde temos o evento (A ∩ B)∪(A ∩ C). Analisando os diagramas à direita nas duas linhas da figura, vemos que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A ilustração da segunda propriedade está na Figura 1.9. Na linha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A ∪ (B ∩ C) : no diagrama à esquerda temos o evento A e no diagrama do centro temos o evento B ∩ C. Para sombrear a união desses dois eventos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta no diagrama à direita, onde temos o evento A ∪ (B ∩ C). Na linha inferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) : no diagrama à esquerda temos o evento A ∪ B e no diagrama do centro, o evento A ∪ C. Para sombrear a interseção desses dois eventos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta no diagrama à direita, onde temos o evento (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Analisando os diagramas à direita nas duas linhas da figura, vemos que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

7. Absorção

A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A (1.13)

8. Leis de De Morgan

A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B (1.14)

Na primeira linha da Figura 1.10 ilustra-se a primeira propriedade A ∩ B = A ∪ B : no diagrama à esquerda temos A ∩ B; nos dois diagramas centrais, temos, respectivamente, A e B; no diagrama à direita, temos A ∪ B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A ∩ B = A ∪ B. Na segunda linha da Figura 1.10 ilustra-se a segunda propriedade A ∪ B = A ∩ B : no diagrama à esquerda temos A ∪ B; nos dois diagramas centrais, temos, respectivamente, A e B; no diagrama à direita, temos A ∩ B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A ∪ B = A ∩ B.

Figura 1.10: Ilustração das propriedades de De Morgan

1.5 Exemplos

Exemplo 1.13 Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos abaixo usando as operações união, interseção e complementação:

1. somente A ocorre;
2. A, B e C ocorrem;
3. pelo menos um ocorre;
4. exatamente dois ocorrem.

Solução:

1. O evento “Somente A ocorre” significa que A ocorreu e B não ocorreu e C não ocorreu; em linguagem de conjunto: Somente A ocorre = A ∩ B ∩ C

2. O evento “A, B e C ocorrem” significa que os três eventos ocorreram; em linguagem de conjunto, A, B e C ocorrem = A ∩ B ∩ C
3. O evento “pelo menos um ocorre” significa que pode ter ocorrido apenas um, ou dois ou três; essa é a própria definição de união, ou seja, em linguagem de conjunto, temos que pelo menos um ocorre = A ∪ B ∪ C
4. Os dois que ocorrem podem ser A e B ou A e C ou B e C. Ocorrendo dois desses, o terceiro não pode ocorrer. Logo, em linguagem de conjunto temos que: exatamente dois ocorrem =

A ∩ B ∩ C

A ∩ B ∩ C

A ∩ B ∩ C

Exemplo 1.14 Considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes eventos:

A = soma par B = soma ≥ 9 C = máximo das faces é 6

Calcule A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A, B ∩ C, B − C. Solução:

A =

B = {(3, 6) , (4, 5) , (4, 6) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6)}

C =

A ∩ B = {(4, 6) , (5, 5) , (6, 4) , (6, 6)}

A ∪ B =

A − B = A ∩ B =

B − A = {(3, 6) , (4, 5) , (5, 4) , (5, 6) , (6, 3) , (6, 5)}

B ∩ C = {(3, 6) , (4, 6) , (5, 6) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6)}

B − C = {(4, 5) , (5, 4) , (5, 5)}

Note que, de acordo com as propriedades já vistas,

(B ∩ C) ∪ (B − C) = (B ∩ C) ∪

B ∩ C

= [(B ∩ C) ∪ B] ∩

(B ∩ C) ∪ C

= [B] ∩

C ∪ (B ∩ C)

= B ∩

C ∪ B

C ∪ C

= B ∩

C ∪ B

= B ∩

C ∪ B

B ∩ C

∪ (B ∩ B)

B ∩ C

∪ B = B

1.4 Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:

1. Em uma pesquisa de mercado, conta-se o número de clientes do sexo masculino que entram em um supermercado no horário de 8 às 12 horas.
2. Em um estudo de viabilidade de abertura de uma creche própria de uma grande empresa, fez-se um levantamento, por funcionário, do sexo dos filhos com menos de 5 anos de idade. O número máximo de filhos por funcionário é 4 e a informação relevante é o sexo dos filhos de cada funcionário.
3. Em um teste de controle de qualidade da produção, mede-se a duração de lâmpadas, deixando- as acesas até que queimem.
4. Um fichário com 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha até o último nome de mulher ser selecionado e anota-se o número de fichas selecionadas.
5. Lança-se uma moeda até aparecer cara pela primeira vez e anota-se o número de lançamentos.
6. Em uma urna há 5 bolas identificadas pelas letras {A, B, C, D, E}. Sorteiam-se duas bolas, uma após a outra com reposição, e anota-se a configuração formada.
7. Mesmo enunciado anterior, mas as duas boas são selecionados simultaneamente.

1.5 Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os eventos abaixo usando as operações união, interseção e complementação:

1. exatamente um ocorre;
2. nenhum ocorre;
3. pelo menos dois ocorrem;
4. no máximo dois ocorrem.

Capítulo 2

Probabilidade - Definição Clássica

2.1 Definição clássica de probabilidade

No capítulo anterior, vimos que o espaço amostral para o experimento aleatório do lançamento de um dado é Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Vimos também que é usual supor que o dado seja equilibrado, o que equivale dizer que todos os resultados são igualmente prováveis. Então, se jogarmos o dado várias vezes, aproximadamente um sexto das ocorrências resultará na face 3, bem como metade das repetições resultará em um número par. Estamos analisando a chance de ocorrência dos eventos A = “face 3” e B = “face par”. O evento A é um evento elementar, enquanto o evento B é um sub- conjunto com 3 elementos, o que representaremos por #A = 1 e #B = 3. Essa é uma terminologia usual para representar o número de elementos de um conjunto, que lemos como “cardinalidade de A ou B”. É intuitivo dizer que A ocorrerá 16 das vezes, enquanto B ocorrerá 12 = 36 das vezes. Define-se, assim, a probabilidade de um evento A como a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de Ω. Vamos nos referir aos elementos de A − o evento de interesse − como sendo os “casos favoráveis”, enquanto os elementos de Ω são os “casos possíveis”, o que nos leva à seguinte definição.

Definição 2.1 Definição clássica de probabilidade Seja A um evento de um espaço amostral Ω finito, cujos elementos são igualmente prováveis. Define-se a probabilidade do evento A como

Pr(A) =

número de casos favoráveis número de casos possíveis

#A

Naturalmente, nesta definição estamos supondo que #Ω > 0 , ou seja, que Ω tenha algum elemento pois, se não tivesse, não teríamos o que estudar! Esta foi a primeira definição formal de probabilidade, tendo sido explicitada por Girolamo Cardano (1501-1576). Vamos nos referir a ela como a definição clássica de probabilidade. Note que ela se baseia em duas hipóteses:

1. Há um número finito de eventos elementares, isto é, Ω é um conjunto finito.
2. Os eventos elementares são igualmente prováveis. Embora essas hipóteses restrinjam o campo de aplicação da definição, veremos que ela é muito importante e vários exercícios serão resolvidos baseados nela.

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