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Gabarito
Prova 4. Estática EPC. 2022-2: Centróide e Teorema de Pappus. Professor: Luis Argel
Valor: 25 pontos
1.- ( 15 pontos ) Determie as coordenadas x e y do centróide da área sombreada.
Resposta:
¯ x =
x dA
dA
, (^) ¯ y =
y dA
dA
Usando o elemento de área mostrado na figura:
dA =
x −
x
2
dx
¯ x =
0
2
x
x −
x
2
dx
0
2
x −
x
2
dx
[
x
3
x
4
]
0
2
[
x
2
x
3
]
0
2
¯ y =
0
2
x + x
2 / 2
x −
x
2
dx
0
2
x −
x
2
dx
0
2
x
2 −
x
4
dx
[
x
2
x
3
]
0
2
[
x
3
x
5
]
0
2
y
2 x
y
x
y =
x ²
dx
y
x=x
x + x ²/2=
2.- ( 10 pontos ) Aplique o teorema de Pappus e Guldinus e determine para as peças mostradas:
a) a área total superficial,
b) o volume.
Resposta:
Peça 1 , a) As linhas em vermelho na figura corresponden às linhas geradoras das áreas. Como são 4
linhas, então á areas superficial será a soma das áreas geradas por cada uma dessas linhas:
A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4
cada área é calculada usando o Teorema de Pappus segundo a equação:
A = θ (^) ¯ r L , onde θ é o ângulo de rotação da linha geradora em torno do eixo, (^) ¯ r é a distância do
centroide da linha geradora ao eixo de rotação, e L é o comprimento da linha geradora.
A = 2 π( 75 + 25 ) 50 + 2 π( 75 )( 300 + 400 )+ 2 π ( 75 + 50 + 25 ) √ 50
2
2
2
2
A = 2 π(5000,000+52500,000+60466,933+ 45620,719)
A =1027851,532 mm
2 ≈1,03 m
2
b) O volume é gerado pela rotação das três áres delimitadas pelas linhas trasejadas, ou seja por 1
retângulo e 2 triângulos:
V = V 1 + V 2 + V 3
cada volume é calculado usando o Teorema de Pappus segundo a equação:
A = θ (^) ¯ r A , onde θ é o ângulo de rotação da área geradora em torno do eixo, (^) ¯ r é a distância do
centroide da área geradora ao eixo de rotação, e A é o valor da área geradora.
