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Sub
F´ısica - 4
Escola Polit´ecnica - 2001
FAP2296 - PROVA SUBSTITUTIVA
♦ Esta prova tem 100 minutos de dura¸c˜ao. ♦ E proibida a consulta a colegas, livros e apontamentos.´ ♦ E proibido o uso de calculadoras.´ ♦ Resolva cada quest˜ao na folha apropriada. ♦ N˜ao ser˜ao aceitas respostas sem justificativas
Quest˜ao 1
Uma onda eletromagn´etica, de comprimento de onda λ = 3, 0 m, est´a se propagando no v´acuo, na dire¸c˜ao +x. A amplitude do campo el´etrico E~ ´e 300 V/m, direcionado ao longo do eixo y.
a. (0,5) Se E = Em sen(k x − ω t), quais s˜ao os valores de k e ω? b. (0,5) Calcule a intensidade desta onda.
c. (0,5) Se a onda incidir sobre uma superf´ıcie totalmente absorvente, pos- suindo ´area de 2 m^2 e situada no plano yz, qual ser´a a taxa de momento linear transferido para a superf´ıcie e qual a press˜ao de radia¸c˜ao exercida sobre a superf´ıcie? d. (1,0) Determine o n´umero de f´otons que ser˜ao absorvidos pela superf´ıcie do ´ıtem anterior durante um tempo igual ao per´ıodo da onda.
a.
kx = 2 π λ
2 π 3 = 2, 1rad/m; ω = 2π f = 2π c λ = 6, 3 × 108 rad/s
b.
I = E^2 m 2 μ 0 c
2(4π × 10 −^7 )(3 × 108 ) = 119 W/m^2
c. Taxa de momento transferido para uma superf´ıcie totalmente absorvente:
dp dt
IA
c
E m^2 2 μ 0 c^2
A =
2(4π × 10 −^7 )(3 × 108 )^2
2 = 8, 0 × 10 −^7 N
d. Energia do f´oton: E = h f = h c λ Enegia total absorvida: U = I A T = I A λ c N´umero de f´otons: N =
U
E
I A
h
( λ c
) 2 = 3, 6 × 1019
Quest˜ao 2
Uma part´ıcula tem fun¸c˜ao de onda
Ψ(x) =
√ (^2) 5 L sen(4π x/L)^ se^ −^ L^ ≤^ x^ ≤^0
2
√ (^2) 5 L sen(2π x/L)^ se 0^ ≤^ x^ ≤^ L
0 se |x| ≥ L a. (0,5) Qual ´e a probabilidade de a part´ıcula ser encontrada em x > 0? b. (0,5) Determine os comprimentos de onda de De Broglie para x > 0 e x < 0. c. (0,5) Calcule o momento linear e a energia cin´etica nas duas regi˜oes (x > 0 e x < 0) e determine raz˜ao entre os valores das energias cin´eticas a esquerda ea direita de x = 0.
a. Verificando a normaliza¸c˜ao: ∫ (^) L −L
|ψ(x)|^2 dx =
∫ (^0) L
|ψ(x)|^2 dx +
∫ (^) L 0
|ψ(x)|^2 dx
5 L
∫ (^0) −L
[sen(4π x/L)]^2 dx +
5 L
∫ (^) L 0
[sen(2π x/L)]^2 dx =
Portanto, a probabilidade de encontrar a part´ıcula `a direita ´e
8 5 L
∫ (^) L 0 [sen(2π x/L)]^2 dx =
b. λx< 0 = 2 π kx< 0
2 π 4 π L
L
, λx> 0 = 2 π kx> 0
2 π 2 π L
= L
c.
px< 0 = h λx< 0
2 h L
, px> 0 = h λx> 0
h L
p^2 x> 0 / 2 m p^2 x> 0 / 2 m
d. Como ψ ´e um estado estacion´ario,
¯h^2 2 m
d^2 dx^2 ψ + U ψ = E ψ,
onde E ´e a energia do estado estacion´ario. Portanto,
E =
h^2 2 mL^2
+ U 0 =
4 h^2 2 mL^2
=⇒ U 0 =
3 h^2 2 m L^2
Parte I
Em um metal, a energia m´axima dos foto-el´etrons produzidos por luz de comprimento de onda λ 1 = 300 nm ´e E 1 = 2, 14 eV.
a. (0,5) Qual ´e a fun¸c˜ao trabalho do metal? b. (0,5) Qual ´e a energia cin´etica m´axima para λ 2 = 400 nm? c. (0,5) Qual ´e o m´aximo comprimento de onda que produzir´a efeito foto- el´etrico no metal?
Parte II
A fun¸c˜ao de onda do el´etron no estado fundamental, 1s, do ´atomo de hi- drogˆenio ´e
Ψ(r) =
√^1
πa^30
e−r/a^0
a. (0,5) Verifique que esta fun¸c˜ao est´a normalizada. b. (1,0) Calcule o valor m´edio de r.
Em t = 0, uma amostra radioativa cont´em 18, 3 μg de 116 C puro, que tem meia vida de 20, 4 min.
a. (1,0) Determinar o n´umero de n´ucleos em t = 0. b. (0,5) Calcule a constante de desintegra¸c˜ao e atividade inicial da amos- tra. c. (0,5) Quanto tempo levar´a para que a amostra atinja uma atividade de apenas 1/4 da atividade inicial?
a.
N 0 = 18 , 3 × 10 −^9 kg 11 u
11 × 1 , 66
× 1018 ≈ 1018
b. Quando N = N 0 /2, t = τ (meia vida). Substituindo estes valores em N (t) = N 0 exp(−λt),
1 2 = e−λτ^ =⇒ λ =
ln τ
ln 20 , 4 × 60
≈ 6 × 10 −^4
Utilizando a defini¸c˜ao de atividade, ∣∣ ∣∣ ∣
dN dt
∣∣ ∣∣ ∣ =^ λN^0 e
−λt (^) = R 0 e−λt; R 0 = λ N 0 ≈ 6 × 10 − (^4) × 1018 ≈ 6 × 1014 s− 1
c. De acordo com a defini¸c˜ao de meia vida, t 1 / 4 = 2τ = 40, 8 min
