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Teste de Matemática A
Teste N.º 1
Matemática A
Duração do Teste (Caderno 1+ Caderno 2): 90 minutos
12.º Ano de Escolaridade
Nome do aluno: ___________________________________________ N.º: __ Turma: ___
Este teste é constituído por dois cadernos:
- Caderno 1 – com recurso à calculadora;
- Caderno 2 – sem recurso à calculadora.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta.
Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca
aquilo que pretende que não seja classificado.
Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As
respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com
zero pontos.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a
um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
O teste inclui um formulário.
As cotações encontram-se no final do enunciado da prova.
Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e
escreva, na folha de respostas:
- o número do item;
- a letra que identifica a única opção escolhida.
Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e
todas as justificações necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência α𝑟𝑟 (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟𝑟 − raio)
Área de um polígono regular : Semiperímetro × Apótema Área de um setor circular: α𝑟𝑟^2 2 (α −^ amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;^ 𝑟𝑟 −^ raio)
Área lateral de um cone: π 𝑟𝑟 𝑔𝑔 (𝑟𝑟 − raio da base; 𝑔𝑔 − geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π 𝑟𝑟^2 (𝑟𝑟 − raio)
Volume de uma pirâmide:^13 × Área da base × Altura
Volume de um cone:^13 × Área da base × Altura
Volume de uma esfera:^43 π 𝑟𝑟^3 (𝑟𝑟 − raio)
Progressões Soma dos 𝑛𝑛 primeiros termos de uma progressão (𝑢𝑢𝑛𝑛) Progressão aritmética: 𝑢𝑢^1 +𝑢𝑢 2 𝑛𝑛× 𝑛𝑛
Progressão geométrica: 𝑢𝑢 1 × 1−𝑟𝑟 1−𝑟𝑟𝑛𝑛
Trigonometria sen(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = sen 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 + sen 𝑏𝑏 cos 𝑎𝑎 cos(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = cos 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 − sen 𝑎𝑎 sen 𝑏𝑏 sen 𝐴𝐴 𝑎𝑎 =
sen 𝐵𝐵 𝑏𝑏 =
sen 𝐶𝐶 𝑐𝑐 𝑎𝑎^2 = 𝑏𝑏^2 + 𝑐𝑐^2 − 2 𝑏𝑏 𝑐𝑐 cos 𝐴𝐴
Complexos (ρ cis θ)𝑛𝑛^ = ρ𝑛𝑛^ cis (𝑛𝑛θ) ou � 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖θ�𝑛𝑛^ = 𝑟𝑟𝑛𝑛^ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑛𝑛θ 𝑛𝑛 �𝜌𝜌 (^) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃= 𝑛𝑛�ρ (^) cis �θ+2𝑘𝑘π𝑛𝑛 � ou 𝑛𝑛√𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑖𝑖θ = 𝑛𝑛√𝑟𝑟 (^) 𝑒𝑒𝑖𝑖� θ𝑛𝑛+2𝑘𝑘π𝑛𝑛 �
(𝑘𝑘 ∈ {0, … , 𝑛𝑛 − 1}^ e 𝑛𝑛 ∈ ℕ)
Probabilidades 𝜇𝜇 = 𝑝𝑝 1 𝑥𝑥 1 +... +𝑝𝑝𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 σ = �𝑝𝑝 1 (𝑥𝑥 1 − μ)^2 +... +𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥𝑛𝑛 − μ)^2
Se 𝑋𝑋 é 𝑁𝑁(μ, σ), então: 𝑃𝑃(μ − σ < 𝑋𝑋 < μ + σ) ≈ 0, 𝑃𝑃(μ − 2σ < 𝑋𝑋 < μ + 2σ)^ ≈ 0, 𝑃𝑃(μ − 3σ < 𝑋𝑋 < μ + 3σ) ≈ 0,
Regras de derivação (𝑢𝑢 + 𝑣𝑣)′^ = 𝑢𝑢′^ + 𝑣𝑣′ (𝑢𝑢. 𝑣𝑣)′^ = 𝑢𝑢′. 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢. 𝑣𝑣′ �𝑢𝑢𝑣𝑣�
′ = 𝑢𝑢
′. 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢. 𝑣𝑣′ 𝑣𝑣^2 (𝑢𝑢𝑛𝑛)′^ = 𝑛𝑛. 𝑢𝑢𝑛𝑛−1. 𝑢𝑢′(𝑛𝑛 ∈ ℝ) (sen 𝑢𝑢)′^ = 𝑢𝑢′. cos 𝑢𝑢 (cos 𝑢𝑢)′^ = − 𝑢𝑢′. sen 𝑢𝑢 (tg 𝑢𝑢)′^ = 𝑢𝑢
′
cos^2 𝑢𝑢
(𝑒𝑒𝑢𝑢)′^ = 𝑢𝑢′. 𝑒𝑒𝑢𝑢 (𝑎𝑎𝑢𝑢)′^ = 𝑢𝑢′. 𝑎𝑎𝑢𝑢. ln 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 ∈ ℝ+^ ∖ {1}) (ln 𝑢𝑢)′^ = 𝑢𝑢
′ 𝑢𝑢 (loga 𝑢𝑢)′^ = (^) 𝑢𝑢. ln𝑢𝑢′ 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 ∈ ℝ+^ ∖ {1})
Limites notáveis
lim �1 + 1 𝑛𝑛�𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 (𝑛𝑛 ∈ ℕ)
lim 𝑥𝑥→0^ sen𝑥𝑥 𝑥𝑥= 1
lim 𝑥𝑥→0^ 𝑒𝑒
𝑥𝑥 (^) − 1 𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥→+∞^ lim^ ln𝑥𝑥^ 𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥→+∞^ lim^ 𝑒𝑒
𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑝𝑝^ = +∞^ (𝑝𝑝^ ∈^ ℝ)
1. Uma determinada operadora de telecomunicações tem todos os seus números de telefone começados por 94 e mais sete dígitos. Um número de telefone desta operadora é, por exemplo, 94 975 13 53. Com os algarismos deste exemplo, quantos números de telefone diferentes pode esta operadora criar? (A) 210 (B) 1260 (C) 5040 (D) 362 880 2. No jantar do seu 17.º aniversário, a Rita convidou as suas três melhores amigas para jantar em sua casa. No jantar participaram também os pais, a irmã, os quatro avós e duas tias. 2.1. Quantos grupos diferentes de cinco pessoas se podem formar com a Rita e com, pelo menos, dois dos seus familiares?
2.2. Dispondo-se lado a lado, para uma fotografia, todas as pessoas presentes no jantar, quantas fotografias diferentes podem ser tiradas com os quatro avós juntos e com as três amigas também juntas?
2.3. Mais tarde juntaram-se à festa 𝑛𝑛 amigos. No final da noite sabe-se que se todas as pessoas presentes na festa tivessem dançado com todos os outros, aos pares, teriam sido feitos 210 pares diferentes. Determine quantos amigos se juntaram à festa. Comece por escrever uma equação que traduza o problema. Utilize a calculadora apenas em eventuais cálculos numéricos.
3. Considere um prisma regular em que cada base é um decágono. Qual é o número total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases)? (A) 45 (B) 90 (C) 110 (D) 180 4. A soma dos dois primeiros elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 47. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Determine a probabilidade de esses dois elementos serem iguais. Apresente o resultado na forma decimal, arredondado às milésimas.
5. Considere o desenvolvimento de �3 + 𝑥𝑥 3 �
5
- (𝑎𝑎 + 𝑥𝑥)^6 com 𝑎𝑎 ∈ ℝ. Sabendo que o coeficiente do termo em 𝑥𝑥^3 é igual a 38503 , determine o valor da constante 𝑎𝑎.
FIM DO CADERNO 1
COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos)
1. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 4. 5. 8 15 15 20 8 15 20 101
6. Uma florista tem 𝑛𝑛 espécies de flores diferentes entre si (𝑛𝑛 > 1). Tendo em conta apenas as espécies de flores presentes nos ramos, quantos tipos de ramos diferentes consegue a florista fazer com pelo menos duas das espécies de flores que possui? (A) 𝑛𝑛^2 − 𝑛𝑛 (B) 2 𝑛𝑛^ − 1 (C) 2 𝑛𝑛^ − 1 − 𝑛𝑛 (D) 𝑛𝑛^2 − 1 7. Considere que para um certo número natural 𝑝𝑝 e um certo número natural 𝑎𝑎 se tem que: (^2020) 𝐶𝐶 (^) 𝑝𝑝+2= 𝑎𝑎. Então 2018 𝐶𝐶^ 𝑝𝑝 + 2019 𝐶𝐶^ 𝑝𝑝+2+ 2018 𝐶𝐶^ 𝑝𝑝+1é igual a: (A) 3 𝑎𝑎 (B) 2 𝑎𝑎 (C) 𝑎𝑎 (^) (D) 𝑎𝑎 3 8. Considere o seguinte problema: Utilizando os sete algarismos que constituem o número 5 454 531, quantos números pares podem ser formados? (^6) C (^3) × 3! e (^36) !×!× 22! são duas respostas corretas. Numa pequena composição, explique o raciocínio que conduziu a cada uma das respostas. 9. Verifique se existe algum valor natural 𝑛𝑛 que satisfaça a igualdade:
𝑛𝑛+1 𝐴𝐴 2 + (𝑛𝑛 −(𝑛𝑛 − 4 )2)! +(𝑛𝑛 − (𝑛𝑛 −^3 ) 3 !)! = 5
10. O André e o Diogo juntaram-se com alguns amigos num convívio. Se 𝑛𝑛 for o número de pessoas no convívio (𝑛𝑛 > 3), de quantas maneiras se podem dispor lado a lado em linha reta os 𝑛𝑛 amigos se o André e o Diogo ficarem separados? (A) 2! × (𝑛𝑛 − 1)! (B) (𝑛𝑛 − 1)! × (𝑛𝑛 − 2) (C) (𝑛𝑛 − 1)! (D) 2! × (𝑛𝑛 − 1)! × (𝑛𝑛 − 2)
11. Sejam 𝐸𝐸 um conjunto finito, não vazio, e 𝑃𝑃 uma probabilidade no conjunto 𝒫𝒫(𝐸𝐸). Sejam 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 dois acontecimentos em 𝐸𝐸. Sabe-se que: - 𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 0, - 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 0,
Prove que 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) ≥ 25.
12. Sabe-se que, entre todos os turistas que visitam a cidade do Porto, a probabilidade de estes terem chegado à cidade de avião através de uma companhia aérea low cost é 0,75. Constatou-se que: - 40% dos turistas que chegaram ao Porto por meio de uma companhia aérea low cost têm menos de 40 anos; - em cada quatro turistas com idade não inferior a 40 anos, três chegaram ao Porto por meio de uma companhia aérea low cost.
Determine a probabilidade de um turista que visita a cidade do Porto, escolhido ao acaso, ter idade não inferior a 40 anos.
FIM DO CADERNO 2
COTAÇÕES (Caderno 2) Item Cotação (em pontos)
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 8 8 20 20 8 15 20 99
2.3. 13+𝑛𝑛𝐶𝐶^2 = 210
⟺ 2! × (13 +(13 +^ 𝑛𝑛𝑛𝑛 −)! 2)! = 210 ⟺ (𝑛𝑛^ + 13) × ( 2 × (𝑛𝑛^ + 12) × (𝑛𝑛 + 11 )! 𝑛𝑛^ +^11 )!= 210
⟺ 𝑛𝑛^2 + 12𝑛𝑛 + 13𝑛𝑛 + 156 = 420 ⟺ 𝑛𝑛^2 + 25𝑛𝑛 − 264 = 0
⟺ 𝑛𝑛 = −25 ±^ �^25
2 − 4 × 1 × (−264)
2 × 1 ⟺ 𝑛𝑛^ =^
2 ∨ 𝑛𝑛^ =^
Juntaram-se à festa 8 amigos.
3. Opção (B)
2 × 10 + 2 × � 10 𝐶𝐶^2 − 10 � = 90
- 2 × 10 é o número de diagonais das faces laterais, já que o prisma tem 10 faces laterais e cada uma delas tem 2 diagonais;
- 2 × � 10 𝐶𝐶^2 − 10 � é o número de diagonais das 2 bases: 10 𝐶𝐶^2 é o número de segmentos de reta definidos pelos vértices de uma das bases, o que inclui os 10 lados dessa base, logo (^10) 𝐶𝐶 (^2) − 10 é o número de diagonais de cada uma das bases. 4. Sabemos que 1 + 𝑛𝑛 = 47, isto é, 𝑛𝑛 = 46.
A linha de ordem 𝑛𝑛 = 46 tem 47 elementos. Assim, existem 47 𝐶𝐶^2 maneiras distintas de escolher dois elementos dessa linha e 23 × 1 maneiras distintas de escolher dois elementos iguais, pois, os elementos equidistantes dos extremos são iguais. Logo, (^4723) 𝐶𝐶 2 ≈ 0,021 é a probabilidade pedida.
5. O termo geral do desenvolvimento de �3 + 𝑥𝑥 3 �^5 é 5 𝐶𝐶^ 𝑘𝑘 × 35−𝑘𝑘^ ×�𝑥𝑥 3 �𝑘𝑘 = 5 𝐶𝐶^ 𝑘𝑘 × 35−2𝑘𝑘^ ×𝑥𝑥𝑘𝑘,
𝑘𝑘 ∈ {0, 1, 2, … , 5}. O termo geral do desenvolvimento de (𝑎𝑎 + 𝑥𝑥)^6 é 6 𝐶𝐶^ 𝑝𝑝 × 𝑎𝑎6−𝑝𝑝^ ×𝑥𝑥𝑝𝑝, 𝑝𝑝 ∈ {0, 1, 2, … , 6} O coeficiente do termo em 𝑥𝑥^3 é dado por 5 𝐶𝐶 3 × 3−1^ +^6 𝐶𝐶 3 𝑎𝑎^3 Então, 𝐶𝐶^3
5 3 +^ 𝐶𝐶^3 ×^ 𝑎𝑎
3 ⟺^
10 3 + 20𝑎𝑎
⟺ 𝑎𝑎^3 = 64 ⟺ 𝑎𝑎 = 4
CADERNO 2
6. Opção (C) 2 𝑛𝑛^ é o número total de subconjuntos de um conjunto com 𝑛𝑛 elementos, onde está incluído o conjunto vazio e 𝑛𝑛 subconjuntos com apenas 1 elemento. Como se pretende fazer ramos com pelo menos duas espécies de flores, tem-se que 2 𝑛𝑛^ − 1 − 𝑛𝑛 é uma resposta correta ao problema. 7. Opção (C) (^2018) 𝐶𝐶 (^) 𝑝𝑝 + 2019 𝐶𝐶 (^) 𝑝𝑝+2+ 2018 𝐶𝐶𝑝𝑝+ = (^2018) ���𝐶𝐶^ �𝑝𝑝��+� (^2018) ���𝐶𝐶�𝑝𝑝+1�� + 2019 𝐶𝐶𝑝𝑝+ = 2019 𝐶𝐶^ 𝑝𝑝+1 + 2019 𝐶𝐶𝑝𝑝+ = 2020 𝐶𝐶𝑝𝑝+ = 𝑎𝑎 8. Pretendemos determinar o número de números pares que podem ser formados utilizando os sete algarismos que constituem o número 5 454 531. Uma resposta correta é 6 C^3 × 3!. Comecemos por notar que, para ser par, tem que terminar obrigatoriamente em 4. Assim, restam três algarismos iguais a 5 , um algarismo 4 , um algarismo 3 e um algarismo 1 para colocar em 6 posições. Existem 6 C^3 maneiras distintas de escolher as três posições de entre as 6 possíveis para colocar os três algarismos 5. E, por cada uma destas maneiras, existem 3! maneiras distintas de colocar os algarismos 4 , 3 e 1 em três posições distintas. Uma resposta igualmente correta é (^36) !×!× 22 !. Como para o número ser par tem que terminar em 4 , existem 2 possibilidades para o último algarismo (os dois algarismos 4 ). E, para cada uma destas maneiras, existem 6! maneiras distintas de colocar seis algarismos em seis posições. No entanto, como existem três algarismos iguais a 5 e dois algarismos iguais a 4 que não alteram o número quando permutam entre si, dividimos por 3! × 2!.
9. Note-se que para a expressão do primeiro membro da igualdade fazer sentido, é necessário
que 𝑛𝑛 − 4 ≥ 0. Assim, 𝑛𝑛 ≥ 4.
𝑛𝑛+1 𝐴𝐴 2 + (𝑛𝑛 −(𝑛𝑛 − 4)! + (^ 2)(𝑛𝑛 −𝑛𝑛 −^ 3)! 3)! = 5 ⇔ (𝑛𝑛 + 1)𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 − 4)! + ((𝑛𝑛 −^ 2)(𝑛𝑛 −𝑛𝑛 − 3)(^ 3)!𝑛𝑛 − 4)! = 5 ⇔
