Calculo de Diferenças e Proporções, Exercícios de Matemática

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NÚMEROS INTEIROS

1) A soma de dois números é 35 e a diferença entre eles é 9. Calcular

esses números.

Solução:

1. Tira-se a diferença para que eles fiquem iguais;
2. divide-se o resultado por 2 para achar os dois iguais;
3. repõe-se a diferença a um dos iguais para se achar o maior.
4. 35 - 9 = 26
5. 26 ÷ 2 = 13
6. 13 + 9 = 22

Resp.: 22 e 13

2) A soma de três números inteiros consecutivos é 57. Calcular esses

números.

Solução:

3. 54 ÷ 3 = 18

Resp.: 18; 19 e 20

3) A soma de três números ímpares consecutivos é 57. Quais

são eles ????

Solução:

3. 51 ÷ 3 = 17

Resp.: 17; 19 e 21

7) Numa divisão inexata o divisor é 14 e o quociente é 3.

Calcular o dividendo, sendo o resto o menor possível.

Solução:

o menor resto de uma divisão inexata é 1; o dividendo é o produto do divisor pelo quociente, mais o resto;

14 × 3 + 1 = 43

Resp.: 43

8) O produto de dois números é 180. Somando-se 5 unidades

ao multiplicando, o novo produto é 240. Calcular esses

números.

Solução:

1. 240 − 180 = 60 → diferença entre os dois produtos;
2. 60 ÷ 5 = 12 → o multiplicador;
3. 180 ÷ 12 = 15 → o multiplicando.

Resp.: 15 e 12

9) A soma de dois números é 84. A diferença entre eles é o

quíntuplo do menor. Quais são eles ????

Solução:

1. representa-se o menor (que é o subtraendo) por 1; o resto é o quíntuplo do menor ou 5; o minuendo (que é o maior) é a soma do subtraendo e resto, isto é, 1 + 5 ou 6; o problema converte-se no seguinte: “a soma de dois números é 84; o maior é o sêxtuplo do menor; quais são eles?“
2. representa-se o menor por 1;
3. 6 + 1 = 7;
4. 84 ÷ 7 = 12 → o menor;
5. 12 × 6 = 72 → o maior.

Resp.: 72 e 12

10) Há três números: a soma dos dois primeiros é 30; a dos dois últimos é 54 e a do 1. °°°° e

3. °°°° e 60. Quais são esses números ????

Solução:

1. nos totais 30.... 54 e 60, cada número está tomado duas vezes;
2. a soma de 30.... 54 e 60 ou 144, representa o dobro da soma real;
3. a soma dos três números será, então 144 ÷ 2 ou 72;
4. da soma de três números, tirada a soma do dois deles, fica um dos números;
5. 72 − 30 = 42 → 3.°
6. 72 − 54 = 18 → 1.°
7. 72 − 60 = 12 → 2.° Resp.: 18; 12 e 42

11) A soma de três números pares consecutivos é 186. Determiná-los.

Solução:

2. 180 ÷ 3 = 60

Resp.: 60; 62 e 64

12) Pagar R$ 900,00 com 22 notas, umas de R$ 50,00 e outras de R$ 10,00. Calcular o número de notas de cada valor.

Solução:

50 900 → 22 〈 10

1. admite-se que todas as notas sejam de R$ 50,00;
2. R$ 50,00 × 22 = R$ 1.100,00;
3. R$ 1.100,00 − R$ 900,00 = R$ 200,00;
4. R$ 50,00 − R$ 10,00 = R$ 40,00;
5. R$ 200,00 ÷ R$ 40,00 = 5 → notas de R$ 10,00;
6. 22 − 5 = 17 → notas de R$ 50,00.

**Resp.: 17 notas de R$ 50,00 e 5 notas de R$ 10,

13. Um operário recebe, por ano, R$ 3.600,00 e um relógio. No fim de 8 meses é despedido, recebendo R$ 2.200,00 e o relógio. Calcular o valor do relógio.**

Solução:

1. 12m → 3.600 e o relógio;
2. 8m → 2.200 e o relógio;
3. 12m − 8m = 4 meses → número de meses que faltava para completar o ano, quando foi despedido;
4. R$ 3.600,00 − R$ 2.200,00 = R$ 1.400,00 → dinheiro que deixou de receber por não ter completado o ano;
5. R$ 1.400,00 ÷ 4 = R$ 350,00 → ordenado mensal;

18) As idades de duas pessoas diferem de 60 anos. A idade de uma delas é o sêxtuplo da idade da outra. Calcular a idade de cada uma.

Solução:

2. 60 ÷ 5 = 12

3. 12 × 6 = 72

Resp.: 72 anos e 12 anos

19) Dois trens partem, ao mesmo tempo, das extremidades de uma estrada de 450 km; o primeiro tem uma velocidade de 40 km por hora e o segundo 50 km; no fim de quantas horas se encontrarão ????

Solução:

2. 450 ÷ 90 = 5

Resp.: 5 horas

20) Uma torneira despeja 88 litros d’água num tanque em 4 minutos e outra 162 litros em 6 minutos. Que tempo levarão para encher um tanque de 1470 litros ????

Solução:

1. 88 ÷ 4 = 22 → por minuto;
2. 162 ÷ 6 = 27 → por minuto;
3. 22 + 27 = 49 → as duas por minuto;
4. 1470 ÷ 49 = 30.

Resp.: 30 minutos

21) O produto de dois números é 420. Calcular o produto de um número 8 vezes maior que o primeiro por outro 5 vezes maior que o segundo.

Solução:

1. 8 × 5 = 40

2. 420 × 40 = 16800

Resp.: 16800

22) São dados dois números. O maior deles é 143. Tirando-se 23 do maior e 14 do menor, a soma dos restos é 163. Qual é o menor ????

Solução:

3. (menor) − 14 → 43;
4. o menor será 43 + 14 ou 57.

Resp.: 57

23) Um pai tem 65 anos e os filhos têm 28 anos, 25 anos e 20 anos. Há quantos anos foi a idade do pai igual a soma das idades dos filhos ????

Solução:

1. 28 + 25 + 20 = 73 → soma das idades dos filhos;
2. 73 − 65 = 8;
3. em cada ano a idade dos filhos diminui de (1 + 1 + 1) ou 3 e a do pai de 1;
4. (1 + 1 + 1) − 1 = 3 − 1 = 2;
5. 8 ÷ 2 = 4.

Resp.: 4 anos

24) O produto de dois números é 450. A nona parte desse produto é o quíntuplo do menor. Calcular esses números.

Solução:

1. toma-se a nona parte do produto: 450 ÷ 9 = 50;
2. o quíntuplo do menor é 50 e o menor será: 50 ÷ 5 ou 10;
3. o maior será: 450 ÷ 10 ou 45.

Resp.: 45 e 10

25) Uma pessoa tem 35 anos e outra 15 anos. Há quantos anos foi a idade da primeira o triplo da idade da segunda ????

Solução:

1. toma-se o triplo da idade da 2.ª: 15 × 3 ou 45;
2. 45 − 35 = 10;
3. 3 − 1 = 2;
4. 10 ÷ 2 = 5.

Resp.: 5 anos

26) A tem R$ 15.600,00 e B R$ 8.400,00. A primeira economiza R$ 960,00 por ano e a segunda R$2.400,00. No fim de que tempo terão quantias iguais ????

Solução:

1. a diferença dos haveres é de R$ 15.600,00 − R$ 8.400,00 = R$ 7.200,00;
2. a cada ano essa diferença diminui de R$ 2.400,00 − R$ 960,00 ou R$ 1.440,00;
3. as duas pessoas terão quantias iguais no fim de R$ 7.200,00 ÷ R$ 1.400,00 ou 5.

Resp.: 5 anos

4. 42 ÷ 2 = 21 → idade do filho;
5. 21 + 28 = 49 → idade do pai.

**Resp.: 49 anos e 21 anos

32. Se uma pessoa tivesse mais R$ 300,00, poderia comprar um objeto de R$ 500,00 e ainda ficaria com R$ 200,00. Calcular a quantia possuída.**

Solução:

1. R$ 500,00 + R$ 200,00 = R$ 700,00;

2. R$ 700,00 − R$ 300,00 = R$ 400,00.

Resp.: R$ 400,

33) Um negociante comprou 40 dúzias de ovos a R$ 1,00 a dúzia. Quebraram-se 18 ovos e vendeu os restantes a R$ 1,30 a dúzia. Que lucro obteve ????

Solução:

1. R$ 1,00 × 40 = R$ 40,00 → custo;
2. quebraram-se 18 ovos ou dúzia e meia e ficaram 38 dúzias e meia;
3. R$ 1,30 × 38,5 = R$ 50,05 → preço de venda;
4. R$ 50,05 − R$ 40,00 = R$ 10,05 → lucro. Resp.: R$ 10,

34) Quantos tipos são precisos para se escreverem os números compreendidos entre 437 e 2659 ????

Solução:

1. o maior número de 3 algarismos é 999;
2. entre 437 e 999 há: 999 − 437 ou 562 números e 3 algarismos, que gastarão: 3 × 562 ou 1686 tipos;
3. restam 2659 − 999 ou 1660 números de 4 algarismos, que gastarão: 4 × 1660 ou 6640 tipos;
4. o número total de tipos será: 1686 + 6640 ou 8326.

Resp.: 8326 tipos

35) Dois operários ganham, juntos, por dia, R$ 33,00. No fim de alguns dias, o primeiro recebe R$ 450,00 e o segundo R$ 540,00. Quanto ganha cada um por dia ????

Solução:

1. R$ 450,00 + R$ 540,00 = R$ 990,00 → ganho dos dois;
2. R$ 990,00 ÷ R$ 330,00 = 30 → número de dias que cada um trabalha;
3. R$ 450,00 ÷ 30 = R$ 15,00 → ganho do 1.° por dia;
4. R$ 540,00 ÷ 30 = R$ 18,00 → ganho do 2.° por dia. Resp.: R$ 15,00 e R$ 18,

36) Uma caixa da lápis custa R$ 3,00. Outra caixa de mesma qualidade, tendo mais quatro lápis, custa R$ 5,00. Quantos lápis há em cada caixa ????

Solução:

1. R$ 5,00 − R$ 3,00 = R$ 2,00 → custo dos 4 lápis;
2. R$ 2,00 ÷ 4 = R$ 0,50 → custo de um lápis;
3. R$ 3,00 ÷ R$ 0,50 = 6 → número de lápis da 1.ª caixa;
4. R$ 5,00 ÷ R$ 0,50 = 10 → número de lápis da 2.ª caixa.

**Resp.: 6 e 10

37. Multiplicando-se um número por 5, ele fica aumentado de 64 unidades. Qual é esse número** ????

Solução:

1. multiplicar um número por 5 é aumentá-lo de 4 vezes o seu valor;
2. o número é: 64 ÷ 4 ou 16.

Resp.: 16

38) O maior de dois números excede de 15 unidades ao menor e a soma deles é 89. Calcular esses números.

Solução:

1. o problema dado pode ser substituído pelo seguinte: “a soma de dois números é 89 e a diferença é 15; quais são eles”?
2. 89 − 15 = 74 → é a soma dos dois iguais;
3. 74 ÷ 2 = 37 → é o número menor;
4. 37 + 15 = 52 → é o número maior. Resp.: 52 e 37

39) Quinze dias de trabalho de um operário e 12 dias de um servente valem R$ 414,00. Quinze dias de um operário e 8 dias de um servente valem R$ 366,00. Quanto ganha cada um por dia ????

Solução:

1. o número de dias do operário é o mesmo nos dois cálculos; o servente da 1.ª vez trabalha 12 dias e, da 2.ª, 8; então, 4 dias de um servente valem... R$ 414,00 − R$ 366,00 ou R$ 48,00;
2. R$ 48,00 ÷ 4 = R$ 12,00 → ganho diário de um servente;
3. R$ 12,00 × 12 = R$ 144,00 → ganho de 12 dias de um servente;
4. R$ 414,00 − R$ 144,00 = R$ 270,00 → valor de 15 dias de um operário;
5. R$ 270,00 ÷ 15 = R$ 18,00 → valor do trabalho de cada dia de um operário. Resp.: R$ 18,00 e R$ 12,

40) Achar um número tal que, dividindo-se 87 por ele, o quociente é 7 e o resto 3.

5. a 1.ª vale R$ 60,00 ÷ 3 = ou R$ 20,00;
6. R$ 20,00 + R$ 30,00 = R$ 50,00 → parte da 2.ª;
7. R$ 20,00 + R$ 50,00 = R$ 70,00 → parte da 3.ª.

Resp.: R$ 20,00; R$ 50,00 e R$ 70,

45) Em 728, quantas vezes o 5 é empregado ????

Solução:

1. 73 nas unidades;
2. 7 × 10 = 70 → nas dezenas;
3. 100 vezes na centena de 500 a 599;
4. total: 73 + 70 + 100 = 243.

Resp.: 243 vezes

46) Dois irmãos têm: R$ 30.000,00 e R$ 12.000,00. Se comprarem uma casa com a soma dessas quantias, ficarão, ainda, com R$ 5.000,00. Se comprarem um terreno, ficarão com R$ 23.000,00. Calcular o valor da casa e o do terreno.

Solução:

1. R$ 30.000,00 + R$ 12.000,00 = R$ 42.000,00;

2. R$ 42.000,00 − R$ 5.000,00 = R$ 37.000,00 → valor da casa;
3. R$ 42.000,00 − R$ 23.000,00 = R$ 19.000,00 → valor do terreno.

Resp.: R$ 37.000,00 e R$ 19.000,

47) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 12. Subtraindo-se 54 do número dado, obtém-se o mesmo escrito em ordem inversa. Qual é esse número ????

Solução:

1. a diferença entre um número de dois algarismos e o mesmo escrito em ordem inversa é igual a um múltiplo de 9;
2. dividindo-se esse múltiplo de 9 por 9, o quociente representa a diferença entre os dois algarismos do número dado;
3. 54 ÷ 9 = 6 → é a diferença entre os algarismos do número dado;
4. o problema reduz-se ao seguinte: “a soma dos dois algarismos é 12 e a diferença é 6 “; qual é esse número?
5. 12 − 6 = 6 → soma dos 2 algarismos iguais;
6. 6 ÷ 2 = 3 → algarismo das unidades;
7. 3 + 6 = 9 → algarismo das dezenas.

Resp.: 93

48) Repartir entre os funcionários de uma loja, uma gratificação de R$ 1.440,00. Há 5 homens, 3 mulheres e 2 garotos. Cada mulher vai receber tanto quanto 3

garotos e cada homem tanto quanto uma mulher e 2 garotos. Calcular a gratificação de cada homem, cada mulher e cada garoto.

Solução:

1. representa-se a gratificação de cada garoto por 1; a de cada mulher por 3 e a de cada homem por 3 + 2 ou 5;
2. um homem recebe tanto quanto 5 garotos e 5 homens receberão tanto quanto 25 garotos;
3. cada mulher recebe tanto quanto 3 garotos e 3 mulheres tanto quanto 9 garotos;
4. assim, a gratificação de 2 garotos, mais a de 9 garotos e mais a de 25 garotos, valem a de 36 garotos;
5. R$ 1.440,00 ÷ 36 = 40,00 → para cada garoto;
6. R$ 40,00 × 3 = R$ 120,00 → cada mulher;
7. R$ 40,00 × 5 = R$ 200,00 → cada homem.

Resp.: R$ 200,00; R$ 120,00 e R$ 40,

49) Um negociante comprou certo número de quadros. Vendendo cada um a R$ 180, o lucro é de R$ 6.000,00. Vendendo a R$ 160,00 o lucro é de R$ 4.800,00. Calcular o número de quadros e o custo de cada um.

Solução:

1. o lucro baixou de R$ 6.000,00 − R$ 4.800,00 ou R$ 1.200,00, porque o preço de venda de cada quadro diminuiu de R$ 180,00 − R$ 160,00 ou R$ 20,00;
2. R$ 1.200,00 ÷ R$ 20,00 = 60 → número de quadros;
3. R$ 180,00 × 60 = R$ 10.800,00 → preço de venda;
4. R$ 10.800,00 − R$ 6.000,00 = R$ 4.800,00 → custo dos quadros;
5. R$ 4.800,00 ÷ 60 = R$ 80,00 → custo de cada quadro.

Resp.: 60; R$ 80,

50) Quantos algarismos são necessários para escrever de 1 a 387 ????

Solução:

1. de 1 a 9 há 9 números de 1 algarismo;
2. de 10 a 99 há 90 números de 2 algarismos;
3. de 100 (inclusive) a 387 há 288 números de 3 algarismos;
4. total: 9 + 90 × 2 + 288 × 3 = 9 + 180 + 864 = 1053

Resp.: 1053

51) Uma conta de R$ 3.600,00 foi paga com 54 notas de R$ 100,00 e de R$ 50,00. Quantas eram as notas de cada valor ????

Solução:

1. Admite-se que todas as notas sejam de R$ 100,00;

2. Multiplica-se 60 por 3 e soma-se com 12 obtém-se 192.
3. Multiplica-se 192 por 2 e soma-se 60 e temos 444. 2 3 5 444 192 60 12 60 12

Resp.: os números são 444 e 192.

55) O M.D.C. de 2 números é 15 e os quocientes achados foram: 2, 3, 2 e 5. Quais os números ????

Solução:

1. 5 × 15 = 75

2. 75 × 2 + 15 = 165

3. 165 × 3 + 75 = 570

4. 570 × 2 + 165 = 1305

Resp.: Os números procurados são 1305 e 570.

56) O M.D.C. de 2 números é 9 e os quocientes encontrados foram: 2, 3, 2, 5 e 3. Quais os números ????

Solução:

1. 9 × 3 = 27

2. 27 × 5 + 9 = 144

3. 144 × 2 + 27 = 315

4. 315 × 3 + 144 = 1089

5. 1089 × 2 + 315 = 2493

Resp.: Os números procurados são 2493 e 1089.

57) Decompostos três números A, B e C, encontraram: A ==== 2^2 ×××× 5^2 ×××× 7 ×××× 11 B ==== 2^2 ×××× 5 ×××× 7^2 C ==== 2^4 ×××× 5 ×××× 7 ×××× 11^2 Determinar o M. M. C.

Solução:

O mínimo múltiplo comum é igual ao produto dos fatores comuns e não comuns, dos comuns, os que tiverem maior expoente. No caso acima, temos: M.M.C. = 2 4 × 5 2 × 7 2 × 11 2 = 16 × 25 × 49 × 121 = 2371600

Resp.: M.M.C. é 2371600

58) Uma pessoa tem uma barra de ferro de 1,20 m, 1,60 m, 2,40 m e 3,2 m e deseja transformá-las em barras do mesmo tamanho, o maior possível sem inutilizar pedaços. Qual será o tamanho dessas barras ????

Solução:

1. reduzindo as medidas em decímetros, temos: 12, 16, 24 e 32;
2. determinando o M.D.C. desses números, achamos: 4;
3. as novas barras deverão ter 4 decímetros.

Resp.: 0,4 m

59) Uma pessoa tem 3 barras de ferro de cada um dos seguintes comprimentos: 1,5 m, 2,5 m, 3m e 3,5 m, e deseja transformá-las em barras de um só tamanho, o maior possível, sem inutilizar nenhum pedaço. Qual deve ser o tamanho das novas barras ???? Com quantas barras ficará ????

Solução:

1. reduzindo as medidas em decímetros, temos: 15, 25, 30 e 35;
2. determinando o M.D.C. desses números, achamos: 5;
3. as novas barras deverão ter 5 decímetros;
4. dividimos cada número pelo M.D.C. (5), teremos: 15 ÷ 5 = 3, 25 ÷ 5 = 5, 30 ÷ 5 = 6 e 35 ÷ 5 = 7
5. somamos os quocientes e teremos: 3 + 5 + 6 + 7 = 21;
6. como há três barras de cada espécie, multiplicamos por 3 e teremos: 21 × 3 = 63 → total das novas barras.

Resp.: 5 e 63

60) Uma pessoa tem peças de tecido com as seguintes medidas: 2,4 m, 1,6 m e 3,2 m. Deseja reduzir a um tamanho só, o maior possível. Com quantas peças ficará ????

Solução:

1. o M.D.C. entre 16, 24 e 32 é 8 → tamanho das novas peças;
2. 16 ÷ 8 = 2, 24 ÷ 8 = 3 e 32 ÷ 8 = 4;
3. total: 2 + 3 + 4 = 9 peças

Resp.: 9 peças

61) Indicar os menores números pelo qual devemos dividir: 2480, 3760 e 7440 para obter quocientes iguais.

Solução:

1. procuramos o M.D.C. dos números dados e encontramos 80;
2. dividimos os números por 80 e achamos: 2480 ÷ 80 = 31, 3760 ÷ 80 = 47 e 7440 ÷ 80 = 93;
3. se dividirmos cada número pelos quocientes achados, iremos obter 80 para resultado de todas as divisões, isto é: 2480 ÷ 31 = 80 3760 ÷ 47 = 80 e 7440 ÷ 93 =

Resp.: 31; 47 e 93

Solução:

1. simplifica-se a fração dada, dividindo seus termos por 12: 4 5

2. divide-se 35 por 5 e o quociente 7 multiplica-se pelo numerador.

Resp.: 28 35

65) A diferença dos termos de uma fração equivalente a 1221 é 27. Qual é essa fração ????

Solução:

1. simplifica-se a fração dada, dividindo seus termos por 3: 4 7

3. 27 ÷ 3 = 9

4. 9 × 4 = 36 9 × 7 = 63

Resp.: 36 63

66) Que número se deve tirar do denominador da fração 7 12

, para torná-la 4 vezes

maior ????

Solução:

1. tornar a fração 4 vezes maior é multiplicá-la por 4: 127 × 4 = 1228 = 73 ;
2. escreve-se a fração dada e a obtida: 127 ......... 73 ;
3. a diferença dos denominadores é 9, que é a solução pedida.

Resp.: 9

67) Uma pessoa gastou 5/9 do que possuía e ficou com R$ 600,00. Calcular a quantia primitiva.

Solução:

1. possuía 9/9;
2. ficou com 9/9 − 5/9 = 4/9;
3. 4/9 valem 600;
   4. 1/9 vale 600 ÷ 4 ou 150;
   5. 9/9 valem 150 × 9 ou 1350.

Resp.: R$ 1.350,

68) Uma torneira enche um tanque em 12 horas e outra em 15 horas. Que tempo levarão as duas juntas para encher o tanque todo ????

Solução:

1. a primeira enche 1/12 do tanque em 1 hora; a segunda enche 1/15 em 1 hora;
2. as duas juntas enchem 1/12 + 1/15 ou 3/20 do tanque em 1 hora;

3. 3/20 do tanque em 1 hora;
4. 1/20 em 1/3 da hora;
5. 20/20 em 20/3 da hora ou 6 horas e 2/3 da hora;
6. 2/3 da hora correspondem a 2/3 × 60 ou 40 minutos.

Resp.: 6 horas e 40 minutos

69) Uma torneira enche um tanque em 12 horas, outra em 15 horas e um orifício o esvazia em 20 horas. Abrindo-se ao mesmo tempo , o orifício e as torneiras, no fim de quanto tempo o tanque ficará cheio ????

Solução:

12

15

20

60

60

10

2. 1/10 do tanque enche-se em 1 hora e 10/10 em 1 × 10 ou 10 horas.

Resp.: 10 horas

70) A diferença entre os 5/6 e os 3/4 de um número é igual a 10. Qual é esse número ????

Solução:

6

4

12

12

2. 1/12 do número vale 10;
3. 12/12 valem 10 × 12 ou 120. Resp.: 120

71) Qual é o número que, adicionado aos seus 2/9, dá 55 ????

Solução:

1. o número tem 9/9;
2. 9/9 + 2/9 = 11/9;
3. 11/9 valem 55;
   4. 1/9 vale 55 ÷ 11 ou 5;
   5. 9/9 valem 5 × 9 ou 45.

Resp.: 45

72) A diferença de dois números é 60. O maior vale os 7/4 do menor. Quais são eles ????

Solução:

1. representa-se o menor número por 4/4;
2. 7/4 − 4/4 = 3/4;
3. 3/4 valem 60;
4. 1/4 vale 60 ÷ 3 ou 20;
   5. 4/4 valem 20 × 4 ou 80 → menor;
   6. 7 4

de 80 = 140 → maior

Resp.: 140 e 80

73) Uma pessoa tinha um certo número de pêras. Vendeu os 2/5 e, em seguida, os 4/9 do resto, ficando com 40. Calcular o número primitivo de pêras.