Relatividade, Notas de estudo de Física

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Ciclâmio Leite Barreto

Gilvan Luiz Borba

Rui Tertuliano de Medeiros

D I S C I P L I N A Física e Meio Ambiente

Relatividade

Autores

aula

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Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Barreto, Ciclamio Leite. Física e meio ambiente / Ciclamio Leite Barreto, Gilvan Luiz Borba, Rui Tertuliano de Medeiros.

• Natal, RN : EDUFRN, 2006. 316p. : il 1. Física. 2. Meio ambiente. 3. Sociedade. I. Borba, Gilvan Luiz. II. Medeiros, Rui Tertuliano de. III. Título.

ISBN 978-85-7273-334-2 CDU 53 RN/UF/BCZM 2006/87 CDD 530

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 Aula 13 Física e Meio Ambiente

Objetivos

1



3

4

5

A invariância das leis físicas

As leis da Física são as mesmas em todo lugar e em todo instante, sendo, portanto, invariantes. Essa talvez seja a mais complexa síntese elaborada pela mente humana, correspondendo a séculos de elaboração. Podemos dizer que sua gestação se inicia na Física Aristotélica segundo a qual as leis da Física dependiam do lugar. Nela, existia a Física Sublunar, que estudava os corpos que ficam abaixo da Lua e a Física Supra-lunar, cujo estudo voltava-se para os corpos celestes, os quais eram regidos por leis diferentes daquelas que regem os corpos situados aqui na Terra. Com Galileu, Kepler e Newton, aprendemos que a Física seria a mesma em todo o Universo. Com isso, esse conceito aristotílico de Física deixou de existir. Os estudos de Newton reveleram que as leis da Mecânica são as mesmas para todos os referenciais inerciais. Por exemplo, ou seja, se fizermos uma experiência de mecânica em qualquer um dos pólos de nossos cursos, e se tal experiência for realizada nas mesmas condições, o resultado será o mesmo. Ou, ainda, se uma pessoa realizar um experimento

Compreender o princípio da relatividade de Galileu.

Aprender a operar com as transformações de Galileu.

Entender os postulados da TRE (teoria da relatividade especial).

Compreender a relatividade da simultaneidade, do espaço e do tempo.

Entender por que os efeitos relativísticos não estão ordinariamente manifestos no meio ambiente nem no cotidiano.

Aula 13 Física e Meio Ambiente^3

Atividade 1

qualquer, de mecânica, em, por exemplo, um trem que se move em linha reta com velocidade constante, obterá o mesmo resultado que seria obtido por uma pessoa ao realizar o mesmo experimento, nas mesmas condições.

Entretanto a Física é muito mais que a mecânica, é também eletromagnetismo, termodinâmica etc. Nesse sentido, alguns cientistas do final do século XIX acreditavam que as leis da Física, e não apenas da mecânica, fossem as mesmas para todos os referenciais. Todavia, isso não era o que acontecia, pois quando se usava as transformações de Galileu em alguns experimentos de eletromagnetismo, verificava-se que o resultado experimental não confirmava a previsão teórica, como se o resultado da experiência dependesse do referencial. A ser verdade teal situação deveria existir algum referencial privilegiado em relação ao qual o resultado seria verdadeiro e nos outros, falso.

Tal situação incomodava bastante um jovem, desconhecido (na época) e desempregado Físico Alemão chamado Albert Einstein.

Isso o levou a desenvolver um corpo teórico chamado A teoria da relatividade especial (TRE), também conhecida como teoria da relatividade restrita , publicada em 1905, trata da invariância das leis da Física (o que significa, por exemplo, que não há mudança na expressão analítica, na forma das equações) mediante uma transformação entre referenciais inerciais.

Tente definir o que é o espaço e o que é o tempo. Esse assunto será tratado no próximo tópico desta aula.

Certamente, você teve bastante dificuldade nessa atividade. Isso se justifica pelo fato de que ainda hoje muitos cientistas estão estudando em busca de uma resposta satisfatória para tais questões. Uma introdução a esses conceitos será feita a seguir.

Aula 13 Física e Meio Ambiente^5

O caráter absoluto do espaço consiste em concebê-lo como imóvel e sem nenhuma relação com qualquer coisa externa; a sua homogeneidade refere-se à perenidade da similaridade de todos os seus pontos; a isotropia tem significado igual em todas as direções; e o caráter euclidiano é compreendido pelo fato de que a menor distância entre dois pontos do espaço é a linha reta que os une.

A formalização desses conceitos se dá através das transformações de Galileu, ou seja um conjunto de equações que permite relacionar o movimento de objetos a partir quando observados de diferentes referenciais inerciais.

Princípio da relatividade de Galileu

Experimentos feitos por diferentes observadores em diferentes referenciais são relacionadas entre si. Eles mediram diferentes deslocamentos, velocidades e acelerações para uma partícula em movimento. Por outro lado, é difícil dizer quem está em repouso ou em movimento e em relação a que.

Vamos começar o estudo da relatividade de Galileu lendo o seguinte diálogo entre dois jovens que estão no interior de um ônibus parado em um terminal rodoviário.

A conversa flui bem quando, de repente, um deles, assustado, se senta bruscamente. Passado alguns instantes, ele comenta:

— Que susto! pensei que nosso ônibus estava saindo. Mas, na verdade, saiu o ônibus que estava aqui do lado.

— Não percebi nada, comenta o outro.

Essa sensação muito comum, já sentida por muitos de nós, representa a relatividade do movimento. Isto é, se você começa a olhar fixamente para a estrada durante um percurso de ônibus, e se ele está em linha reta e com velocidade constante, a sensação é a de que as árvores ou os postes à margem da estrada estão se movendo e você está parado.

Do ponto de vista da Física, essa situação pode ser resumida desta forma:

Não existe nenhum experimento capaz de nos fazer distinguir se estamos em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU).

Portanto, é possível passar da descrição do movimento em um referencial em repouso para a descrição em um referencial em movimento retilíneo e uniforme (na verdade, podem passar de um referencial para outro qualquer, estaremos tratando disso ao abordarmos as teorias da relatividade).

 Aula 13 Física e Meio Ambiente

y s´

0 x

y´ s´

y´ A

V (^0)

0´ x´ x´

y s y´ s´

y´ A

V (^0) V 0 t

0 0´ x´ x´x

As transformações de Galileu

Sejam dois referenciais inerciais, um em repouso (S) e um em movimento retilíneo uniforme (S') que se move com velocidade v 0 em relação a S. Vamos supor que S' se move na direção x, e que A é um ponto em repouso em relação a S', como mostrado na Figura 1.

Após algum tempo, os dois referenciais coincidem em suas origens, esse instante, que chamaremos de t 0 , será nossa origem dos tempos, isto é, t 0 = 0. Em um instante posterior t, teremos a seguinte (Figura 2) posição relativa do ponto A.

Numa situação mais geral, consideremos a partícula localizada em um ponto A, como mostrado na Figura 2. Descrito por dois observadores, o movimento dessa partícula terá as variáveis relevantes relacionadas a cada observador. Um dos observadores utiliza o referencial S em que está em repouso. O outro utiliza o referencial S', em que também está em repouso, mas esse referencial está em movimento em relação ao referencial S, com uma velocidade u na direção positiva do eixo x. O eixo x' do referencial S'coincide em direção com o eixo x do referencial S. Designamos a posição da partícula em relação ao referencial S pela coordenada x e sua posição relativa ao referencial S' pela coordenada x'. Se as origens O e O' dos dois

Figura 1 – Dois referenciais inerciais e um ponto A em repouso em S'

Figura 2 – Posição de A em relação ao referencial S e S'

 Aula 13 Física e Meio Ambiente

Atividade 2

Embora os observadores nos dois referenciais diferentes meçam diferentes coordenadas e velocidades da partícula, eles medirão a mesma aceleração. Assim, vejamos: quando v 0 é constante, isto é, a variação da velocidade v 0 é nula, a equação 2a pode ser escrita como

∆v x ∆t = ∆vx ∆t − ∆v^0 ∆t

Ou seja, a x = ax

Procedendo da mesma forma para as equações 2b e 2c, teremos a y =^ ay^ , a z =^ az Estamos supondo ainda que a massa m do objeto é a mesma quando medida em S e em S'. Assim,se multiplicamos essas equações por m, teremos:

ma x = max =⇒ F (^) x = Fx

ma y = may =⇒ F (^) y = Fy

ma z = maz =⇒ F (^) z = Fz

O conjunto de equações 4 mostra que a segunda lei de Newton tem a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Generalizando, esta é a essência do princípio da relatividade newtoniana : as leis da Mecânica são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Para saber mais sobre esse assunto, leia mais sobre equações de transformação galileanas em Young e Freedman (2003a).

Um automóvel viaja em linha reta, na direção ao sul com velocidade constante de 60 km/h. Ao mesmo tempo, um caminhão viaja na direção oposta com uma velocidade constante de 50 km/h.

a) Qual é a velocidade do automóvel em relação ao caminhão?

b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao automóvel?

(Dica: Considere o caráter vetorial da velocidade em suas respostas).

Aula 13 Física e Meio Ambiente 

Você certamente obteve respostas diferentes em ambos os casos propostos pela atividade 1, o que confirma o que estudamos até agora, não é?

Movimento relativo a altas velocidades

As equações de transformação galileanas são válidas somente se considerarmos velocidades da partícula (relativa a ambos os observadores), que são pequenas se comparadas à velocidade da luz no vácuo, cujo valor é c^ ≈^3 ×^108 m/s^. Isso significa que nessa abrangência de velocidades as previsões quantitativas dessas equações não são corroboradas pelas observações ou mensurações.

Quando a velocidade da partícula em relação a qualquer observador aproxima-se de c, essas equações de transformação devem ser substituídas por outras, aquelas que Einstein utilizou ao formular sua teoria da relatividade especial.

Devemos chamar a atenção desde já para o fato de que essas novas equações de transformação relativísticas, quando expressas no limite de velocidades ordinárias (v << c), se reduzem justamente às equações de transformação galileanas. Esse fato manifesta o famoso princípio da correspondência , expresso por Niels Bohr.

Princípio da correspondência de Bohr

O Princípio da Correspondência afirma que se uma teoria antiga descreve precisamente uma série de fenômenos físicos, qualquer nova teoria deve, necessariamente, explicar esses mesmos fenômenos de acordo com o que diz a teoria antiga. Obviamente, a nova teoria explicará outros fenômenos não contemplados pela antiga.

Uma pergunta oportuna é: como testar a validade das equações de transformação? Em experiências envolvendo partículas que se movem a altas velocidades, tais como elétrons e prótons em aceleradores de partículas, muitos produzidos na alta atmosfera terrestre, percebe- se que a Mecânica newtoniana falha na descrição da dinâmica dessas partículas velozes.

Por outro lado, constata-se que as equações de transformação relativísticas da teoria de Einstein são bem sucedidas, ou seja, explicam coerentemente os resultados dessas experiências.

Aula 13 Física e Meio Ambiente^11

Essas afirmações contradizem fortemente as transformações de Galileu quanto à adição de velocidades. Note mais uma vez que não existe um limite superior para a velocidade dos objetos dentro da relatividade de Galileu, no entanto, podemos afirmar que a TRE é uma generalização do princípio da relatividade newtoniana.

Uma conseqüência imediata dos postulados de Einstein pode ser resumida da seguinte forma: para preservar a constância da velocidade da luz, torna-se necessário redefinir os conceitos de espaço e tempo absolutos da abordagem newtoniana, ou seja, se a velocidade da luz é absoluta, então, o espaço e o tempo devem ser relativos.

Uma outra conseqüência é que a simultaneidade de eventos passa a depender do referencial, ou seja, o que é simultâneo para um observador não o é para outro. E, finalmente, a consequência mais conhecida (usamos um pouco ela em nossa disciplina Ciências da Natureza e Realidade) é a equivalência entre massa e energia, expressa pela famosa equação

E = mc^2

O princípio da simulteneidade

Vamos imaginar um trem partindo da estação. No meio de um vagão, há um observador, e um outro permanece na estação, a olhar para esse vagão.

Imaginemos ainda que as duas portas do vagão estão fechadas e podem ser abertas por um controle remoto que está nas maõs do observador que se encontra no vagão. Assim, em um dado instante, enquanto o trem se afasta em linha reta da estação, ele aciona o controle remoto e observa as duas portas se abrirem simulteneamente. O que verá o observador que se encontra na estação? Ora, ao se afastar, o referido vagão do trem terá uma porta mais próxima e outra mais distante da estação. Assim, a luz que vem da porta mais próxima chega antes da porta mais distante, logo, para o segundo observador, as portas não se abriram simultaneamente.

Dando asas a nossa imaginação, suponha que existe um planeta situado a 2006 anos-luz da Terra. Então, os cientistas desenvolveram uma máquina capaz de ver os habitantes da Terra. Que pessoas eles estariam vendo agora? Eles estariam vendo a Terra como era há 2006 anos, ou seja estariam vendo os romanos e tudo mais conforme o tempo dos primeiros cristãos.

Tudo isso ocorre pelo fato de que a luz se propaga com velocidade finita!

O princípio da relatividade – Todas as leis da Física devem ser as mesmas para todos os referenciais inerciais.

O princípio da constância da velocidade da luz – A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, da ordem de c = 3,0x10^8 m/s

1  Aula 13 Física e Meio Ambiente

s

luz t/

espelho h

s´

v x t´/2 h

espelho

d/

A relatividade do tempo

Imaginemos agora a situação em que uma pessoa dentro de um trem movendo-se com velocidade constante em linha reta. Tal pessoa realiza um experimento que é observado tanto por ela como por um outro observador que se encontra em repouso na estação. Vamos partir dos postulados de Einstein, não nos restringindo à suposição de que o tempo deva fluir do mesmo modo no trem e na estação, ou seja, t será o tempo medido na estação (S) e t' será o tempo medido em S. Como se relacionam esses tempos? Na teoria de Galileu/Newton, eles seriam iguais. Mas, estamos usando agora os postulados de Einstein. Para responder a essa questão, observe a Figura 3.

O observador que está no interior do trem irá descrever a altura em função do tempo e da velocidade da luz como:

h = ct

 2

A partir de S, podemos escrever (lembre do teorema de Pitágoras)

x^2 = h^2 + ( d 2 )

2 .

O parâmetro d corresponde à distância percorrida com velocidade v, pelo trem, durante o intervalo de tempo segundo o qual a luz foi e voltou do espelho. Podemos escrever d como:

d 2 =^

vt 2 =⇒^ d^ =^ vt.

O parâmetro x corresponde à distância percorrida pela luz até o espelho, como vista pelo observador fora do trem. Ou seja, (^) h = ct

Figura 3 – Trem e repouso (S) e trem em movimento (S’)

(^14) Aula 13 Física e Meio Ambiente

serem absolutos, isto é, os intervalos de tempo entre dois eventos dependerem do referencial em que são medidos, a distância medida entre dois pontos também depende do referencial.

A relatividade do comprimento

O comprimento próprio de um objeto é definido, similarmente ao seu tempo próprio, como o comprimento do objeto medido no referencial em que o objeto se acha em repouso. Isso não significa o mesmo que a distância entre dois pontos medida ao mesmo tempo. O comprimento de um objeto medido em um referencial em que o objeto se acha em movimento é sempre menor do que o comprimento próprio. Esse efeito é conhecido como contração de comprimento. A relação entre os dois comprimentos medidos é

L = L/γ = L

[(1 − v

2 c^2

)].

De acordo com esse resultado, se um observador em repouso, em relação a um objeto, mede seu comprimento como igual a L', um observador móvel com uma magnitude v de velocidade relativa ao objeto o achará como sendo mais curto do que é o seu comprimento pelo fator 1 /γ = (1 − v^2 /c^2 )^1 /^2. Vale ressalvar que a contração de comprimento ocorre somente ao longo da direção de movimento, permanecendo as dimensões perpendiculares a esta inalteradas.

As transformações de Lorentz

Um evento genérico, como a emissão de um flash de luz, é especificado por três coordenadas espaciais e uma coordenada de tempo. Imagine que um evento ocorrido em algum ponto P seja relatado por dois observadores, um em repouso no referencial S e outro no referencial S' movendo-se para a direita com uma velocidade de magnitude v, como mostrado na Figura 3. O observador em S relata o evento com coordenadas espaço-tempo (x, y, z, t), enquanto o observador em S' relata o mesmo evento com coordenadas espaço-tempo (x', y', z', t'). O que se pretende encontrar é uma relação entre essas coordenadas que seria válida para todos os valores de magnitude de velocidade. Já sabemos que as transformações galileanas de coordenadas não concordam com a experiência feita para valores de rapidez comparáveis à velocidade da luz. As equações corretas, que são válidas para magnitudes de velocidade na abrangência de v = 0 a v = c e que nos possibilitam transformar algum S em S', são dadas pelas equações de transformação de Lorentz (equações de transformação relativísticas):

x^ = γ(x − vt);

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Atividade 3

y' = y

z' = z

t^ = γ(t − xv/c^2 );

sendo o fator relativístico g, dependente da magnitude v da velocidade, defi nido como

γ ≡

1 − v

2 c^2

= [1 − (v/c)^2 ]−^1 /^2.

Em muitas situações que encontraremos na teoria da relatividade, teremos a necessidade de lidar matematicamente com o chamado fator relativístico γγ((vv) = 1) = 1//[1[1 −− ((v/cv/c))^22 ]]^11 //^22 ,, em que^ v^ representa a rapidez de um objeto em movimento e c, a rapidez da luz no vácuo, uma constante aproximadamene igual a 3,0x10^8 m/s. Freqüentemente, utiliza-se o fator g(v): para multiplicar um intervalo de tempo medido em um referencial, a fim de obter o correspondente intervalo de tempo em outro referencial; ou como divisor de um comprimento medido em um referencial, a fim de obter o correspondente comprimento em outro referencial.

Com isso, calcule o valor do fator relativístico g para diversos valores de v: a) 10 km/h; b) 60 km/h; c) 900 km/h; d) 10 000 km/h; e) 100 000 km/h; f) 200 000 km/h; g) 290 000 km/h; h) 299 000 km/h.

Respostas : a) 1.000 000 001; b) 1.000 000 02; c) 1.000 004 5; d) 1.000 556 019; e) 1.060 660 172; f) 1.341 640 787; g) 3.905 667 329; h) 12.257 667 7.

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Atividade 5

A teoria da relatividade geral

T

anto a relatividade de Galileu quanto a TRE referem-se a movimento uniforme entre os referenciais. Ao abrir possibilidades de incluir movimento relativo, entre referenciais, que sejam acelerados, Einstein deparou-se com um colossal problema teórico que consumiu cerca de dez anos de trabalho árduo, desaguando no que ficou conhecido como teoria da relatividade geral.

Uma simples “experiência imaginada” conduziu a mente fértil de Einstein a generalizar a sua teoria da relatividade especial. Ele raciocinou que, se uma pessoa em queda livre não tivesse de se preocupar com a queda em si, poderia realizar uma experiência interessante: retirar pedras de seus bolsos e não lançá-las, mas soltá-las simplesmente. Obviamente, as pedras assumiriam o mesmo movimento de queda livre, com a mesma aceleração. Cairiam juntas com essa pessoa, que diria então que as mesmas, em seu próprio referencial, estariam em repouso.

Outra experiência imaginada por Einstein: um sinal luminoso que penetra por um orifício na parede lateral de um elevador em ascensão uniforme, com velocidade de magnitude constante, atinge a parede oposta à mesma altura, mas se a ascensão for acelerada, a luz atingirá a parede oposta numa altura distinta. A aceleração atuante sobre o elevador tem como efeito desviar o facho de luz da sua trajetória retilínea.

O mesmo deve então ocorrer quando um raio de luz passar na região onde exista um campo gravitacional (que essencialmente precisa ser imenso, a fim de que sejam observados efeitos notáveis), ou seja, os efeitos gravitacionais seriam equivalentes aos efeitos de qualquer aceleração.

Você encontra-se em repouso na Terra quando uma espaçonave passa com velocidade de magnitude igual a 0,990c (cerca de 2,97x10 8 m/s) em relação à Terra. Um membro da tripulação dessa espaçonave constata que o comprimento dela é igual a 400 m. Qual é o correspondente comprimento medido por um observador na Terra?

1  Aula 13 Física e Meio Ambiente

Um outro exemplo: um cosmonauta no interior de uma espaçonave no espaço sideral estica seu braço na horizontal e solta um relógio:

a) sem nenhum campo gravitacional, o relógio flutuará entre seus dedos;

b) se a espaçonave é acelerada na “vertical’’ (em relação ao cosmonauta em pé) com uma magnitude igual à da gravidade da Terra, o piso se acelera indo de encontro ao relógio;

c) se a experiência é realizada com a espaçonave na plataforma de lançamento, na superfície do planeta, o relógio cai com a aceleração da gravidade.

Sem olhar para fora da espaçonave, nem ser avisado onde se encontra, o astronauta não pode distinguir entre as situações b e c. Assim, mais uma vez, aceleração, nesses contextos seria equivalente à gravitação. Idéias como essas conduziram Einstein a desenvolver uma teoria da relatividade em que as propriedades do espaço são modificadas sempre que há um campo gravitacional. Para ilustrar essa situação, imagine um grande lençol preso pelo seu perímetro, com uma pesada esfera no centro. Sua superfície deixa de ser plana e horizontal. Uma bola de gude lançada sobre ele acabará espiralando em direção ao fundo: essa é uma maneira diferente de cair. É justamente assim que um raio de luz cai atraído por um buraco negro, uma incomensurável concentração de massa que atrai gravitacionalmente tudo ao seu redor. A teoria da relatividade geral é uma teoria que considera as conseqüências formais do uso de referenciais acelerados, assim generalizando a teoria da relatividade especial. Quando Einstein a publicou em 1916 sugeriu alguns testes experimentais, dentre os mais importantes, destacamos:

(i) a rotação do eixo do planeta Mercúrio em sua órbita elíptica, conhecida como precessão no periélio (palavra que designa o ponto em que o planeta se acha mais próximo ao Sol). A teoria da relatividade geral dá uma explicação satisfatória a respeito da precessão no periélio de Mercúrio;

(ii) o desvio gravitacional da luz de estrelas encobertas pelo Sol durante um eclipse total, propiciando- lhes observação direta; a comprovação do primeiro teste experimental foi realizada em 1919, no município de Sobral, estado do Ceará, Brasil; (iii) o deslocamento para o vermelho de origem gravitacional no espectro das estrelas, o que corresponde a um aumento no comprimento de onda da luz emitida por uma fonte de massa muito elevada.

Isso só pôde ser comprovado com a tecnologia disponível nos anos de 1960. Mais recentemente, as comprovações ocorrem preferencialmente no âmbito de laboratórios terrestres. Atualmente, há ainda em órbita um satélite chamado Gravity Probe B (Sonda de gravidade B) que coleta dados para análise dos detalhes da deformação topológica do espaço que envolve a Terra, causada pela ação do campo gravitacional.