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MATEMÁTICA 2 PROVA 1
QUESTÕES OBJETIVAS
Sendo este o gráfico de f(x),
o gráfico de f(– x) será:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Se z 1 é um número complexo do 1o^ quadrante e z 2 , um número complexo do 2 o^ quadrante, ambos com partes reais e imaginárias não nulas, então o quadrante em que fica o produto z 1 z 2 é o: (A) 1o^ ou 2 o (B) 1 o^ ou 3o (C) 1 o^ ou 4 o (D) 2 o^ ou 3 o (E) 3 o^ ou 4o
Multiplicando os números 42 567 896 095 416 765 443 769 (de 23 algarismos) e 1 568 973 210 875 453 666 875 (de 22 algarismos) obtemos um produto cuja quantidade de algarismos é: (A) 43 (B) 44 (C) 45 (D) 46 (E) 47
Dois pontos se movimentam em uma linha reta com equações
horárias, s 1 (t) = sen (3t) e s 2 (t) = sen (t), com t ≥ 0. Quando o
primeiro retornar pela primeira vez à sua posição inicial, onde estará o segundo?
(A) π /
(B) π
(C) 3π
(D) sen (π /3)
(E) sen (3π)
Em certa região, a área ocupada por plantações de soja tem aumentado de 10% ao ano, e a ocupada por milharais tem crescido 1km^2 por ano. Considere os gráficos a seguir.
Os gráficos que melhor representam as áreas ocupadas pelas plantações de soja e de milho em função do tempo são, respectiva- mente: (A) I e II. (B) I e III. (C) II e I. (D) II e III. (E) III e I.
Se x^2 ≡ 1 (mod 5) então: (A) x ≡ 1 (mod 5) (B) x ≡ 2 (mod 5) (C) x ≡ 4 (mod 5) (D) x ≡ 1 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5) (E) x ≡ 2 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5)
Em um grupo multiplicativo, o elemento x satisfaz x^4 = x. O número de elementos do conjunto {x,x^2 ,x^3 ,x 4 , ...} (A) é igual a 1. (B) é igual a 3. (C) é igual a 4. (D) só pode ser 1 ou 3. (E) só pode ser 2 ou 4.
PROVA 1 MATEMÁTICA 3
Um pai tem dois filhos, de 2 e 4 anos. Ele prometeu dividir sua fazenda entre os filhos de modo diretamente proporcional às suas idades assim que se case o mais velho dos filhos. Quanto mais tarde este filho se casar, a fração da fazenda que lhe caberá será
(A) maior e nunca será menor do que
da fazenda.
(B) maior, mas nunca será maior do que 2 3
da fazenda.
(C) menor, mas sempre será maior do que a metade da fazenda.
(D) menor, podendo ser menor do que a metade da fazenda.
(E) igual a
da fazenda, independente da data do seu casamento.
As retas reversas r e t são paralelas aos vetores u e v , respec- tivamente. A perpendicular comum a essas retas é paralela (A) à soma u + v. (B) à diferença u – v. (C) ao produto vetorial u ∧ v. (D) ao produto escalar < u , v >. (E) ao espaço gerado por u e v.
Em certa cidade o tempo, bom ou chuvoso, é igual ao do dia
anterior com probabilidade 2 3
Se hoje faz bom tempo, a probabilidade de que chova depois de amanhã vale:
(A)
(B)
(C)
(D) 5
(E)
“Se
(^2) for racional, temos um exemplo de um irracional que
elevado a um irracional dá um racional. Se, por outro lado,
for irracional, como ( 2 2 ) =
2 (^2) = 2, teremos um exemplo
de um irracional que elevado a um irracional dá um racional.” O argumento acima prova que:
(A)
(^2) é um racional.
(B)
é um irracional.
(C) existem x e y irracionais tais que x y^ é racional.
(D) existem x e y irracionais tais que x y^ é irracional.
(E) se x e y são irracionais, xy^ é irracional.
Um programa de computador apresentou para um polinômio do 4o^ grau com coeficientes reais o seguinte gráfico, em que x varia entre - 5,7 e 7,1:
Pode-se, então, concluir que esse polinômio tem: (A) duas raízes reais simples e uma raiz real dupla. (B) duas raízes reais e duas raízes complexas conjugadas. (C) três raízes reais e uma raiz complexa não real. (D) somente três raízes, todas reais. (E) alguma raiz real com módulo maior que 5.
No sistema de três equações lineares com três incógnitas,
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
são nulos os determinantes
Tal sistema é: (A) possível e indeterminado. (B) possível e determinado. (C) possível. (D) impossível. (E) impossível ou indeterminado.
a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c (^3)
a 1 b 1 d (^1) a 2 b 2 d (^2) a 3 b 3 d (^3)
a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3
d 1 b 1 c (^1) d 2 b 2 c (^2) d 3 b 3 c 3
, , e.
PROVA 1 MATEMÁTICA 5
Considere o retângulo no plano (x,y) cujo vértice inferior esquer- do tem coordenadas cartesianas (0,0) e o vértice superior direito é (x 0 ,y 0 ). Deseja-se representar esse retângulo numa tela de computador de resolução 640 por 200.
Considere na tela as coordenadas ( ,c) como na figura:
Uma possível correspondência entre os pontos (x,y) do plano e os pontos ( ,c) da tela, tal que a imagem do retângulo seja a tela inteira e a orientação seja preservada, é dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
0
y y
c = 639 0
x
x
0
y y
c = 199 0
x
x
0
y y
c = 0
x x
Considere o problema a seguir: “Em um triângulo ABC, temos AC = 3m, BC = 4m e B = 60^0. Calcule sen A.” Esse problema:
(A) não faz sentido, porque tal triângulo não existe.
(B) admite mais de uma solução.
(C) admite uma única solução,
(D) admite uma única solução,
(E) admite uma única solução, 2 3 3
Uma urna contém N bolas, numeradas de 1 a N, sem repetições. Para estimar o valor desconhecido de N, um esta- tístico retira, ao acaso, três bolas dessa urna. As bolas retira- das foram as de números 15, 43 e 17. Ele toma para estimativa de N o valor para o qual a média dos números das bolas retiradas é igual à média dos números de todas as bolas da urna. A estimativa que ele obtém para N é: (A) 43 (B) 49 (C) 51 (D) 53 (E) 55
O Método de Newton, aplicado ao cálculo de 2 , consiste em tomar uma aproximação inicial x 0 > 0 e obter aproximações
sucessivas {x n }de modo que x n + 1seja igual a:
(A) n+ n
x 1 2 x
(B) n− n
x 1
2 x
(C) n n
x 2
2 x
(D) n− n
x 2 2 x
(E) (^) n− n
x x
A Lei de Boyle diz que, mantida constante a temperatura, o produto da pressão pelo volume de um gás perfeito é constante. Um gás perfeito, inicialmente à pressão de 16.10 5 Pa, ocupa um cilindro de volume 100L. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a reduzir o volume do gás. Se a temperatura é mantida constante e o volume diminui à razão de 1L/s, com que velocidade, em Pa/s, está aumentando a pressão no instante em que o volume for igual a 80L? (A) 25.10 3 (B) 25.10^4 (C) 25.10^5 (D) 16.10 6 (E) 16.10^7
0
y y
c = 639 0
x x
0
y y
c = 199 − 199 0
x
x
MATEMÁTICA 6 PROVA 1
QUESTÕES DISCURSIVAS
PARTE B
QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA
Identifique e corrija o(s) erro(s) da argumentação a seguir.
(i) "A função f(x) = tg x tem derivada positiva em todo seu domínio, pois
f’(x) = sec^2 x.
(ii) Uma função cuja derivada é positiva no seu domínio é crescente nesse domínio. (iii) Logo, a função tangente é crescente em todo o seu domínio.
(iv)Então, como 3 4
π (^) > 4
π (^) , temos 3 tg 4
π (^) > tg 4
π (^) Ou seja, − 1 > 1." (valor: 20,0 pontos)
a) Mostre que, se um número inteiro a não é divisível por 3, então a 2 deixa resto 1 na divisão por 3. (valor: 10,0 pontos)
b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a^2 + b^2 , então a e b são divisíveis por 3. (valor: 10,0 pontos)
Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26) e usar uma chave f , de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra associada ao número p , transmite-
se aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p) , decifra a letra determinando p = f – 1^ (q). O imperador romano Júlio César, por exemplo, usava como chave f(p) = p + 3 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Assim, a mensagem ZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW.
a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26) não é invertível. (valor: 10,0 pontos)
b) Determine f –1^ (q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26). (valor: 10,0 pontos)
Em visita ao Museu da Academia, em Florença, Maria observa maravilhada a estátua de David feita por Michelângelo. A sala está lotada de turistas e, por isto, Maria foi empurrada para muito perto da estátua, cujo pedestal está acima do nível dos seus olhos. Como resultado, ela não pode ver quase nada!
a) Faça um esquema geométrico e identifique as variáveis relevantes para o estudo da situação. (valor: 10,0 pontos)
b) Calcule a distância ideal de onde Maria veja a estátua sob o maior ângulo de visão possível (supondo, é claro, que a multidão a deixe movimentar-se à vontade pela sala!). (valor: 10,0 pontos)
Seja n n 1
A
∞
=
∑ uma série convergente de números reais.
a) É sempre verdade que 2n n 1
A
∞
=
∑ (^) também converge? (valor: 5,0 pontos)
b) Forneça uma demonstração se a sua resposta a a) for afirmativa ou um contra-exemplo, se negativa. (valor: 15,0 pontos)
MATEMÁTICA 8 PROVA 1
Como bem se sabe, a América do Sul (17,9 milhões de km^2 ) é muito maior que a Europa (9,8 milhões de km 2 ), embora ambas pareçam aproximadamente do mesmo tamanho nos mapas comuns. Tais mapas utilizam a projeção criada na Alemanha em 1569 pelo geógrafo e matemático Gerhard Kremer Mercator (1512 – 1594). Uma alternativa à projeção de Mercator é a projeção criada pelo historiador alemão Arno Peters, que preserva a razão entre as áreas dos diversos países. Esta projeção é feita da seguinte maneira: considere um cilindro de altura 2R circunscrito a uma esfera de raio R , ambos com o mesmo baricentro. Dado um ponto P no cilindro, considere o segmento de reta que liga P ao eixo do cilindro e que é perpendicular a esse eixo. Defina f(P) como sendo a intersecção desse segmento com a esfera.
Mostre que f preserva a razão de áreas entre regiões no cilindro e as correspondentes imagens na esfera. (valor: 20,0 pontos)
Projeção cilíndrica equivalente de Peters.
Projeção cilíndrica equatorial ou de Mercator.
PROVA 1 MATEMÁTICA 9
PARTE C
QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA
Numa prova, o professor apresenta a seguinte questão: “Dois estados do país, num certo ano, apresentam o modo como dividiram os impostos arrecadados. Os gráficos de setores a seguir ilustram a relação entre a quantia gasta em cada área e a arrecadação total daquele estado naquele ano.
i) Determine que percentual da arrecadação do estado II, daquele ano, foi gasto com Saúde e Educação, juntas. Justifique. ii) Pode-se dizer que naquele ano o estado I gastou mais com Segurança do que o estado II? Por quê?”
Um aluno apresentou as seguintes respostas a estas questões:
“i) 50%. Os gastos com Saúde e Educação correspondem à metade da circunferência. ii) Sim. Setor circular de área maior.”
a) Analise a resposta desse aluno à questão i). (valor: 10,0 pontos)
b) Faça o mesmo, em relação à questão ii). (valor: 10,0 pontos)
O aluno de Licenciatura nem sempre se dá conta da relação entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A Integral de Riemann, por exemplo, esclarece a definição de área. Tanto o cálculo da integral pode servir para o cálculo de áreas quanto vice-versa.
a) Esboce o gráfico de y = 1 − (^) x^2 para 0 ≤ x ≤ 1. (valor: 10,0 pontos)
b) Calcule o valor da integral
1/ 2 2 0
∫ 1 −x dx por meio de sua interpretação como^ área no plano, recorrendo apenas^ à^ Geometria e^ à Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Médio. (valor: 10,0 pontos)
O conceito de logaritmo, introduzido na Matemática no século XVII, teve grande importância por facilitar cálculos numéricos. Atualmente, com o aperfeiçoamento dos computadores e a popularização das calculadoras, esse emprego dos logaritmos perdeu o interesse. Apesar disso, o estudo dos logaritmos e de suas inversas, as exponenciais, permanece nos cursos médio e superior.
a) De acordo com os princípios orientadores dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), de contextualizar os assuntos tratados, justifique essa permanência citando alguma aplicação da Matemática a outra Ciência (Física, Química, Economia, Estatística, ...) em que seja empregada a função logaritmo ou sua inversa. (valor: 10,0 pontos)
b) Desenvolva os cálculos que levam à utilização da função logaritmo ou de sua inversa na aplicação citada em a). (valor: 10,0 pontos)
PROVA 1 MATEMÁTICA 11
IMPRESSÕES SOBRE A PROVA
As questões abaixo visam a levantar sua opinião sobre a qualidade e a adequação da prova que você acabou de realizar e também sobre o seu desempenho na prova. Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião e à razão que explica o seu desempenho nos espaços próprios (parte inferior) do Cartão-Resposta. Agradecemos sua colaboração.
Qual o ano de conclusão deste seu curso de graduação? (A) 2000. (B) 1999. (C) 1998. (D) 1997. (E) Outro.
Qual o grau de dificuldade desta prova? (A) Muito fácil. (B) Fácil. (C) Médio. (D) Difícil. (E) Muito difícil.
Quanto à extensão, como você considera a prova? (A) Muito longa. (B) Longa. (C) Adequada. (D) Curta. (E) Muito curta.
Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova? (A) Excessivo. (B) Pouco mais que suficiente. (C) Suficiente. (D) Quase suficiente. (E) Insuficiente.
As questões da prova apresentam enunciados claros e objetivos? (A) Sim, todas apresentam. (B) Sim, a maioria apresenta. (C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta. (D) Não, poucas apresentam. (E) Não, nenhuma apresenta.
Como você considera as informações fornecidas em cada questão para a sua resolução? (A) Sempre excessivas. (B) Sempre suficientes. (C) Suficientes na maioria das vezes. (D) Suficientes somente em alguns casos. (E) Sempre insuficientes.
Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos defini- dos para o Provão/2000 desse curso? (A) Totalmente adequada. (B) Medianamente adequada. (C) Pouco adequada. (D) Totalmente inadequada. (E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/2000.
Como você avalia a adequação da prova para verificar as habi- lidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso, conforme definido para o Provão/2000? (A) Plenamente adequada. (B) Medianamente adequada. (C) Pouco adequada. (D) Totalmente inadequada. (E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/2000.
Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentemente ao responder a esta prova? (A) Desconhecimento do conteúdo. (B) Forma de abordagem do conteúdo diferente daquela a que estou habituado. (C) Falta de motivação para fazer a prova. (D) Espaço insuficiente para responder às questões. (E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova.
Como você explicaria o seu desempenho nas questões objeti- vas da prova? (A) Não estudei durante o curso a maioria desses conteúdos. (B) Estudei somente alguns desses conteúdos durante o curso, mas não os aprendi bem. (C) Estudei a maioria desses conteúdos há muito tempo e já os esqueci. (D) Estudei muitos desses conteúdos durante o curso, mas nem todos aprendi bem. (E) Estudei e conheço bem todos esses conteúdos.
Como você explicaria o seu desempenho em cada questão aberta da parte comum da prova? Números referentes ao CARTÃO-RESPOSTA. Números das questões da prova. O conteúdo ... (A) não foi ensinado; nunca o estudei. (B) não foi ensinado; mas o estudei por conta própria. (C) foi ensinado de forma inadequada ou superficial. (D) foi ensinado há muito tempo e não me lembro mais. (E) foi ensinado com profundidade adequada e suficiente.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q
MATEMÁTICA
Questão nº 1
Padrão de Resposta Esperado:
A afirmação (i) "A função f(x) = tg x ... f ' (x) = sec 2 x" está correta.
A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo."
A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu domínio."
A conclusão (iv) está evidentemente errada (− 1 não é maior que 1) e, apesar de^3 π^ >π 4 4
, não se pode concluir que
tg > tg 4 4
π π
porque ^ π^ , π
não é subconjunto do domínio da função tangente (^ π
, que está compreendido entre^ π^ e^3 π 4 4
, não pertence ao
domínio da função tangente). (valor: 20,0 pontos)
Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se concentra em (ii).
MATEMÁTICA
Questão nº 3
Padrão de Resposta Esperado:
a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, em Z 26 ; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar que f não é sobrejetora, pois 2, por exemplo, não pertence à imagem de f. (valor: 10,0 pontos)
b) 1 a^ alternativa: q = 3p + 1 ⇔ 3p = q −−−−− 1 ⇔ p = 3 −−−−−^1. (q −−−−− 1) ⇔ p = 9(q −−−−− 1) ⇔ p = 9q −−−−− 9 , isto é, f −−−−−^1 (q) = 9q + 17.
2 a^ alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa construindo a tabela para a função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas funções tem 26 elementos e os cálculos não são tão complicados. (valor: 10,0 pontos)
Obs.: Serão também aceitas respostas com: − alguma pesquisa sobre valores de f e de f–^1 ; − a apresentação da inversa mesmo sem prova.
MATEMÁTICA
Questão nº 4
Padrão de Resposta Esperado:
1 ª alternativa:
a)
Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distância dos olhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria vê a estátua. É preciso determinar x de modo que γ seja máximo. É claro que d = a − b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b. (valor: 10,0 pontos)
b) Tem-se: tg γ = tg (α − β) =
- 2
tg tg (a b) x = f(x)
α − β −
α β
, com x, a, b e a − b > 0 e
2 2 2
(a b) (ab x ) f (x) = (x + ab)
’
que se anula para
x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a função f(x) passa
por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de γ também será máximo. Logo o
valor de x procurado é x = ab (valor: 10,0 pontos)
2 ª alternativa:
a)
(valor: 10,0 pontos)
b) tg α = a x
e tg β = b x
. Como γ = arctg a x
− arctg b x
tem-se que γ' =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b (a b)(ab x )
x + a x + b (x^ + a )(x^ + b )
que se anula para x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor
de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x = ab^ (valor: 10,0 pontos)
a α b β
γ
x
a
α b β
γ
x
MATEMÁTICA
PARTE C (BACHARELADO)
Questão nº 6
Padrão de Resposta Esperado:
1 a^ alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integral I é igual a (^2) z int (^) z
2 i x 1 Res ∈ γ 1+z
π (^) ∑. Calculando os resíduos da
função em seus pólos, i e −i, temos:
→ →
(^2) z i 2 z i i
(^1) lim z i (^) lim 1 1 Res 1+ z 1+ z z + i 2i
De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = −i, que dá −
2i
Daí, têm-se os 4 casos:
- γ não contém nem i nem – i em seu interior, então: I = 0;
- γ contém i no interior, mas não – i, então: I = 2 i x 1 2i
π π
- γ contém −i no interior, mas não i, então: I =^ π π
2 i x = ; 2i
- γ contém i e – i, no interior, então: I =
2 i = 0 2i 2i
π
Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima.
2 a^ alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. Decompondo f em frações simples, chega-se a:
− (^2) −
1 i 1 1 f(z) = = 1+ z 2 z + i^ z^ i
Têm-se novamente os 4 casos:
- γ não contém nem i nem – i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0;
- γ contém i no interior, mas não – i; então a parcela i^ x^1 2 z + i
é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à integral da
outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy (^0) π !∫ − 0
1 f (z) f(z ) = dz 2 i z z
, é: I =
i 2 i x ( 1) = ; 2
π − π
- γ contém −i no interior, mas não i; então é a parcela −
i 1 x 2 z i
que é analítica no interior de γ, e o valor da integral será o valor da
integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando:
I = π ( ) −π
i 2 i x 1 = ; 2
- γ contém i e – i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto é: I = π − π = 0.
Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. (valor: 20,0 pontos)
MATEMÁTICA
Questão nº 7
Padrão de Resposta Esperado:
Se u^2 é harmônica, tem-se que: ∆ u^2 = 0, mas
∂^ ∂
^ (^)
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
u u u u u = 2u = 2 + 2u e, analogamente : x x (^) x (^) x x
u u u 2 2u , donde : y (^) y y
u u u 2 2u u 0 x y
Se u é harmônica, tem-se então que
(^)
2 2 u u
, mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0
no plano, que é conexo, tem-se u = constante.
Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 20,0 pontos)
MATEMÁTICA
Questão nº 9
Padrão de Resposta Esperado:
1 ª alternativa:
Os autovalores dessa matriz são as raízes de
−λ − − λ − − λ
São, portanto, λ = 0, 2 e 3 e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando a Forma Canônica de Jordan para A, que:
A = P J P−^1. onde
1
J = 0 2 0 , P = 0 1 0 e P = 0 1 0 0 0 3 0 1 1 0 1 1
−
Logo, An^ = P Jn^ P −^1 , mas:
^ ^ ^ −
= ^ ^ ^ =^
^ ^ ^
^ ^ ^ −
n
n n n n n n n 1 n 1 n n n n n n n
J 0 2 0 e PJ P = 0 2 0 P 0 2 0 0 0 3 0 2 3 0 2 3 3
2 ª alternativa:
O polinômio característico é P(λ) = −λ (2 −λ) (3 −λ).
Dividindo λn^ por P(λ) teremos λn^ = P(λ). Q (λ) + a λ^2 + b λ + c.
Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = 2 e λ = 3, obtendo 0 = c, 2 n^ = 4a + 2b e 3 n^ = 9a + 3b.
Daí, a = 3n^ −^1 − 2 n^ −^1 , b = 3. 2 n^ −^1 − 2. 3 n^ −^1 , c = 0. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0.
Daí,
An^ = a A^2 + bA. Como (^) ,
−^ −^ ^ −
^
^
2 n
n n n n n n n
A = 0 4 0 e A = 0 2 0 A = 0 2 0 0 5 9 0 1 3 0 2 3 3
.
3 ª alternativa:
Calcular A^2 , A^3 , sugerir uma expressão para An^ e provar por indução. (valor: 20,0 pontos)
MATEMÁTICA
Questão nº 10
Padrão de Resposta Esperado:
1 ª alternativa:
Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e
C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:
Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e
Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.
Daí, S (^) u ∧ Sv = Cu ∧C (^) v = R^2 sen ϕ em ambas as superfícies.
2 ª alternativa:
Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e
C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:
Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e
Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.
Daí, EG − F 2 = R^4 sen 2 ϕ, em ambas as superfícies.
3 ª alternativa:
Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:
S(u,v) = ( R^2 − v^2 cos u, R^2 − v^2 sen u, v).
Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).
Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela integral dupla da expressão
EG − F^2 estendida ao mesmo domínio, onde E = ; G = e F = na esfera e expressões análogas para o cilindro.
Como
2 2 2 2 2 2 2 2
Su = ( − R − v sen u, R − v cos u, 0) , S = (v − v cos u / R − v , − v sen u / R −v , 1)
C u = ( −Rsen u, R cos u, 0) e Cv = (0, 0, 1).
tem-se que na esfera: EG − F 2 = (R^2 − v^2 ) (sen 2 u + cos 2 u) [1 + v 2 (cos 2 u + sen 2 u) / (R^2 − v^2 )] − [v sen u cos u − v cos u sen u] 2 = R 2 e no cilindro: EG − F 2 = R 2 (sen^2 u + cos 2 u) x 1 − 0 = R^2.
Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais.
