Trabalho de Ponto Singular Regular Bessel
1. Utilize o conceito de pontos singulares regulares estudado em MÉTODOS MATEMÁTICOS
APLICADOS NA ENGENHARIA QUÍMICA para mostrar que a equação diferencial de Bessel possui um
ponto singular regular em
x=0
.
RESPOSTA:
Seja a equação diferencial de Bessel
x2y' '+x y '+
(
x2−v2
)
y=0
em que
v
é uma constante não negativa. Pode-se colocar a equação diferencial da forma
P
(
x
)
y' '+Q
(
x
)
y'+R
(
x
)
y=0
em que
P
(
x
)
=x2
,
Q
(
x
)
=x
e
R
(
x
)
=
(
x2−v2
)
. Dessa forma, os pontos singulares são dados de forma que
P
(
x
)
=0
. Logo, tem-se que:
P
(
x
)
=x2=0∴x=0
Ainda, faz-se:
(
x−x0
)
Q
(
x
)
P
(
x
)
=x → x
x2=1
Da mesma forma:
(
x−x0
)
2R
(
x
)
P
(
x
)
=x2
[
x2−v2
x2
]
=x2−v2
Observando as funções, observa-se que estas são analíticas para todo valor de
x
. Dessa forma, os limites
quando
x
tendem a
x0
existem tais quais:
p0=lim
x → 0
1=1
q0=lim
x →0
(
x2−v2
)
=−v2
Logo,
x0=0
é um ponto singular regular.
