Prova de Álgebra Linear para Engenharia I (MAT2457), Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Questão Resposta

1 e

2 c

3 a

4 a

5 d

6 d

7 d

8 b

9 a

10 c

11 e

12 c

13 c

14 d

15 d

16 b

MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I

Prova 1 - 10/04/

Nome: NUSP:

Professor: Turma:

INSTRUÇÕES

(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.

(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.

(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.

(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.

(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.

(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha

óptica).

(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno

(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).

(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.

(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.

Questão 3. Sejam a, b 1 , b 2 , b 3 , b 4 números reais. Então o sistema linear

    

ax 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 = b 1

x 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 = b 2

x 1 + x 2 + ax 3 + ax 4 = b 3

x 1 + x 2 + x 3 + ax 4 = b 4

tem solução para qualquer escolha de b 1 , b 2 , b 3 e b 4 se, e somente se,

a. a

2 6 = a

b. a 6 = 2

c. a 6 = 0

d. a

2 6 = 2 a

e. a 6 = 1

Questão 4. A soma dos elementos da primeira linha da inversa da

matriz

é

a. 1/

b. 0

c. 1

d. − 1

e. −1/

Questão 5. Sejam A, B, C os três vértices de um triângulo. Se

~u =

1 2

CA +

1 3

CB e X é o ponto da reta que passa por A e B tal que

CX é

paralelo a ~u, então

a.

CX =

3 2

CA +

CB

b.

CX =

1 3

CA +

2 5

CB

c.

CX =

3 5

CA +

2 9

CB

d.

CX =

3 5

CA +

2 5

CB

e.

CX =

3 7

CA +

2 7

CB

Questão 6. Sejam ~u,~v, ~w vetores unitários de V

3

. Se a medida, em radi-

anos, do ângulo entre quaisquer dois desses vetores é igual a

π 3

, então a

projeção ortogonal de ~u + ~v − ~w sobre ~u é

a. 5 ~u

b. 4 ~u

c. 3 ~u

d. ~u

e. 2 ~u

Questão 7. Sejam ~u,~v ∈ V

3 e seja α ∈ R. Assinale a alternativa que

contém uma afirmação FALSA.

a. Se α ~v = ~ 0 , então α = 0 ou ~v = ~ 0.

b. Se ~u 6 = ~ 0 , ~v 6 = ~ 0 e ~u · ~v = 0 , então ~u e ~v são linearmente independen-

tes.

c. Se ~u + ~v é ortogonal a ~u − ~v, então ‖~u‖ = ‖~v‖.

d. ~u · ~v = 0 se, e somente se, ~u = ~ 0 ou ~v = ~ 0.

e. Se ~u e ~v são ortogonais e têm a mesma norma, então ‖~u + ~v‖ = √ 2 ‖~u‖.

Questão 10. A segunda linha da matrix X que satisfaz

      

X =

       é

a. [ 8 − 4 8 2 ]

b. [ 1 − 1 1 − 2 ]

c. [ 1 1 1 − 2 ]

d. [− 5 4 − 14 − 2 ]

e. [ 1 1 1 0 ]

Questão 11. Sejam m e n inteiros positivos e sejam A ∈ Mm,n( R ) e

B ∈ Mm,1( R ). Considere o sistema linear AX = B e o sistema linear

homogêneo associado AX = 0. Considere as afirmações abaixo.

(I) Se AX = B não tem solução, então AX = 0 só tem a solução

trivial.

(II) Se AX = 0 tem infinitas soluções, então AX = B tem infinitas

soluções.

(III) Se m < n, ambos os sistemas têm infinitas soluções.

Assinale a alternativa correta.

a. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

b. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

c. Todas as afirmações são verdadeiras.

d. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

e. Todas as afirmações são falsas.

Questão 12. O valor de k para que o sistema

  

x + 2 y − 4 z + 3 w = 0

x + 3 y − 2 z − 2 w = 0

x + 5 y + ( 5 − k)z − 12 w = 0

tenha exatamente duas variáveis livres é

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

e. 6

Questão 13. Seja E uma base de V

3 e seja α ∈ R. Considere as seguin-

tes afirmações a respeito dos vetores ~u = ( α , 1, 1)E, ~v = (1, 0, − α )E e

~w = (1, α , 1)E.

(I) Se α 6 = 1 , então {~u,~v, ~w} é uma base de V

3 .

(II) O conjunto {~u,~v} é linearmente independente para todo α ∈ R.

(III) O conjunto {~u, ~w} é linearmente independente para todo α ∈ R.

Está correto o que se afirma em

a. (II), apenas.

b. (I) e (III), apenas.

c. (I) e (II), apenas.

d. (I), (II) e (III).

e. (III), apenas.

Questão 16. Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H repre-

sentado na figura abaixo.

F

H G

E

A B

D C

Se X é o ponto da aresta BF tal que

BX = 2

XF e Y é o ponto da aresta

HG tal que

YG = 4

HY, então as coordenadas do vetor

XY com respeito

à base {

EA,

EH,

EF} de V

3 são

a.

b.

c.

d.

e.

Gabarito do Aluno

Nome: NUSP:

Tipo de prova:

a b c d e

Questão