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Duração da Prova (Caderno 1 + Caderno 2): 150 minutos | Tolerância: 30 minutos
A prova é constituída por dois cadernos (Caderno 1 e Caderno 2).
Para a resolução do Caderno 1, é necessário o uso de calculadora gráfica. Para a resolução do Caderno 2, não
é permitido o uso de calculadora.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
É permitido o uso de régua, compasso, esquadro e transferidor.
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
Para cada resposta, identifique o item.
Apresente as suas respostas de forma legível.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
A prova inclui um formulário.
As cotações dos itens de cada caderno encontram-se no final do respetivo caderno.
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
Nome ______________________________________________________ N.
o
_____ Turma ______ Data /____ /____ /_____
Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Prova-modelo 1
1. Quantos números naturais entre e têm exatamente dois algarismos?
(A) (B) (C) (D)
2. Considere uma caixa com oito bolas indistinguíveis ao tato, sendo quatro bolas azuis, três bolas verdes e
uma bola roxa.
2 .1 Retiram-se, uma a uma, e dispõem-se em fila todas as bolas da caixa.
Qual é a probabilidade de as bolas com a mesma cor ficarem juntas?
Apresente a resposta na forma de fração irredutível.
2 .2 Considere o jogo seguinte, que envolve um dado cúbico, equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6,
e a caixa com oito bolas, com a composição inicial.
Em cada jogada, lança-se o dado e, em seguida, retiram-se duas bolas da caixa. Se no lançamento do
dado sair uma face com número maior do que , retiram-se as duas bolas da caixa, repondo a
primeira antes de retirar a segunda; caso contrário, as duas bolas são retiradas simultaneamente.
Sempre que, numa jogada, as bolas retiradas tiverem a mesma cor, o jogador ganha um ponto. Caso
contrário, não ganha qualquer ponto.
Determine a probabilidade de o jogador obter um ponto numa jogada.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
3. Seja a função, de domínio ℝ\
{ 1
} , definida por.
3 .1 Mostre que existe uma única assíntota ao gráfico da função e escreva uma equação dessa
assíntota.
3 .2 Sabe-se que existe tal que.
Determine o valor de arredondado às décimas.
Na sua resposta, deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na
calculadora;
- indicar o valor de 𝑎 arredondado às décimas.
f
( )
1
( 1) ln se 1
se 1
x
x x
x
f x
e x
x
x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î -
f
] [
a Î -1,
0
lim 2
h
f a h f a
a
h
®
a
4. Seja um oscilador harmónico. Sabe-se que a frequência deste oscilador é e que.
Qual é o valor de?
(A) (B) (C) (D)
5. Considere a elipse de focos e , em que um dos vértices é o ponto.
Qual é a equação reduzida desta elipse?
(A) (B) (C) (D)
6. Considere, em referencial o.n. : - o plano de equação ; - os pontos e.
6 .1 Seja o ponto do plano de abcissa e ordenada.
Determine a amplitude do ângulo.
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
6 .2 De um cone de revolução, sabe-se que:
- a base está contida no plano ;
- o centro da base é o ponto de interseção da reta com o plano ;
- a altura é.
Determine as coordenadas do vértice do cone, sabendo que a cota é positiva.
7. No conjunto ℂ , considera o número complexo , sendo e.
Sabe-se que é uma raiz de índice 5 do número.
Este número tem duas raízes de índice 5 cujos afixos pertencem ao terceiro quadrante se e só se
pertence ao intervalo:
(A) (B) (C) (D)
FIM DO CADERNO 1
x t ( )
x (3) = 1
x (6)
2 2
y
x
2 2
y x
2 2
y x
2 2
y x
Oxyz
a
3 x + 6 y - 2 z = 9
A (1, 6, 4) B (3, 10, 8)
C a 1 1
ABC
a
AB a
i
z e
q
= r
r > 0
p
q p
ù é
Î
ú ê
û ë
z w
w q
p p
ù é
ú ê
û ë
p p ù é
ú ê
û ë
p p ù é
ú ê
û ë
p p ù é
ú ê
û ë
Caderno 2: 75 minutos. Tolerância: 15 minutos.
Não é permitido o uso de calculadora.
8. Um dado cúbico, não equilibrado, tem duas faces numeradas com 1, duas faces numeradas com 2 e duas
faces numeradas com 3.
Lança-se este dado uma vez e observa-se o número da face que fica voltada para cima.
Sejam e os acontecimentos:
: «sair número ímpar»
: «sair número inferior a 3»
Sabe-se que 𝑃
6
7
.
Qual é a probabilidade de sair o número 1?
(A) (B) (C) (D)
9. Seja a sucessão definida por 𝑢 9
= 2 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢
AB 9
=
9
C
D
.
Considere, num referencial o.n. , os pontos e.
Qual é o declive da reta?
(A) (B) (C) (D)
10. Seja uma função contínua em e diferenciável em. Sabe-se que: - -
Qual das afirmações seguintes não é necessariamente verdadeira?
(A) O contradomínio da função é um conjunto limitado.
(B) O contradomínio da função está contido em ℝ
B
.
(C)
(D)
11. Seja a função real de variável real definida por e seja a função bijetiva, de
domínio , definida por.
Os gráficos das funções e , num referencial o.n. , intersetam-se num ponto.
Determine as coordenadas desse ponto.
A B
A
B
n
u
xOy
1 2
A u ( , u )
10 11
B u ( , u )
AB
f [ ]
a a , + 2
] [
a a , + 2
f a ( ) > 0
f a ( + 2) = 3 f a ( )
f
f
] [
$ Î c a a , + 2 : f c ( ) = 2 f a ( )
] [
$ Î c a a , + 2 : f ¢( ) c = f a ( )
g
2 1
x
g x e
= f
e
ù é
ú ê
û ë
( )
f ( ) x ln x 1
e
g
1
f
xOy
Itens 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.1 14.2.1 14.2.2 15.
Cotação (em pontos) 5 5 5 15 15 5 15 10 8 15 98
TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200
Fotocopiável © Texto | ∀ 12 1
Proposta de resolução da Prova-modelo 1
1. (D)
4 2
2
2 × C × 9 = 972
2.
8 4
4 3
C C
×
2.2 Há duas situações, mutuamente exclusivas, que permitem obter um ponto numa jogada:
no lançamento do dado e retirar duas bolas da caixa com a mesma cor,
repondo a primeira bola antes de retirar a segunda (azuis, verdes ou roxas);
- sair número inferior ou igual a 4 no lançamento do dado e retirar simultaneamente da caixa duas
bolas com a mesma cor (azuis ou verdes).
( )
4 3
2 2
8
2
C C
C
× × + × + × + × = ≈
3.1 Assíntotas verticais:
A função é contínua, portanto, só a reta de equação x = 1 poderá ser assíntota vertical.
( )
0 ( )
1 1 1
1
ln( ) 1 1
lim ( ) lim ( 1) ln lim ln( ) lim 0
x x y y
y
x
y
f x x y
x y y
− −
× +∞
→ → →+∞ →+∞
=
−
(limite notável)
0
0
1 1 0 0 0
1
lim lim lim lim
y
y
x y x y y y
x
e y y e x e
x y y y
→ = − → → →
−
0
2 lim 1 2 1 1 3
y
y
e
y
−
→
= − − = − × − = −
Concluímos que a reta de equação x = 1 não é assíntota vertical ao gráfico de f.
Assíntotas não verticais:
( )
( )
( 1) ln
lim lim lim lim ln lim ln(0 ) 1 ( )
x x x x 1 x
x
f x x x x
x x x x x
∞
∞
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞
− ×
= = × = × = × −∞ = −∞
Não existe assíntota não vertical em −∞.
1 1
lim lim lim lim 0 1 1
x x x x
x x
e x e x x
x x x x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
A reta de equação y = − 1 é a única assíntota ao gráfico da função f.
Fotocopiável © Texto | ∀ 12 3
6.2 Comecemos por determinar as coordenadas do centro da base do cone.
Designemos esse ponto por P.
Uma equação vetorial da reta AB é !, ", # = 1, 6, 4 + % 2, 4, 4, % ∈ ℝ.
Daqui vem:! = 1 + 2% ∧ " = 6 + 4% ∧ # = 4 + 4%, % ∈ ℝ
O plano α tem equação 3 x + 6 y − 2 z = 9 e, dado que o ponto P pertence ao plano, tem-se:
3 × (1 + 2 ) k + 6(6 + 4 ) k − 2(4 + 4 ) k = 9
3 × (1 + 2 ) k + 6(6 + 4 ) k − 2(4 + 4 ) k = 9 ⇔ 3 + 6 k + 36 + 24 k − 8 − 8 k = 9 ⇔ k = − 1
Portanto, o centro da base do cone tem coordenadas ( 1 + 2 × −( 1),6 + 4 × −( 1), 4 + 4 × −( 1) ).
Assim, P ( 1, 2, 0) −
.
O vértice V do cone pode ser obtido através da soma do ponto P com um vetor de norma 14 e
perpendicular ao plano α.
Um vetor perpendicular a
é o vetor ) 3, 6, −2 , cuja norma é 7.
Portanto, os vetores perpendiculares a α de norma 14 são os vetores 2) e −2).
Tem-se:
- = + + 2) = −1, 2, 0 + 6, 12, −4 = 5, 14, −4
ou
- = + − 2) = −1, 2, 0 − 6, 12, −4 = −7, −10, 4
Como V tem cota positiva, tem-se V ( 7,− −10, 4).
7. (C)
8. (B)
A probabilidade de sair o número 1 é + ∩ .
0 − + ∩ =
5
9
⇔ + ∩
0000000
− + ∩ =
5
9
⇔ 1 − + ∩ − + ∩ =
5
9
⇔
⇔ 2+ ∩ =
4
9
⇔ + ∩ =
2
9
Fotocopiável © Texto | ∀ 12 4
9. (A)
Tem-se
2
u = e, portanto,
( )
A.
Nesta sucessão, todos os termos de ordem ímpar são iguais a
1
u e todos os termos de ordem par são
iguais a
2
u ; portanto,
( )
B.
O declive da reta AB é
.
10. (B)
Do facto de f ( ) a e f ( a + 2) serem números positivos, não se pode concluir que a função não tome
valores negativos. A afirmação (B) não é necessariamente verdadeira.
O contradomínio da função é necessariamente limitado: o teorema de Weierstrass permite concluir que a
função atinge um máximo e um mínimo absolutos. Rejeita-se, portanto, a opção (A).
O teorema de Bolzano permite concluir que ] [
∃ ∈ c a a , + 2 : f c ( ) = 2 f a ( ), pois
f ( ) a < 2 f ( ) a < f ( a + 2) e a função f é contínua em [ ]
a a , + 2. Rejeita-se, portanto, a opção (C).
O teorema de Lagrange permite concluir que ] [
f a f a
c a a f c
a a
, ou seja,
] [
f a f a
c a a f c
Rejeita-se, portanto, a opção (D) dado que
f a f a
f a
11.
( ) ( )
1 1
( ) ln 1 ln 1
y y
f x y x y x y x e x e
e e e e
− −
1 1
x
f x e
e
− −
1 2 1 1 2 2
x
y e
x x x x
g x f x e e e e y y
e
− − −
=
⇔ " = −1 ∨ " = 2 ⇔ 2
3
455 = −1 6557
89:;<<í>?@
∨ 2
3
= 2 ⇔! = ln 2
( )
2
2ln(2) 1 ln(2) 1 2 1
g (ln(2)) e e e 2 e
e
− − −
= = × = × =
As coordenadas do ponto de interseção são
( )
ln (2),
e
.
Fotocopiável © Texto | ∀ 12 6
15.
7
2
2
2 2 7 7
1
3
i
i ie
i i i i
z
i i i i i
π
− + + × − + × −
2
2 2
i i i i i i i
i
i i i
A condição dada é, então, equivalente a z + 2 i = z − 4 i ∧ z = 3.
O conjunto dos afixos das soluções da condição z + 2 i = z − 4 i é a mediatriz do segmento de reta
cujos extremos são os pontos de coordenadas (0, −2) e (0, 4). Considerando z = x + yi , trata-se
da reta de equação y = 1.
A condição z = 3 define a circunferência de equação
2 2
x + y = 9.
Tem-se, portanto:
2 2 2
y y y
x y x
x x
As soluções pedidas são os números − 8 + i e 8 + i.
Duração da Prova (Caderno 1 + Caderno 2): 150 minutos | Tolerância: 30 minutos
A prova é constituída por dois cadernos (Caderno 1 e Caderno 2).
Para a resolução do Caderno 1, é necessário o uso de calculadora gráfica. Para a resolução do Caderno 2, não
é permitido o uso de calculadora.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
É permitido o uso de régua, compasso, esquadro e transferidor.
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
Para cada resposta, identifique o item.
Apresente as suas respostas de forma legível.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
A prova inclui um formulário.
As cotações dos itens de cada caderno encontram-se no final do respetivo caderno.
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
Nome ______________________________________________________ N.
o
_____ Turma ______ Data /____ /____ /_____
Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Prova-modelo 2
Caderno 1 : 75 minutos. Tolerância: 15 minutos.
É permitido o uso de calculadora.
1. Pretende-se dispor dez livros numa prateleira de uma estante com o tamanho exato para o efeito. Desses
dez livros, três são de José Saramago. De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos os dez livros
na prateleira, de tal modo que os três livros de José Saramago fiquem juntos?
(A) 30 240 (B) 91 520 (C) 187 640 (D) 241 920
2. Considere a linha do triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros elementos é 21.
Escolhem-se, ao acaso, três elementos dessa linha.
Qual é a probabilidade de o produto desses três elementos ser igual a 20?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
3. Dos alunos de uma escola secundária, sabe-se que: - 40% dos rapazes frequentam o 12.
o
ano;
- escolhendo um aluno ao acaso, a probabilidade de ele ser do sexo feminino ou de não frequentar
o 12.
o
ano é 0,82.
Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso um aluno dessa escola, ele ser do sexo masculino?
Apresente o resultado na forma de dízima.
4. Seja
[ 𝐴𝐵𝐶
] um triângulo, em que 𝑀 é o ponto médio de [𝐴𝐵].
Sabe-se que:
= 8 cm • 𝐴𝐶
= 6 cm • 𝐶𝑀
= 5 cm
Qual é o valor de cos
4 𝐵𝐴
5
𝐶
6 ?
(A)
7
8
(B)
9
:
(C)
9
;
(D)
;
<:
5. Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e a soma dos trinta primeiros termos é 1020.
Qual é o termo de ordem 24 desta progressão?
