Questões de geometria e álgebra linear em R³, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Questão Alternativa

1 B

2 C

B

4 A

5 C

E

7 C

8 A

9 D

10 A

11 B

12 A

E

14 A

15 B

A

Q1.

Seja fixada uma orienta¸

c˜

ao de

V

3

e seja

E

uma base ortonormal positiva

de

V

3

. Considere os vetores

a

E

b

E

c

E

e

d

E

Seja

w

α~

a

β

b

γ~

c

, com

α, β, γ

R

. Se proj

~ d

w

d

e

w

c

d

E

, ent˜

ao pode-se afirmar que

α

β

γ

´e igual a

(a) 0.(b)

(c)

(d) 2.

(e) 4.

Q2.

Sejam os vetores unit´

arios

~u, ~

v

V

3

tais que a medida do ˆ

angulo entre

~u

e

~v

e

π/

3. Se

λ

R

, podemos afirmar que

λ~

u

~v

3 se, e somente

se,

(a)

λ

= 2 ou

λ

(b)

λ

= 1 ou

λ

(c)

λ

= 1 ou

λ

(d)

λ

= 2 ou

λ

(e)

λ

= 3 ou

λ

Q5.

Seja

~v

1

v

2

v

3

uma base de

V

3

. Seja

~v

4

V

3

tal que

v

2

v

1

~v

3

~v

4

Se

λ

R

, ent˜

ao

λ~

v

1

v

2

v

3

v

3

~v

4

v

3

~v

4

e uma base de

V

3

se, e somente

se,

(a)

λ

(b)

λ

(c)

λ

(d)

λ

(e)

λ

Q6.

Seja

E

uma base ortonormal de

V

3

. Considere um triˆ

angulo

ABC

tal

que

AB

E

e

AC

α, α, α

E

, com

α

R

, α

= 0. Pode-se afirmar

que a medida da altura desse triˆ

angulo relativa `

a base

AB

´e igual a

2

√

3

3

se,

e somente se,

(a)

α

2 ou

α

(b)

α

3 ou

α

(c)

α

= 1 ou

α

(d)

α

√

3

2

ou

α

√

3

2

(e)

α

√

2

2

ou

α

√

2

2

Q7.

Considere o cubo

ABCDEF GH

ilustrado na figura abaixo:

A

F B

E

D

C

G

H

Sejam

E

e

F

as bases de

V

3

dadas por

E

AB,

BH,

AC

F

AC,

AG,

AH

Se

~v

V

3

e

~v

F

, ent˜

ao a soma das coordenadas de

v

na base

E

´e

igual a

(a)

(b) 2.

(c)

(d) 1.

(e) 6.

Q10.

Seja

E

uma base ortonormal de

V

3

e considere os vetores

~u

E

e

v

E

Sejam

a, b, c

R

. Se o vetor

w

a, b, c

E

´e tal que

w

w

´e ortogonal

a

v

e o cosseno da medida do ˆ

angulo entre

~u

e

w

´e 1

3, ent˜

ao pode afirmar

que

(a)

a

3 ou

a

(b)

a

= 3 ou

a

(c)

a

3 ou

a

(d)

a

√

3

3

ou

a

√

3

3

(e)

a

3 ou

a

Q11.

Seja fixada uma orienta¸

c˜

ao em

V

3

Sejam

u, ~

v, ~

w

V

3

vetores n˜

ao-

nulos, dois a dois distintos entre si. Pode-se afirmar que

(a)

~u, ~

v, ~

w

e linearmente independente se, e somente se, quaisquer dois

vetores de

~u, ~

v, ~

w

s˜

ao ortogonais entre si.

(b)

~u

v

e

~u

v

s˜

ao ortogonais se, e somente se,

~u

v

(c)

~u

v

e

~u

v

s˜

ao paralelos se, e somente se,

~u

e

~v

s˜

ao ortogonais.

(d)

~u, ~

v, ~

w

´e linearmente independente se, e somente se,

w

~u

v

(e)

~u, ~

v, ~

w

e linearmente dependente se, e somente se,

~u, ~

v

e linearmente

dependente.

Q12.

Seja

E

uma base ortonormal de

V

3

e considere os vetores:

~a

E

b

E

~c

E

v

x, y, z

E

com

x, y, z

R

. Se

~v

v

´e ortogonal a

~c

e

~a,

b, ~

v

e linearmente

dependente, pode-se afirmar que

x

y

z

´e igual a

(a) 6.(b) 2.

(c) 3. (d) 4.

(e) 5.

Q13.

Seja fixada uma orienta¸

c˜

ao em

V

3

Sejam

u, ~

v, ~

w

V

3

vetores n˜

ao-

nulos. Considere as seguintes afirma¸

c˜

oes:

(I) proj

~ w

u

= proj

~ w

~v

se, e somente se,

~u

~v

(II)

~u, ~

v, ~

u

~u

~v

´e linearmente dependente.

(III)

~u

v, ~

u

v, ~

u

~v

e uma base de

V

3

se, e somente se,

~u, ~

v

´e

linearmente independente.

Pode-se afirmar que

(a) apenas as afirma¸

c˜

oes (I) e (II) s˜

ao verdadeiras.

(b) apenas a afirma¸

c˜

ao (III) ´

e verdadeira.

(c) apenas a afirma¸

c˜

ao (II) ´

e verdadeira.

(d) apenas as afirma¸

c˜

oes (I) e (III) s˜

ao verdadeiras.

(e) apenas as afirma¸

c˜

oes (II) e (III) s˜

ao verdadeiras.

Q14.

Sejam

~u, ~

v

V

3

vetores n˜

ao-nulos. Assinale a alternativa

FALSA

(a)

~u

v

~u

~v

se, e somente se,

~u, ~

v

´e linearmente dependente.

(b)

~u

v

u

v

(c)

~u

~v

~u

v

(d)

~u

~v

~u

v

se, e somente se,

~u, ~

v

´e linearmente dependente.

(e)

~u

v

~u

v