Baixe Prova 1 de Eletromagnetismo: Diagramas de Forças, Cargas Esfericas e Campos Elétricos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Eletromagnetismo Prova 1 01/07/
- Duas part´ıculas, cada uma com massa m e carga q, est˜ao suspensas por fios de comprimento l a
partir de um ponto comum.
a) Desenhe o diagrama de for¸cas desse sistema. b) Encontre uma express˜ao que relacione m, q e l com o ˆangulo θ que cada corda faz com a vertical. T cos θ = mg T sin θ = Fe
tan θ =
Fe mg , Fe =
q^2 4 π 0 (2l sin θ)^2
q^2 16 π 0 l^2 sin^2 θ
tan θ = q^2 16 π 0 l^2 mg sin^2 θ
sin^3 θ cos θ
q^2 16 π 0 l^2 mg c) A partir da express˜ao encontrada no item b), qual o resultado se θ 1?
sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 ⇒ θ ≈
q^2 16 π 0 l^2 mg
- Uma distribui¸c˜ao de carga esf´erica tem uma densidade de carga volum´etrica que depende de r,
a distˆancia do centro da distribui¸c˜ao, dada por ρ(r) = A/r, com A constante para 0 ≤ r ≤ R e A = 0 para r > R. Considere o referencial no infinito (U (∞) = 0).
a) Qual a carga total Q da distribui¸c˜ao esf´erica? Qual a carga Q′^ encerrada por uma superf´ıcie esf´erica imagin´aria de raio r < R centrada no origem da distribui¸c˜ao esf´erica?
Q =
ρdV =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
∫ R
0
A
r r^2 sin θdrdθdφ = 4πA
∫ R
0
rdr = 2πAR^2
Q′^ = 4πA
∫ (^) r
0
rdr = 2πAr^2
b) Usando a Lei de Gauss, determine o campo el´etrico gerado pela distribui¸c˜ao de carga para r < R e r > R. (^) ∫ E^ ~ · ndaˆ = Q 0 ⇒ Er 4 πr^2 =
Q
⇒ Er =
Q
4 π 0 r^2
Er>Rr = 2 πAR^2 4 π 0 r^2
AR^2
2 0 r^2
Err<R = 2 πAr^2 4 π 0 r^2
A
c) A partir do resultado obtido no item b), determine o potencial eletrost´atico para r < R e r > R a partir do campo el´etrico calculado no item anterior. Qual o valor do potencial em r = R? U (r) = −
∫ (^) r
∞
E^ ~ · d~r = −
∫ (^) r
∞
Erdr
U (r > R) = −
∫ (^) r
∞
AR^2
2 0 r^2 dr =
AR^2
2 0 r
U (r < R) = −
∫ R
∞
AR^2
2 0 r^2
dr −
∫ (^) r
R
A
dr =
AR
A
(r − R) =
A
(2R − r)
U (r = R) =
AR
- Duas cascas esf´ericas condutoras concˆentricas com raios ra e rb est˜ao carregadas com potencias
Ua e Ub, respectivamente.
a) Quais as condi¸c˜oes de contorno para esse problema?
U (ra) = Ua, U (rb) = Ub, U (∞) = 0
b) Se rb > ra, encontre o potencial em qualquer ponto entre as cascas e para r > rb. 1 r^2
∂r
r^2
∂U
∂r
= 0 ⇒ U (r) =
A
r
+ B
Entre as cascas: Ua = (^) rAa + B Ub = (^) rAb + B
Ua − Ub = A
ra
rb
⇒ A =
rarb(Ua − Ub) rb − ra
B = Ua − rb(Ua − Ub) rb − ra
rbUb − raUa rb − ra ⇒ U (ra < r < rb) = rarb(Ua − Ub) (rb − ra)r
rbUb − raUa rb − ra Fora das cascas:
U (∞) = B = 0, Ub =
A
rb ⇒ A = Ubrb ⇒ U (r > rb) = Ubrb r Dica: a equa¸c˜ao de Laplace depende somente de uma vari´avel.
- Uma esfera condutora de raio a e carga total Q ´e colocada num campo el´etrico uniforme E~ 0.
Determine o potencial em todos os pontos exteriores `a esfera. Dica: o campo gerado pela carga Q pode ser determinado como se essa carga fosse puntual.
U (r, θ) = A 0 + B 0 r−^1 + A 1 r cos θ + B 1 r−^2 cos θ + A 2 r^2
3 cos^2 θ − 1 2
3 cos^2 θ − 1 2
Condi¸c˜ao de Contorno 1: E~(r → ∞) = E 0 zˆ ⇒ U → −E 0 z + C ⇒ U (r, θ) = −E 0 r cos θ + C
U (r → ∞, θ) = A 0 + A 1 r cos θ + A 2 r^2
3 cos^2 θ − 1 2
⇒ A 0 = C, A 1 = −E 0 , Ai = 0 se i > 1 Termo B 0 /r: corresponde ao potencial devido a uma carga puntual Q localizada na origem, Q/ 4 π 0 r ⇒ B 0 = Q/ 4 π 0 Condi¸c˜ao de Contorno 2: U (a) = U 0 + Q/ 4 π 0 r (n˜ao depende de θ)
U (a, θ) = C +
B 0
a − E 0 a cos θ + B 1 cos θ a^2
B 2
a^3
3 cos^2 θ − 1 2
+ ... = U 0
⇒ C = U 0 , B 1 = E 0 a^3 , Bi = 0 se i > 1
U (r, θ) = U 0 +
Q
4 π 0 r
a^3 r^2 − r
E 0 cos θ
