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Quadrados Magicos
Lenimar Nunes de Andrade UFPB - Jo~ao Pessoa, PB e-mail: [email protected]
26 de agosto de 1999
1 Intro duc~ao
Quadrados magicos t^em intrigado matematicos, cientistas e curiosos p or seculos. O exemplo conhecido mais antigo e o Loh-Shu, encontrado na China. Trata-se de um quadrado magico de ordem 3 que data de 2.850 A.C. ( gura 1). Nele, os n umeros mpares s~ao representados p or b olinhas brancas e os pares p or b olinhas pretas.
Figura 1: Quadrado magico chin^es de 2850 A.C.
2 Uma ab ordagem algebrica
Um quadrado magico de ordem n p o de ser de nido como sendo uma matriz (aij )nn onde os elementos aij p ertencem ao conjunto f 1 ; 2 ; ; n^2 g N , s~ao dois a dois distintos e a soma de qualquer linha, qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais e igual a uma constante M. A constante M p o de ser facilmente calculada em func~ao de n. Para isso, basta observar que a soma das n linhas da matriz e igual a M + M + + M = nM. Por outro lado, essa soma e igual a 1 + 2 + 3 + + n^2 =
n^2 (n^2 + 1) 2
Portanto, nM = n
(^2) (n (^2) +1) 2 ;^ de^ onde^ obtemos
M =
n(n^2 + 1) 2
Vamos agora descobrir a forma geral de um quadrado magico de ordem 3. Para isso, consideramos a seguinte matriz 3 3 de elementos inteiros:
a b c d e f g h i
Neste caso, a constante \magica" M deve ser igual a 3(3^2 + 1)= 2 = 15 : Logo, devemos ter as seguintes relac~oes: (^8)
<
:
a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15 a + d + g = 15 b + e + h = 15 c + f + i = 15 a + e + i = 15 g + e + c = 15 A 6 a^ equac~ao p o de ser obtida a partir da soma das cinco primeiras. Consequente- mente, ela p o de ser retirada do sistema sem problemas. Obtemos assim um sistema linear com 7 equac~oes e 9 variaveis. Escolhendo a e b como variaveis livres, obtemos a seguinte soluc~ao geral: c = 15 a b, d = 20 2 a b, e = 5, f = 10 + 2 a + b, g = 5 + a + b, h = 10 b e i = 10 a. Chegamos a conclus~ao que um quadrado magico de ordem 3 tem o seguinte asp ecto:
a b 15 a b 20 2 a b 5 10 + 2 a + b 5 + a + b 10 b 10 a
A primeira vista p o de parecer que ha uma in nidade de quadrados magicos de ordem 3, bastando para isso atribuirmos valores inteiros as variaveis a e b. Mas isso deve ser feito levando em conta que os valores obtidos devem ser inteiros n~ao rep etidos no intervalo [1; n^2 ]. Por isso, (a; b) p o de assumir ap enas os valores: (2; 7); (2; 9); (4; 3); (4; 9); (6; 1); (6; 7); (8; 1); ou (8; 3). Por exemplo para (a; b) igual a (2; 7), (8; 1) e (8; 3) obtemos, resp ectivamente, os seguintes quadrados:
Figura 2: Quadrado magico de ordem 5 Figura 3: Quadrado magico de ordem 9
3.2 Quadrados magicos de ordem n par e n~ao m ultipla de 4
Uma tecnica simples para construc~ao desse tip o de quadrado e conhecida como a tecnica de Conway ou meto do \LUX". Se n = 4 m + 2 ; m 1, ent~ao escrevemos uma matriz auxiliar de ordem (2m + 1) (2m + 1) formada p or m + 1 linhas de \L", 1 linha de \U" e m 1 linhas de \X". Tro que o \U" do meio p elo \L" logo acima dele. Agora, considere o quadrado magico auxiliar de ordem (2m + 1) (2m + 1) gerado p ela tecnica de Kraitchik descrita anteriormente. Sup ondo cada letra no centro de um quadrado 2 2, preencha cada um desses quadrados, distribuindo os inteiros de 1 a n^2 de 4 em 4, levando em considerac~ao a ordem sugerida p elo quadrado auxiliar e p elo formato de cada letra. Veja as guras 4 e 5.
Figura 4: Quadrado magico de ordem 6
Figura 5: Quadrado magico de ordem 10
3.3 Quadrados magicos de ordem m ultipla de 4
Os quadrados magicos com ordens n m ultiplas de 4 s~ao os de construc~ao mais facil. Basta preencher a primeira linha com inteiros de 1 a n, a segunda linha de n + 1 a 2 n e assim p or diante, ate preencher a ultima linha com os inteiros de n^2 n + 1 a n^2 : Dep ois, sub dividir o quadrado n n em n= 4 quadrados 4 4 e, para cada um desses quadrados menores, tro car cada elemento aij que apareca em qualquer uma de suas diagonais p elo elemento n^2 + 1 aij. Veja as guras 6 e 7.
Figura 6: Quadrado magico de ordem 4
Figura 7: Quadrado magico de ordem 8
4 Quadrados magicos esp eciais
Existem quadrados que n~ao se encaixam na de nic~ao tradicional, citada no incio do artigo, mas n~ao e p or causa disso que deixam de ser interessantes. Por exemplo, s~ao conhecidos varios quadrados magicos formados so p or n umeros primos. Veja, p or exemplo, o da gura 9 onde a soma de linhas, colunas e diagonais e sempre igual a 2311. Outro tip o de quadrado magico bastante conhecido s~ao os chamados completos ou pan-magicos. S~ao aqueles em que alem das mesmas somas nas linhas, colunas, diagonal principal ou secundaria ainda mant^em a mesma soma em diagonais \quebradas" { que s~ao formadas p elos elementos aij tais que i j k (mo d n) ou p elos elementos aij tais que i + j k (mo d n), para algum inteiro k tal que n < k < n. Um exemplo de quadra- do pan-magico de ordem 5 e mostrado na gura 8, onde temos diagonais \quebradas" com soma igual a 5(
2 =^65 ;^ como^ p^ or^ exemplo^ f^16 ;^9 ;^3 ;^22 ;^15 g,^ f^13 ;^17 ;^10 ;^1 ;^24 g^ ou f 17 ; 21 ; 8 ; 15 ; 4 g:
5 Quantidade de quadrados magicos
Em geral, e um problema ainda n~ao resolvido o calculo da quantidade de quadrados magicos de uma determinada ordem. So s~ao conhecidas as quantidades de quadrados magicos de ordens menores do que 6. Estima-se que existam cerca de 1 ; 7 1019 quadrados magicos de ordem 6.
