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Prova-Modelo de Exame de Matemática A 2018 / 201 9
Prova-Modelo de Exame Matemática A
Duração da Prova (Caderno 1 + Caderno 2): 150 minutos. | Tolerância: 30 minutos.
12.º Ano de Escolaridade
Nome do aluno: ___________________________________________ N.º: __ Turma: ___
Esta prova é constituída por dois cadernos: Caderno 1 – com recurso à calculadora; Caderno 2 – sem recurso à calculadora. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. A prova inclui um formulário. As cotações encontram-se no final de cada caderno.
Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas:
o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida.
Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência α𝑟 (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟 − raio)
Área de um polígono regular : Semiperímetro × Apótema Área de um setor circular: α𝑟^2 2 (α^ −^ amplitude,^ em^ radianos,^ do^ ângulo^ ao^ centro;^ 𝑟^ −^ raio)
Área lateral de um cone: π 𝑟 𝑔 (𝑟 − raio da base; 𝑔 − geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π 𝑟^2 (𝑟 − raio)
Volume de uma pirâmide:^13 × Área da base × Altura
Volume de um cone:^13 × Área da base × Altura
Volume de uma esfera:^43 π 𝑟^3 (𝑟 − raio)
Progressões Soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão (𝑢𝑛) Progressão aritmética: 𝑢^1 + 2 𝑢𝑛× 𝑛
Progressão geométrica: 𝑢 1 × 11 −−𝑟𝑟𝑛
Trigonometria sen(𝑎 + 𝑏)^ = sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎 cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑎 sen 𝑏 sen 𝐴 𝑎 =^
sen 𝐵 𝑏 =^
sen 𝐶 𝑐 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 − 2 𝑏 𝑐 cos 𝐴
Complexos (ρ cis θ)𝑛^ = ρ𝑛^ cis (𝑛θ) ou ( 𝑟𝑒𝑖θ)𝑛^ = 𝑟𝑛^ 𝑒𝑖𝑛θ 𝑛 √ (^) ρ cis θ= 𝑛√ (^) ρcis (θ+ 𝑛^2 𝑘 π) ou 𝑛√𝑟 𝑒𝑖θ = 𝑛√ (^) 𝑟𝑒𝑖( θ+ (^2) 𝑛𝑘 π)
(𝑘 ∈ { 0 , … , 𝑛 − 1 } e 𝑛 ∈ ℕ)
Probabilidades 𝜇 = 𝑝 1 𝑥 1 +... +𝑝𝑛𝑥𝑛 σ = √𝑝 1 (𝑥 1 − μ)^2 +... +𝑝𝑛(𝑥𝑛 − μ)^2
Se 𝑋 é 𝑁(μ, σ), então: 𝑃(μ − σ < 𝑋 < μ + σ) ≈ 0 , 6827 𝑃(μ − 2σ < 𝑋 < μ + 2σ)^ ≈ 0 , 9545 𝑃(μ − 3σ < 𝑋 < μ + 3σ) ≈ 0 , 9973
Regras de derivação (𝑢 + 𝑣)′^ = 𝑢′^ + 𝑣′ (𝑢𝑣)′^ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ (𝑢 𝑣)
′ = 𝑢
′𝑣 − 𝑢𝑣′ 𝑣^2 (𝑢𝑛)′^ = 𝑛 𝑢𝑛−^1 𝑢′(𝑛 ∈ ℝ) (sen 𝑢)′^ = 𝑢′^ cos 𝑢 (cos 𝑢)′^ = − 𝑢′^ sen 𝑢 (tg 𝑢)′^ = 𝑢
′
cos^2 𝑢
(𝑒𝑢)′^ = 𝑢′^ 𝑒𝑢 (𝑎𝑢)′^ = 𝑢′𝑎𝑢^ ln 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+^ { 1 }) (ln 𝑢)′^ = 𝑢
′ 𝑢 (loga 𝑢)′^ = (^) 𝑢 𝑢ln′ 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+^ { 1 })
Limites notáveis
lim ( 1 + 𝑛^1 )𝑛 = 𝑒 (𝑛 ∈ ℕ)
lim 𝑥→ 0 sen 𝑥 𝑥= 1
lim 𝑥→ 0 𝑒
𝑥 (^) − 1 𝑥 =^1
𝑥^ lim→+∞^ ln 𝑥^ 𝑥 =^0
𝑥^ lim→+∞^ 𝑒
𝑥 𝑥𝑝^ =^ +∞^ (𝑝^ ∈^ ℝ)
Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 1.1. integra-se nos Programas de Matemática A, de 10.º, 11.º e 12.º anos, homologados em 2001 e 2002 (P2001/2002). O item 1.2. integra-se no Programa e Metas Curriculares de Matemática A, homologado em 2015 (PMC2015). Responda apenas a um dos dois itens. Na sua folha de respostas, identifique claramente o item selecionado.
1.1. Seja 𝑋 uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 20. Para determinados valores de 𝑎 e 𝑏, tem-se que 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 0,7. Quais dos seguintes podem ser os valores de 𝑎 e 𝑏? (A) 𝑎 = 20 e 𝑏 = 40 (B) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 20 (C) 𝑎 = 10 e 𝑏 = 30 (D) 𝑎 = 30 e 𝑏 = 60
1.2. Um ponto 𝑃 desloca-se numa reta numérica, num determinado intervalo de tempo 𝐼, medido em segundos, de tal forma que a respetiva abcissa é dada por: 𝑥(𝑡) = 4 (√3 cos(π𝑡) − sen(π𝑡)), com 𝑡 ∈ 𝐼 Seja 𝐴 a amplitude deste oscilador harmónico e φ a fase. Então, podemos concluir que:
(A) 𝐴 = 4 e φ = π 3
(B) 𝐴 = 4 e φ = π 6
(C) 𝐴 = 8 e φ = π 3
(D) 𝐴 = 8 e φ = π 6
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2. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉]. Sabe-se que: o ponto 𝐴 tem coordenadas (1,2, −3); o ponto 𝑉 tem coordenadas (4, 194 , 13); a equação 2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 + 10 = 0 define o plano 𝐴𝐵𝐶. 2.1. Determine a altura da pirâmide.
2.2. Sejam 𝑃 1 e 𝑃 2 dois pontos pertencentes aos semieixos positivos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦, respetivamente. Sabe-se que 𝑂𝑃̅̅̅̅ 1 ̅ = 𝑂𝑃̅̅̅̅ 2 ̅ = 𝑎. Determine os valores de 𝑎 para os quais o ângulo 𝑃 1 𝐴𝑃 2 é obtuso. Apresente a resposta usando a notação de intervalos de números reais.
2.3. Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide, dispondo de seis cores distintas. Cada face é colorida com uma só cor. Admita que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determine a probabilidade de a pirâmide não ter faces com arestas comuns pintadas da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
3. Uma empresa de cosméticos dedica-se à venda de produtos de beleza livres de testes em animais, como batom e lápis de olhos, entre outros. 3.1. Foi realizado um estudo de mercado acerca das preferências de cosméticos das mulheres portuguesas. Concluiu-se então que: o número de mulheres que usam batom é igual ao número de mulheres que usam lápis de olhos; o número de mulheres que usam estes dois cosméticos é um quinto do número de mulheres que usam pelo menos um destes dois cosméticos. Escolhendo, ao acaso, uma mulher, participante neste estudo de mercado, que usa batom, determine a probabilidade de ela não usar lápis de olhos. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
3.2. Todos os produtos dessa empresa têm um código diferente, formado por oito carateres todos diferentes: seis algarismos (1, 2, 3, 4, 5 e 6) e duas vogais. Quantos desses códigos têm as vogais juntas e todos os algarismos primos também juntos? (A) 960 (B) 4320 (C) 11 520 (D) 14 400
6. Seja 𝑎 um número real. Considere a sucessão (𝑢𝑛)^ definida por
{
Relativamente a esta sucessão, sabe-se que a soma dos dez primeiros termos é igual a 305. Determine 𝑎.
7. Considere uma função 𝑓, de domínio ℝ, que admite derivada finita não nula em todos os pontos do seu domínio. Sabe-se que lim 𝑥→2𝑓(𝑥)−𝑓(2)^ 𝑥^2 −2𝑥 = (^) 2 𝑒^14. Indique qual das expressões seguintes pode definir a função 𝑓. (A) 𝑒 𝑥^2 (B) 𝑒 2𝑥 (C) 2 𝑥^2 (D) 2 2𝑥
FIM DO CADERNO 1
COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos)
1. 1 1.2 2.^1 2.^2 2.^3 3.^1 3.^2 4.^5.^6.^7.^ Pontos 8 12 12 12 13 8 12 8 12 8 105
CADERNO 2: 75 MINUTOS
TOLERÂNCIA: 15 MINUTOS
NÃO É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 10.1. integra-se nos Programas de Matemática A, de 10.º, 11.º e 12.º anos, homologados em 2001 e 2002 (P2001/2002). O item 10.2. integra-se no Programa e Metas Curriculares de Matemática A, homologado em 2015 (PMC2015). Responda apenas a um dos dois itens. Na sua folha de respostas, identifique claramente o item seleccionado.
10.1. Um dado cúbico tem todas as faces numeradas, umas com o número 0 e as restantes com o número 2. Lança-se o dado quatro vezes e, em cada lançamento, regista-se o número da face que fica voltada para cima. Seja 𝑋 a variável aleatória “soma dos números saídos nos quatro lançamentos”.
Sabe-se que 𝑃(𝑋 = 0) = 1681.
Quantas faces estão numeradas com o número 0? (A) Cinco (B) Quatro (C) Três (D) Duas
10.2. Considere a sucessão de números reais (𝑢𝑛) tal que 𝑢𝑛 = (3𝑛−93𝑛+6)
𝑛+ . O valor de lim ln(𝑢𝑛)^ é igual a: (A) − 9 (B) − 6 (C) − 5 (D) − 2
11. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 𝑒(ln 𝑥)^2 > 𝑥^2. Apresente a resposta usando a notação de intervalos de números reais. 12. Para um certo número real 𝑎, são perpendiculares as retas 𝑟 e 𝑠, definidas, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, pelas condições: 𝑟: 3𝑦 − 𝑎𝑥 − 2 = 0 e 𝑠: (𝑥, 𝑦) = (4, 5) + 𝑘(1, 1 + √2), 𝑘 ∈ ℝ Qual é o valor de 𝑎? (A) 3 + (^3) √ 2 (B) − 3 − (^3) √ 2 (C) 3 − (^3) √ 2 (D) − 3 + (^3) √ 2
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13. Considere uma função ℎ, de domínio ℝ, que admite derivada finita em todos os pontos do seu domínio. Sabe-se ainda que a função ℎ admite um extremo relativo em 𝑥 = 1. Seja 𝑓 a função, de domínio ]1, +∞[, definida por 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 1). Qual é o valor de (𝑓−1^ ∘ ℎ′^ )(1)? (𝑓−1^ designa a função inversa da função 𝑓, ℎ′ designa a derivada da função ℎ e o símbolo ∘ designa a composição de funções.) (A) − 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 14. Seja 𝑔 a função, de domínio ℝ, definida por:
𝑥𝑒𝑥^ − 𝑒
𝑒𝑥 − 𝑒 se^ 𝑥 < 1 2 se^ 𝑥 = 1 𝑥^2 + ln(𝑥^2 ) + 1 𝑥 se^ 𝑥 > 1
14.1. Estude a função 𝑔 quanto à continuidade no ponto 1.
14.2. Estude a função 𝑔 quanto à existência de assíntotas não verticais ao seu gráfico.
14.3. Estude a função 𝑔 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão no intervalo ]1, +∞[. Na sua resposta, apresente: o(s) intervalo(s) em que o gráfico de 𝑔 tem a concavidade voltada para baixo; o(s) intervalo(s) em que o gráfico de 𝑔 tem a concavidade voltada para cima; as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de 𝑔.
FIM
COTAÇÕES (Caderno 2) Item Cotação (em pontos) 8. 1 8 .2 9.^
10.2 11.^12.^ 13.^14.^1 14.^2 14.^3 Pontos 8 12 8 13 8 8 12 13 13 95 TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência α (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; − raio)
Área de um polígono regular : Semiperímetro × Apótema Área de um setor circular: ! (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; − raio)
Área lateral de um cone: π # ( − raio da base;
− geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4 π !^ ( − raio)
Volume de uma pirâmide: '( × Área da base × Altura
Volume de um cone: '( × Área da base × Altura
Volume de uma esfera: *( π (( − raio)
Progressões Soma dos + primeiros termos de uma progressão (,-) Progressão aritmética: ./0.! 1 × +
Progressão geométrica: ,' × '2 '2 ^1
Trigonometria sen(3 + 5) = sen 3 cos 5 + sen 5 cos 3 cos(3 + 5) = cos 3 cos 5 − sen 3 sen 5 sen 7 3 =
sen 8 5 =
sen 9 : 3!^ = 5!^ + :!^ − 2 5 : cos 7
Complexos (ρ cis θ)-^ = ρ-^ cis (+θ) ou > ?@AB-^ = -^ ?@-A (^1) CD :EF G (^) = Cρ (^1) cis HA0!IJ- K ou 1 √ ?@A = √ (^1) ?@H M 10 NO 1 K
(P ∈ R0, … , + − 1V^ e + ∈ ℕ)
Probabilidades X = Y'Z'+... +Y-Z- σ = CY'(Z' − μ)!+... +Y-(Z- − μ)!
Se ^ é _(μ, σ), então: (μ − σ < ^ < μ + σ) ≈ 0,(μ − 2σ < ^ < μ + 2σ) ≈ 0, `(μ − 3σ < ^ < μ + 3σ) ≈ 0,
Regras de derivação (, + i)j^ = ,j^ + i′ (,. i)j^ = ,j. i + ,. i′ H,iK
j = ,
j. i − ,. i′ i! (,-)j^ = +. ,-2'. ,j(+ ∈ ℝ) (sen ,)j^ = ,j. cos , (cos ,)j^ = − ,j. sen , (tg ,)j^ = ,
j
cos^2 ,
(?.)j^ = ,j. ?. (3.)j^ = ,j. 3.. ln 3 (3 ∈ ℝ^0 ∖ R1V) (ln ,)j^ = ,
j , (logn ,)j^ = (^) ,. ln 3,′ (3 ∈ ℝ^0 ∖ R1V)
Limites notáveis
lim H1 + 1 +K+ =? (+ ∈ ℕ)
lim o→q^ sen ZZ = 1
lim o→q^?
o (^) − 1 Z = 1
o→0r^ lim^ ln ZZ = 0
o^ lim→ 0 r^?
o Zs^ =^ +∞^ (Y^ ∈^ ℝ)
CADERNO 1: 75 MINUTOS
TOLERÂNCIA: 15 MINUTOS
É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
5. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim. Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Quinze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço, arrastando os pés no chão. Admita que a distância, em decímetros, da posição da cadeira ao muro, segundos após o instante inicial, é dada por:
20 4 cosπ se 0 a 15 20 4 15?'2cosπ se 15
(o argumento da função cosseno está expresso em radianos) Resolva o item 5.1. recorrendo exclusivamente a métodos analíticos. 5.1. Justifique que houve, pelo menos, um instante, entre os catorze segundos e os dezasseis segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância da posição da cadeira ao muro foi igual a 30 decímetros. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 5.2. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o instante em que a distância da posição da cadeira ao muro é máxima e o valor da distância máxima. Apresente os dois valores arredondados às unidades. Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema.
6. Considere a função , de domínio l^0 , definida por Z 6 logZ, e a função #, de domínio l, da qual se sabe que é par, tem um único zero e parte da sua representação gráfica encontra-se na figura abaixo. Qual das seguintes igualdades é verdadeira? (A) #3 a 0 (B) HK H'!K a 0 (C) ( ∘ #)(4 1 (D) 2'^ 4 1 6 0
Itens em alternativa 7 .1. 7 .2. P2001/2002 PMC
7.1. Considere uma variável aleatória ^ que segue uma distribuição normal de valor médio 10. Se (10 ≤ ^ ≤ 12) = 0,2, então qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? **(A)**(^ < 12) > (^ > 7) **(B)**(9 ≤ ^ ≤ 11) = 0, (C) (8 ≤ ^ ≤ 12) > 0, **(D)**(^ ≤ 8 ∨ ^ ≥ 12) = 0, 7.2. Seja a função definida por (Z) = −π + arccos (2Z + 1). Quais são, respetivamente, o domínio e o contradomínio desta função? (A) −1,0 e −π, 0 (B) 0,1^ e −π, 0 (C) −1,0 e − (J! , − J! (D) 0,1 e − (J! , − J!
8. Considere duas caixas, (^9) ' e (^9) !. A caixa (^9) ' tem 10 bolas, das quais seis são brancas e as restantes são pretas. A caixa (^9)! tem sete bolas, umas brancas e outras pretas. Considere a experiência que consiste em retirar, ao acaso, duas bolas da caixa (^9) ', colocá-las na caixa (^9)! e, em seguida, retirar, também ao acaso, duas bolas da caixa (^9) !. Considere os acontecimentos: 7 : “As bolas retiradas da caixa (^9) ' têm a mesma cor.” 8: “As bolas retiradas da caixa (^9)! são brancas.” Sabe-se que (8|7̅ ) = (^) '!'. Interprete o significado de(8|7̅ ) e determine quantas bolas brancas e quantas bolas pretas existiam inicialmente na caixa (^9) !.
FIM DO CADERNO 1
COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos)
1. 2. 3.1. 3.2. 4. 5.1. 5.2. 6. 7.1. 7.2. 8. Pontos 5 5 15 15 5 15 15 5 5 15 100
Itens em alternativa 9.1. 9.2. P2001/2002 PMC
9. 9.1. Um estudo revela que, num determinado centro de saúde, 2% das seringas fornecidas por determinada empresa têm defeito. Considere um lote de 40 seringas produzidas por essa empresa. Indique qual dos acontecimentos tem probabilidade igual a 1 − 0,98*q^ − 40 × 0,02 × 0,98(. (A) Pelo menos duas seringas terem defeito. (B) Pelo menos uma seringa ter defeito. (C) No máximo duas seringas terem defeito. (D) No máximo uma seringa ter defeito. 9.2. Considere, num plano munido de um referencial o.n. Z, a elipse definida pela condição o ! +^
'z = 1^ e um triângulo^ 789. Os vértices 7 e 9 são focos da elipse. O vértice 8 é um ponto da elipse. Qual é o perímetro do triângulo 789? (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18
10. Considere uma função , de domínio ℝ. Sabe-se que: - limo→0r( (Z) − 2Z) = 0; - j(Z) > 0 , para qualquer número real Z; - (^) →qlim^
(o0)2(o) existe e é negativo, para qualquer número real^ Z. Considere as afirmações seguintes: (I) O gráfico da função apresenta a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio. (II) O gráfico da função admite uma assíntota horizontal quando Z → +∞. (III) A reta de equação = 2Z é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0. Elabore uma composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação.
11. De uma função , diferenciável em todo o seu domínio ℝ, sabe-se que a inclinação da reta tangente ao seu gráfico no ponto de abcissa 3 é 60°. De uma função #, de domínio −∞, 3, sabe-se que a reta de equação Z = 3 é assíntota vertical ao seu gráfico.
O valor de limo→( (o)2(()√(o2(√( + limo→(^ (o)(o) pode ser:
(A) 0 (B) 1 (C) √ (( (D) √ 3
12. Seja (,-)^ uma sucessão real em que todos os termos são negativos. Sabe-se que, para todo o número natural +,..^1 1 / < 1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A sucessão (,-)^ é decrescente. (B) A sucessão (,-) não é limitada. (C) A sucessão (,-) é uma progressão aritmética. (D) A sucessão (,-)^ é convergente. 13. Seja a função, de domínio ℝ\R−1V, definida por:
(Z) =
o ¥¦(2o) se^ Z < 0^ ∧^ Z ≠ − P se Z = 0 ©ª¦ (!o) «2' + 3Z^ se^ Z > 0
, com P ∈ ℝ
13.1. Mostre que não existe nenhum valor real P tal que a função seja contínua em Z = 0. 13.2. Estude a função quanto à existência de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações.
13.3. Considere agora a função #, de domínio ℝ^2 , definida por #(Z) = ¥¦(2o)o. Estude a função # quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
14. Considere, no plano complexo, um ponto 7 , afixo de um certo número complexo . Sabe-se que 7 pertence ao primeiro quadrante e que Re() > Im(). A que quadrante do plano complexo pertence o afixo de ®@ − ̅? (A) Primeiro (B) Segundo (C) Terceiro (D) Quarto
