Baixe Raízes Bessel de Ordem Zero e outras Exercícios em PDF para Fenômenos de Transporte, somente na Docsity!
Trabalho de Raízes de Bessel de Ordem Zero
- Mostre que
J
0
( αx) e
Y
0
( αx) são raízes da seguinte equação diferencial de segunda ordem com
coeficientes variáveis.
x
2
d
2
y
d x
2
dy
dx
+α
2
x
2
y= 0
Utilize uma mudança de variável para transformar a equação diferencial anterior na equação
diferencial de Bessel de ordem zero:
x
2 d
2
y
d x
2
dy
dx
2
y= 0
Para v igual a zero, a solução geral da equação diferencial de Bessel de ordem zero usando o
método de Frobenius é dada por:
y ( x )=c
1
J
0
( x ) +c
2
Y
0
( x )
A raiz
J
0
é conhecida como função de Bessel de primeiro tipo de ordem zero.
J
0
( x )=
n= 0
∞
n
x
2 n
2 n
( n !)
2
A raiz
Y
0
é conhecida como função de Bessel de segundo tipo de ordem zero.
Y
0
( x )=
π
[
γ + ln
x
J
0
( x ) +
n= 0
∞
n+ 1
S
n
x
2 n
2 n
n!
2
]
Onde
A função
S
n
é definida por:
S
n
n
i= 1
n
i
A constante
γ é denominada de constante de Euler,
γ= lim
n→ ∞
n
−ln n
RESPOSTA :
Seja
x
2
d
2
y
d x
2
dy
dx
+α
2
x
2
y= 0
A mudança de variável t=αx e dt=αdx. Fazendo a regra da cadeia
dy
dx
dy
dt
dt
dx
dy
dx
=α
dy
dt
d
2
y
d x
2
=α
d
2
y
dxdt
=α
dy
dt
dt
dx
Utilizando a mudança de variável:
d
2
y
d x
2
=α
2
d
2
y
d t
2
Substituindo as mudanças de variável na equação acima:
t
α
2
α
2
d
2
y
d t
2
t
α
α
dy
dt
+α
2
t
α
y= 0 → t
2
d
2
y
d t
2
+t
dy
dt
+t
2
y= 0
Substituindo de volta
x
2
y
' '
'
2
y= 0
A primeira solução é a série de Frobenius, dada por:
y
1
( x ) =
x−x
0
r
n= 0
∞
a
n
x−x
0
n
Fazendo a transformação de coordenadas e
x
0
y
1
( x ) =
n= 0
∞
a
n
x
n+r
, com a
0
≠ 0 e x > 0
A primeira derivada
y
'
( x )=
n= 0
∞
( n+r ) a
n
x
n+r − 1
A segunda derivada
y
' '
( x )=
n= 0
∞
( n+ r− 1 ) ( n+r ) a
n
x
n+ r− 2
Subsituindo as derivadas e
y ( x ) na equação diferencial:
x
2
n= 0
∞
( n+r− 1 ) ( n+r ) a
n
x
n+ r− 2
n= 0
∞
( n+ r ) a
n
x
n +r− 1
+x
2
n= 0
∞
a
n
x
n +r
n= 0
∞
( n+ r− 1 ) ( n+r ) a
n
x
n+r
n= 0
∞
( n+r ) a
n
x
n+r
n= 0
∞
a
n
Equivalendo as funções dos polinômios:
[
( r − 1 ) r + r ]
a
0
= 0 → r= 0
[
r ( r + 1 ) +( r + 1 ) ]
a
1
= 0 → a
1
[
( n+r − 1 ) ( n+r ) +( n+r ) ]
a
n
n− 2
Nessa última, faz-se:
a
n
−a
n− 2
( n+r )
2
com n= 2 , 3 , … Para n= 2 e n= 3 , repectivamente, tem-se:
a
2
−a
0
( 2 +r )
2
∧a
3
−a
1
( 3 +r )
2
Considerando
r = 0 e
a
1
na última equivalência de polinômios:
a
2 n
n
n= 1
( 2 n)
2
a
0
n
2 n
( n !)
2
a
0
em que
n=1,2,3 , … e
a
0
Voltando para
a
2 m
'
a
2 m
[
2 m− 2
2 m
]
a
2 m
'
[
m− 1
m
]
a
2 m
( 0 )=−H
m
a
2 m
Sendo
r = 0 e fazendo
y
1
=a
0
J
0
( x )
a 2 m
'
=H
m
m + 1
a
0
2 m
( m!)
2
Assim, faz-se:
y
2
( x ) =a
0
J
0
( x) ln|x|+
m= 1
∞
H
m
m+ 1
2 m
( m !)
2
x
2 m
Por fim, a solução particular da equação de Bessel
y
0
π
[
y
2
( x )+( γ −ln 2 ) J
0
( x ) ]
Nessa equação
y
0
é a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero. Ainda γ é a constante de Euler-
Máscheroni.
Dessa forma, substituindo o
y
2
( x) :
Y
0
π
[
(
γ−ln
x
)
J
0
( x ) +
n= 1
∞
H
n
n+ 1
2 n
( n !)
2
x
2 n
]
Logo, a solução geral
y=c
1
J
0
( x )+ c
2
Y
0
( x)
