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Se¸c˜ao 26: FUNC¸ OES DE BESSEL˜
A equa¸c˜ao de Bessel de ´ındice p ´e a EDO
x^2 y′′^ + xy′^ +
x^2 − p^2
y = 0 ,
onde p ´e um n´umero real.
O ponto x 0 = 0 ´e um ponto singular regular para a equa¸c˜ao de Bessel. Aplicando, ent˜ao, o
m´etodo de Frobenius, procuramos uma solu¸c˜ao da forma
y = x
r
∑^ ∞
n=
an x
n
∑^ ∞
n=
an x
n+r , com a 0 6 = 0.
Substituindo na equa¸c˜ao de Bessel, obtemos
∑^ ∞
n=
(n + r)(n + r − 1)an x
n+r
∑^ ∞
n=
(n + r)an x
n+r
∑^ ∞
n=
an x
n+r+ −
∑^ ∞
n=
p
2 an x
n+r = 0.
Juntando o 1o, o 2o^ e o 4o^ somat´orios, obtemos
∑^ ∞
n=
(n + r)
2 − p
an x
n+r
∑^ ∞
n=
an x
n+r+ = 0.
No segundo somat´orio acima, fazendo k = n+2 e fatorando o coeficiente do primeiro somat´orio,
obtemos ∑∞
n=
n + r + p
n + r − p
an x
n+r
∑^ ∞
k=
ak− 2 x
k+r = 0.
No segundo somat´orio, substituindo o ´ındice k por n, separando os dois primeiros termos do
primeiro somat´orio, obtemos
( r + p
r − p
a 0 xr^ +
r + p + 1
r − p + 1
a 1 xr+1+
∑^ ∞
k=
n + r + p
n + r − p
an + an− 2
x
n+r = 0.
Como a 0 6 = 0 , segue que
( r + p
r − p
r + p + 1
r − p + 1
a 1 = 0 (2) ( n + r + p
n + r − p
an + an− 2 = 0 (3)
A equa¸c˜ao (1) ´e a equa¸c˜ao indicial. Suas ra´ızes s˜ao r 1 = p e r 2 = −p.
1 a^ Solu¸c˜ao: Para r 1 = p ≥ 0 , a equa¸c˜ao (2) se torna
( 2 p + 1
a 1 = 0 ,
ou seja,
a 1 = 0. (4)
A f´ormula de recorrˆencia (3) se torna
( n + 2 p
n an + an− 2 = 0 , n = 2, 3 , 4 ,... (5)
De (5) segue que
an = −
an− 2
n(n + 2 p
) , n = 2, 3 , 4 ,... (6)
Usando (4) e (6) e deixando para escolher mais tarde o valor de a 0 , obtemos
a 2 n+1 = 0
a 2 = −
a 0
2(2 + 2 p
) (^) , a 4 =
a 0
2 ·4 (2 + 2 p
(4 + 2 p
) (^) , a 6 = −
a 0
2 · 4 · 6 (2 + 2 p
(4 + 2 p
(6 + 2 p
Temos
a 2 =
(−1)n^ a 0
1(1 + p
, a 4 =
a 0
1 ·2 (1 + p
(2 + p
, a 6 = −
a 0
1 · 2 · 3 (1 + p
(2 + p
(3 + p
Em geral,
a 2 n =
(−1)n^ a 0
n! (1 + p
(2 + p
· · · (n + p
· 22 n^
Costuma-se fazer a escolha
a 0 =
2 p^ Γ(1 + p)
Utilizando repetidas vezes a identidade
Γ(x + 1) = x Γ(x) ,
temos ( n + p
2 + p
1 + p
Γ(1 + p) =
n + p
2 + p
Γ(2 + p)
n + p
3 + p
Γ(3 + p) = · · · = Γ(n + p + 1).
Portanto com a escolha (8), (7) se torna
a 2 n = −
(−1)n
n! Γ(n + p + 1) 2^2 n+p^
Obtemos, finalmente, a solu¸c˜ao
y 1 =
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! Γ(n + p + 1)
x
2
) 2 n+p
Esta fun¸c˜ao ´e chamada de fun¸c˜ao de Bessel de 1a^ esp´ecie de ´ındice p e denotada por Jp(x):
Jp(x) =
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! Γ(n + p + 1)
x
2
) 2 n+p
.
Para p = m = 0, 1 , 2 , 3 ,...
Jm(x) =
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! (n + m)!
x
2
) 2 n+m
.
J− 1
2
(x) =
π x
cos x
Conclus˜ao: Para p =
, as fun¸c˜oes de Bessel J 1 2
(x) e J− 1 2
(x) se expressam em termos
de fun¸c˜oes elementeres, J 1 2
(x) =
π x
sen x e J− 1 2
(x) =
π x
cos x e s˜ao duas solu¸c˜oes
linearmente independentes da equa¸c˜ao de Bessel de ´ındice
x^2 y′′^ + xy′^ +
x^2 −
y = 0.
Mais geralmente, temos a seguinte
Propriedade: Se p n˜ao ´e um inteiro, ent˜ao Jp(x) e J−p(x) s˜ao duas solu¸c˜oes linearmente
independentes da equa¸c˜ao de Bessel de ´ındice p.
De fato, o comportamento destas fun¸c˜oes pr´oximo ao ponto x 0 = 0 ´e dado pelo primeiro
termo da s´erie
Jp(x) ≈
xp
2 p^ Γ(1+p)
e J−p(x) ≈
x−p
2 −p^ Γ(1−p)
, quando x −→ 0.
Logo uma n˜ao ´e m´ultipla da outra e, portanto, s˜ao linearmente independentes.
Exemplo: Vamos mostrar que J− 3 (x) = −J 3 (x). Temos
J− 3 (x) =
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! Γ(n − 3 + 1)
x
2
) 2 n− 3
=
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! Γ(n − 2)
x
2
) 2 n− 3
.
Levando em conta que 1
Γ(−2)
temos que os 3 primeiros termos da s´erie s˜ao nulos e o somat´orio pode ser come¸cado em n = 3 ,
J− 3 (x) =
∑^ ∞
n=
(−1)n
n! Γ(n − 2)
x
2
) 2 n− 3
,
ou, para n = k + 3 ,
J− 3 (x) =
∑^ ∞
k=
(−1)k+
(k + 3)! k!
x
2
) 2 k+
= −
∑^ ∞
k=
(−1)k
(k + 3)! k!
x
2
) 2 k+
= −J 3 (x).
Usando o mesmo argumento prova-se a
Propriedade: Para m = 0, 1 , 2 , 3 ,... ,
J−m(x) = (−1)
m Jm(x).
Em resumo, provamos que:
(i) Se p n˜ao ´e um inteiro, ent˜ao Jp(x) e J−p(x) s˜ao duas solu¸c˜oes linearmente independentes
da equa¸c˜ao de Bessel de ´ındice p;
(ii) Se p = m = 0, 1 , 2 , 3 ,... , ent˜ao Jp(x) e J−p(x) s˜ao linearmente dependentes, mais precisa-
mente, J−m(x) = (−1)m^ Jm(x).
Para p = m = 0, 1 , 2 , 3 ,... precisamos encontrar uma segunda solu¸c˜ao, linearmente indepen-
dente de Jm(x). Qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Bessel de ´ındice m, linearmente independente
de Jm(x), ´e dita uma fun¸c˜ao de Bessel de segunda esp´ecie de ´ındice p.
Para p = m = 0, a equa¸c˜ao de Bessel ´e
x^2 y′′^ + xy′^ + x^2 y = 0.
Uma solu¸c˜ao ´e y 1 = J 0 (x). Sabemos que podemos encontrar uma solu¸c˜ao, linearmente inde-
pendente da forma
y 2 = v(x) J 0 (x)
Substituindo na equa¸c˜ao de Bessel,
x
v′′J 0 + 2 v′J 0 ′) + v′J 0 = 0
v
′′ x J 0 + (2 x J
′ 0 +^ J^0 )v
′ = 0
que se reduz `a primeira ordem fazendo z = v′,
dz
dx
2 J 0 ′
J 0
x
z.
Separando as vari´aveis e integrando,
∫ dz
z
∫ (^
2 J 0 ′
J 0
x
dx
ou
ln z = −2 ln |J 0 | − ln x + ln C
z = C
x
J 0 (x)
v = C
x
J 0 (x)
) 2 dx^ +^ D
Escolhendo C = 1 e D = 0 ,
y 2 = J 0 (x)
x
J 0 (x)
) 2 dx.
Por outro lado, de
J 0 (x) = 1 −
x^2 +
x^4 + · · ·
segue que
J 0 (x)
x
2
x
4
x
2
x
4
x
2
x
4
x^2 +
x^4 + · · ·
