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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES
Prova Recuperação – PEF 130 22/02/
1ª. Questão (4,0): Considere-se o pórtico plano ABC sob a ação de variação de temperatura e de recalques de apoio, conforme se indicam na Figura 1. As barras são prismáticas e de mesma secção transversal retangular. Nessas condições, pedem-se: a) Resolver a estrutura pelo método dos esforços e traçar os diagramas de esforços solicitantes; b) Calcular a rotação do nó B;
Desprezam-se em ABC as parcelas de deslocamentos devidas aos efeitos da força normal e da força cortante.
Dados:
α = coeficiente de variação térmica = 10-5^ ºC-
∆θ 1 =+ 20 º C
∆θ 2 =− 20 º C
ϕˆ^ A = 0 , 001 rad
u ˆ^ A = 0 , 02 m h = altura da seção transversal retangular = 0,20 m
EI = 1 , 33 × 106 Nm^2 k = 125000 N/m
B
C
A 2m
∆θ 2
4m
k
^ u A ∆θ 1
∆θ
2 ∆θ
1
ϕ^ ^ A
Figura 1
2ª. Questão (3,0): Considere-se o pórtico plano em regime elasto-plástico perfeito, solicitado conforme se indica na Figura 2. Ele é formado por barras prismáticas de mesma secção transversal e têm momento de plastificação igual a M (^) p = 400 kNm. Essa estrutura,
quando em regime elástico linear, apresenta o diagrama de momentos fletores da Figura 3. Nessas condições, pedem-se:
a) Determinar pelo método passo-a-passo o multiplicador γ II correspondente à carga
de colapso; b) Traçar o diagrama de momentos fletores na iminência do colapso;
c) Verificar o multiplicador γ II pelo teorema cinemático.
Figura 2
Figura 3
1 1
1 2
2 + + 2
δ M = M 1
δτ e = 1 × 0 + × 1 uA − 2 ×ϕ A
i 0
M F
M ds M ds N ds F EI h k
1 1 1 A^2 A 1 1 1 1
M F X
u M X ds M ds F EI h k
− × = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
1 5 1 1 1 1
M X
X M ds M ds EI k
− × = ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ +
5 1
X
EI k
− × = ⋅ + + ⋅ ⋅
X 1 = − 91 N
182 182
M Nm ( ) V N ( ) 91
b)
δ M
δτ e = 1 × ϕ B + × 1 ϕ A
i
M F
M ds M ds F EI h k
B A
M
M ds M ds EI h
5 0, 001 1 182 4 10 40 4 8,9 103 B (^) EI 0, 20
− = − + × × + × × = − ×^ −
2ª Questão:
a) 280,3 × γ 1 = 400 → γ 1 =1, 427
400
369,
369,
M^400 1
Me x 1,
R R
200
100 100
100 100
0 0
400
400
∆ M
b) 369,89 + 400 ⋅ ∆ γ = 400 → ∆γ = 0, 075 → γ 2 =1,
400
400
M (^2 )
400
c)
δτ e = 200 × 4 ⋅θ γ ⋅ II + 100 × 4 ⋅θ ⋅ 2 = 1600 ⋅θ γ ⋅ II
δτ i = Mp × 6 = 400 6⋅ ⋅θ = 2400 ⋅θ
γ II = 1, 50
Logo: * 3
EI N
k (^) m l
a) Freqüência natural não-amortecida
k (^) rad m s
b) (^) max (^) *^0
D p (^) D u D k
( ) (^ )
max (^2 ) 2
u D
β ξ β^ ξ
0,10 (^2) * 4 4 480 10
c c c m m
c = 1920 Nsm
c)
M Nm ( )
3 EIumáx = 1200
2
6 EIumáx = 2400
2
