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Credenciado pela Portaria MEC Nº. 2.302, de 26 de agosto de 2003
Relações Trigonométricas
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos. Assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e a construção da primeira tabela de valores trigonométricos. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso, seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:
Música para fixar seno e cosseno de 30º, 45º e 60º
“Um, dois três, Três, dois, um, Tudo sobre dois! Depois vem a raiz, Sobre o três e o dois! A tangente é diferente, Vejam só vocês! Raiz de três sobre três, Um raiz de três!”
Número Pi ( )
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mudança de Unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad ............ 360 º
R rad ...............Gº
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda:
R
G
Exemplos Resolvidos:
- Determine a medida em radianos:
a) de um arco de medida 60°
π rad= 180º
π rad 180º
R 60º
R = (60. π rad)/180 = π/3 rad
b) de um arco de medida 225º
π rad 180º
R 225º
R = (225. π rad)/180 = 5π/4 rad
c) de um arco de medida 90º
π rad 180º
R 90º
R = (90. π rad)/180 = π/2 rad
- Calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo α de acordo com os valores dados para os lados do triângulo retângulo:
Observação: O seno e o cosseno são sempre números reais menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. A tagente é um número real positivo.
No triângulo retângulo da figura calcule:
Calcular o valor de x no triângulo retângulo da figura abaixo:
- Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2000 m
do ponto de partida?
(Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).
Solução: A figura representa um triângulo retângulo com catetos x e 2000 m com hipotenusa y. Utilizando as relações trigonométricas, temos:
y m hipotenusa y
catadjacent ii distância
x m x catadjacente
catoposto i altura tg
2062 0 , 97
2000 2000 0 , 97 . ) :cos 15 º
( 0 , 27 ).( 2000 ) 540 2000
0 , 27 .
. ) : 15 º
- Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que h 2 cm, 30 º e 45 º.
Solução: A base do triângulo é a soma dos segmentos AH e HB. Calculando cada medida pelas razões
trigonométricas, temos:
3
3 3 6
2 3 3 2
3
2 3 6
2
2 3
2 3
2
2 3
12
2
2 2 3
6
2
)
2 2
) 45 º 1
3
6 (^32)
3 ) 30 º
iv A b h cm
HB HB cm h
iitg HB
AH cm AH h
AH i tg
