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OS FUNDAMENTOS DA TEORIA
DA RELATIVIDADE GERAL 1
Por Albert Einstein
A - Considerações básicas sobre o postulado da relatividade
§ 1 - Notas sobre a teoria da relatividade especial
A teoria da relatividade especial assenta n seguinte postulado, ao qual satisfaz também a me- cânica de Galileu - Newton: se um sistema de coordenadas K for de tal maneira escolhido que as leis da física sejam nele válidas na sua forma mis simples, então as mesmas leis serão igualmente válidas em relação a qualquer outro sistema de coordenadas K' que em relação a K esteja animado de um movimento de translação uniforme. Chamaremos a este postulado o "Princípio da Relativi- dade Especial". Com a palavra "especial " deve entender-se que o princípio se restringe ao caso em que K ' tem um movimento de translação uniforme em relação a K , não devendo portanto a equi- valência de K com K' estender-se ao caso em que haja movimento não uniforme de K' em relação K.
Sendo assim, não é o postulado da relatividade que afasta da mecânica clássica a teoria da re- latividade, mas tão somente o postulado da constância da velocidade da luz no vácuo, do qual, em combinação com o princípio da relatividade especial, deriva, do modo conhecido, a relatividade da simultaneidade, assim como a transformação de Lorentz e as leis, com esta relacionadas, do com- portamento em movimento dos corpos rígidos e dos relógios.
A modificação experimentada pela teoria do espaço e tempo através da teoria da relatividade especial é, na verdade, profunda; mas permanece intacto um ponto importante: a teoria da relativi- dade especial continua a aceitar que os princípios da geometria têm o significado imediato de leis sobre as possíveis posições relativas de corpos rígidos (em repouso) e, de um modo mais geral, que os princípios da cinemática são as leis que regem o comportamento das réguas de medição e dos relógios. A dois pontos materiais considerados sobre um corpo (rígido) corresponde sempre, segun- do essas leis, um segmento de comprimento inteiramente determinado, independente da localização e da orientação do corpo, assim como do tempo; e a duas posições dadas de um ponteiro de relógio que esteja em repouso em relação a um sistema de referência ( que seja admissível) corresponde sempre um intervalo de tempo de extensão determinada, independente de local e de época. Daqui a pouco se mostrará que a teoria da relatividade geral não pode aderir a uma interpretação física do espaço e tempo tão simples como esta.
§ 2 - Sobre as razões que sugerem a necessidade de uma extensão do postulado da rela- tividade.
A mecânica clássica, e, não menos que ela, a teoria da relatividade especial, incluem um de- feito epistemológico que foi posto em evidência, provavelmente pela primeira vez, por E. Mach. Vamo-lo apresentar no exemplo seguinte: suponhamos que dois corpos fluídos, da mesma espécie e
(^1) Extraído de Ann. d. Phys. 49 ( 1916).
igual tamanho, flutuam livremente no espaço, a uma distância de tal maneira grande um do outro ( e de todas as restantes massas) que as únicas forças de gravitação a considerar são as que entre si exercem as partes componentes de (^) um mesmo corpo.
Suporemos invariável a distância entre os corpos, e inexistente qualquer movimento relativo entre as partes de um mesmo corpo; mas admitiremos que cada uma das massas - vista por um ob- servador imóvel em relação à outra apresenta, em torno da reta que une as duas massas, um mo- vimento de rotação de velocidade angular constante (havendo assim um movimento relativo verifi- cável entre as duas massas). Imaginemos agora que, por meio de réguas ( em repouso relativo), se fazem medições sobre as superfícies dos dois corpos ( S 1 e S 2 ) , chegando-se à conclusão de que é esférica a superfície de (^) S 1 e elipsoidal de revolução a de (^) S 2.
Pergunta-se agora: por que razão se comportam de modo diverso S 1 e S 2? Uma resposta a esta pergunta só pode ser considerada satisfatória do ponto de vista epistemológico 2 se aquilo que se apresentar como causa dor um fato experimental observável : porque a lei da causalidade só pode tomar-se como uma lei do mundo da experiência se unicamente fatos observáveis aparecerem em última análise como causas e efeitos.
A mecânica newtoniana não dá a esta pergunta qualquer resposta satisfatória. Com efeito o que ela diz é o seguinte: as leis da mecânica têm validade num espaço R 1 em relação ao qual o cor- po S 1 está em repouso, mas não a têm num espaço R 2 em relação ao qual está em repouso S 2. O es- paço admissível de Galileu que aqui se introduz ( assim como o movimento relativo referido a ele) é uma causa puramente fictícia, nada que seja observável. Torna-se assim claro que a mecânica de Newton, no caso considerado, não satisfaz de fato, mas apenas de modo aparente, à exigência da causalidade, dado que atribui a uma causa meramente fictícia, R 1 , a diferença de comportamento que se observa nos corpos S 1 e S 2.
Uma resposta aceitável para a questão acima formulada só pode ser a seguinte: como o siste- ma físico formado por S 1 e S 2 não apresenta dentro de si nada que seja possível imaginar como cau- sa da diferença de comportamento de (^) S 1 e (^) S 2 , essa causa tem de se encontrar (^) fora do sistema. Che- ga-se assim à idéia de que as leis gerais do movimento de que resultam, como aplicação particular, as formas de S 1 e S 2 devem ser tais que o comportamento mecânico destes corpos fique condiciona- do de um modo decisivo por massas distantes, não incluídas no sistema considerado. Em tais mas- sas distantes ( e nos seus movimentos relativos a respeito dos corpos considerados) é que se devem considerar residindo as causas, em princípio observáveis, da diferença de comportamento dos cor- pos de que nos estamos a ocupar: são elas que assumem o papel da causa fictícia (^) R 1. De todos os espaços imagináveis R 1 , R 2 , etc. , que se movam em relação uns aos outros de qualquer modo, ne- nhum deles deve "a priori "ser preferido, se não quisermos fazer ressurgir a objeção epistemológica apresentada. As leis da física devem ter uma estrutura tal que a sua validade permaneça em siste- mas de referência animados de qualquer movimento. Chegamos deste modo a um alargamento do postulado da relatividade.
Mas, além deste 'ponderoso argumento epistemológico, há também um fato físico bem conhe- cido que advoga uma extensão da teoria da relatividade. Seja K um referencial de Galileu, isto é, um sistema de referência tal que, em relação a ele ( e pelo menos no domínio quadridimensional consi-
(^2) É claro que uma tal resposta pode ser aceitável do ponto de vista epistemológico e no entanto continuar inaceitável do
ponto de vista físico, por estar em contradição com outras experiências.
Esta concepção de espaço e de tempo sempre andou na mente dos físicos, ainda que inconsci- entemente para a maior parte deles, e a prova está o papel que estes conceitos desempenham na físi- ca métrica. E também o leitor deve ter alicerçado nessa concepção a segunda das reflexões do pa- rágrafo anterior para poder ligar um sentido a esses raciocínios. Mas vamos mostrar agora que ela tem de ser abandonada e substituída por outra mais geral, se quisermos conciliar o postulado da re- latividade geral com a validade da teoria da relatividade especial no caso limite da ausência de cam- po da gravidade.
Num espaço livre de campos de gravidade introduzamos um sistema de referência de Galileu K ( x, y, z t) e, além disso, um sistema de coordenadas K' ( x', y', z', t') em movimento de rotação uniforme. Supõem-se em coincidência permanente as origens dos dois sistemas, assim como os seus eixos Z. vamos mostrar que as normas acima estabelecidas para definir o significado físico de com- primentos e tempos não podem ser mantidas para uma medição espaço-temporal no sistema K'. Por razões de simetria, é claro que uma circunferência traçada no plano X-Y de K com centro na ori- gem pode, ao mesmo tempo, ser considerada como circunferência no plano (^) X' - Y' de (^) K'. Suponha- mos agora que se mede o perímetro e o diâmetro desta circunferência com uma régua-unidade ( in- finitamente pequena em relação ao raio) e que se calcula o quociente dos resultados das medições. Se a experiência tiver sido efetuada com uma régua imóvel em relação ao sistema de Galileu K , obter-se-á como quociente o número π. Mas o resultado será um número maior que π se for obtido com uma régua que esteja imóvel em relação ao sistema K'. Reconhece-se isto facilmente quando se aprecia todo o processo de medição partindo do sistema "em repouso" K , e se tem em conta que a régua disposta ao longo da circunferência sofre a contração de Lorentz, ao passo que uma régua disposta ao longo do raio não a sofre. Sendo assim, a geometria euclidiana não é válida no sistema K' ; e o conceito de coordenada acima definido, visto que pressupõe a validade daquela geometria, também não é aplicável ao sistema K'.
Também não será possível introduzir em K' um tempo que corresponda às exigências da físi- ca, definindo-o com relógios de idêntica constituição, imóveis em relação a K'. Para o reconhecer- mos, bastará que imaginemos dois relógios idênticos, um na origem das coordenadas, outro sobre a circunferência, sendo observados a partir do sistema "em repouso" K. De acordo com um conheci- do resultado da teoria da relatividade especial, o relógio colocado sobre a circunferência apresenta - quando observado de K - um ritmo de funcionamento mais lento que o relógio colocado na origem, visto que aquele está animado de movimento e este não. Um observador situado na origem comum das coordenadas que fosse capaz de observar, por meio da luz, o relógio situado sobre a circunfe- rência, verificaria portanto que este relógio se atrasa em relação ao relógio que tem junto de si. E, recusando-se a admitir que a velocidade da luz, no percurso em questão, dependa explicitamente do tempo, ele interpretará a sua observação dando-lhe o significado de que o relógio colocado sobre a circunferência tem "realmente" um ritmo mais lento que o relógio colocado na origem. Deste modo não lhe será possível evitar uma definição de tempo que inclua o fato de o ritmo de um relógio de- pender do lugar em que se encontra.
Chegamos assim a esta conclusão: na teoria da relatividade geral não é possível dar às grande- zas espaço e tempo definições que permitam a medição direta de diferenças de coordenadas espaci- ais por meio de uma régua-unidade e a de intervalos de tempo por meio de um relógio-padrão.
Assim, o processo até agora utilizado para estabelecer coordenadas, de uma maneira determi- nada, no contínuo espaço-temporal, torna-se impraticável, e não parece haver nenhum outro cami- nho que permita encontrar sistemas de coordenadas de tal forma adequados ao universo quadridi- mensional que da sua aplicação se pudesse esperar para as leis da natureza uma formulação parti-
cularmente simples. nada mais resta, por conseguinte, que considerar como equivalentes em princí- pio para a descrição da natureza todos os sistemas de coordenadas que se possam imaginar.^5 Isto equivale a exigir a seguinte condição:
As leis gerais da natureza devem ser representadas por equações que tenham validade em todos os sistemas de coordenadas, isto é, que sejam covariantes em relação a toda e qualquer substituição (covariância geral).
É claro que uma física que satisfaça a este postulado também satisfaz o postulado da relativi- dade geral, porque em todas as substituições estão sempre necessariamente incluídas aqueles que correspondem a todos os movimentos relativos dos sistemas de coordenadas (tridimensionais). Que esta exigência de convari6ancia geral, que tira ao espaço e ao tempo os últimos resíduos de objetivi- dade física, seja uma exigência natural resulta da reflexão seguinte. Todas as nossas constatações espaço-temporais reduzem-se sempre à determinação de coincidências espaço-temporais. Se, por exemplo, o processo consistir apenas no movimento de pontos materiais, a única coisa que em últi- ma análise é observável é o encontro de dois ou mais desses pontos. Mesmo os resultados das nos- sas medições outra coisa não são que a constatação de tais encontros entre pontos materiais das nos- sas réguas e outros pontos materiais, ou então coincidências entre ponteiros de relógios, pontos de mostrador e os pontos-acontecimentos que se estão considerando e ocorrem no mesmo lugar e no mesmo instante.
A introdução de um sistema de referência não têm outro fim que não seja uma descrição mais fácil do conjunto de tais coincidências. Suponhamos que se associam ao universo quatro variáveis espaço-temporais x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , de tal modo que a cada ponto-acontecimento corresponda um sis- tema de valores das variáveis x 1 , ... x 4. A dois pontos-acontecimentos em coincidência corresponde o mesmo sistema de valores das variáveis x 1 , ... x 4 ; isto é, a coincidência caracteriza-se pela iden- tidade dos valores das coordenadas. Se em vez das variáveis x 1 , ... x 4 se introduzirem como coorde- nadas de um novo sistema funções arbitrárias delas, (^) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 de tal modo que os sistemas de valores se correspondam univocamente, então também no novo sistema a coincidência espaço- temporal de dois pontos-acontecimento se exprimirá pela identidade de valores de cada uma das quatro coordenadas. Como toda a nossa experi6encia física pode, em última análise, ser reduzida a tais coincidências, não há nenhuma razão para dar preferência a determinado sistema de coordena- das em relação a outros, isto é, chegamos ao postulado da covariância geral.
§ 4 Relação das quatro coordenadas com os resultados das medições espaciais e tempo- rais. Expressão analítica para o campo da gravidade.
Não é minha intenção neste artigo apresentar a teoria da relatividade geral como um sistema lógico, simplificado na medida do possível, com um mínimo de axiomas. O meu fim principal é antes desenvolver esta teoria de modo a fazer sentir ao leitor como é psicologicamente natural o caminho que se tomou e como se revelam seguras através da experiência as bases de que se partiu. Com este objetivo em vista, estabeleceremos agora a seguinte premissa:
Desde que se faça uma escolha apropriada de coordenadas, torna-se possível a teoria da relati- vidade no sentido restrito a domínios quadridimensionais infinitamente pequenos.
(^5) Não mencionaremos aqui certas restrições impostas pela exigência da coordenação unívoca e pela da continuidade.
Veremos mais tarde que a escolha de tais coordenadas para domínio finitos não é geralmente possível. Das considerações feitas nos §§ 2 e 3 resulta que, do ponto de vista físico, as grandezas g στ devem ser consideradas como sendo aquelas que, relativamente ao sistema de referência que foi es- colhido, fazem a descrição do campo de gravidade. Com efeito, admitamos que, para um determi- nado domínio quadridimensional considerado, se conseguiu alcançar a validade da teoria da relati- vidade especial mediante uma adequada escolha das coordenadas. Os g στ têm então os valores da- dos em (4). Um ponto material livre terá então, em relação a este sistema, um movimento rectilíneo e uniforme. Se agora introduzirmos, por uma substituição arbitrária, novas coordenadas espaço- temporais x 1 , ..., x 4 , os g στno novo sistema não serão já constantes, ma sim funções do espaço- tempo. Ao mesmo tempo, o movimento do ponto material livre apresenta-se nas novas coordenadas como um movimento curvilíneo, não uniforme, cuja lei é independente da natureza do ponto mate- rial móvel. Isso leva-nos a interpretá-lo como um movimento sujeito à influência de um campo de gravidade. A intervenção de um campo de gravidade aparece-nos, deste modo, associada a uma va- riabilidade espaço-temporal dos g στ. No caso geral não é possível fazer uma escolha de coordena- das que permita alcançar a validade da teoria da relatividade especial num domínio finito, mas mesmo nesse caso manter-nos-emos fiéis à idéia de que g στ descrevem o campo gravitacional.
A gravidade desempenha pois, na teoria da relatividade geral, um papel excepcional em rela- ção às outras forças, e particularmente em relação às forças electromagnéticas, visto que as 10 fun- ções g (^) στ que fazem a descrição do campo gravitacional determinam, ao mesmo tempo, as proprie- dades métricas do espaço métrico quadridimensional.
B - Instrumentos matemáticos para a construção de equações de covariância geral
Depois de termos reconhecido, nas páginas precedentes, que o postulado da relatividade geral leva à exigência de que os sistemas de equações da física sejam covariantes em relação a substitui- ções arbitrárias de coordenadas x 1 , ..., x 4 , temos que pensar na maneira de obter essas equações de covariância geral. É deste problema, puramente matemático, que nos vamos ocupar agora. Como vamos ver, na sua resolução desempenha um papel fundamental o invariante ds , ao qual demos o nome de "elemento de linha " , tirado da teoria das superfícies de Gauss.
A idéia fundamental desta teoria geral dos covariantes é a seguinte: Suponhamos que se defi- nem em relação a todo o sistema de coordenadas certos entes ( "tensores" ), sendo a definição feita por meio de um certo número de funções espaciais, que se chamarão as " componentes" do tensor. Há então determinadas regras pelas quais se podem calcular estas componentes para um novo sis- tema de coordenadas, desde que sejam conhecidas para o sistema original, e desde que seja também conhecida a transformação que liga os dois sistemas. Os entes a que daqui em diante chamaremos tensores são, além disso, caracterizados pelo fato de as equações de transformação para as suas componentes serem lineares e homogêneas. Sendo assim, todas as componentes no novo sistema se anulam, se isso também suceder a todas elas no sistema primitivo. Consequentemente uma lei da natureza que seja formulada pelo anulamento de todas as componentes de um tensor é de covariân-
cia geral: procurando as leis de formação dos tensores obteremos os meios de formulação de leis de covariância geral.
§ 5 - Quadrivetores contravariantes e covariantes.
Quadrivetor contravariante. O elemento da linha define-se pelas quatro componentes dxy , cuja lei de transformação se exprime pela equação.
(5) d x
x σ v x (^) y
∂ σ ∂
'
'
Os dx' σ exprimem-se nos dx (^) v , por equações lineares e homogêneas; isto permite-nos consi- derar estas diferenciais das coordenadas dx (^) v como componentes de um " tensor" a que daremos a designação especial de quadrivetor contravariante. Todo o ente que em relação ao sistema de coor- denadas se defina por meio de quatro grandezas A y^ transformáveis segundo a mesma lei.
(5 a) A
x x
A
v v
σ ∂^ σ v ∂
'
'
será igualmente denominado quadrivetor contravariante. De (5 a ) resulta imediatamente que as so- mas ( A^ σ^ + B^ σ^ ) são componentes de um quadrivetor de A^ σ^ e B^ σ^ também o forem. O mesmo se aplica a todos os sistemas que mais tarde forem introduzidos como " tensores" (regra da adição e subtração dos tensores).
Quadrivetor covariante: Diremos que quatro grandezas Ay são as coponentes de um quadrive- tor covariante se para toda e qualquer escolha de um vector contravariante By^.
(6) A Bv v In iante v
∑ = var^.
Desta definição resulta a lei da transformação do quadrivetor covariante. Com efeito, substituindo no segundo membro da equação.
A B A (^) vBv v
σ σ σ
B y^ pela seguinte expressão, que se obtém invertendo a equação ( 5 a )
∂ σ ∂^ σ
x σ x
∑ ' v B '
resulta B
x x
A B A
v v
σ σ σ
σ σ
σ
∂ ∂
' '
' '
mas daqui resulta a seguinte lei de transformação, se atender os a que os B^ σ '^ se podem escolher ar- bitrariamente, em completa independência uns dos outros.
para as quais é válida a lei de transformação
(11) A
x x
x x σ τ A^ v
μ μ
∂ μ ∂ σ
∂ ∂ τ
É por meio desta lei de transformação que se define o tensor covariante de segunda ordem. Todas as observações que até aqui se fizeram a respeito dos tensores contravariantes são igualmente válidos para os tensores covariantes.
NOTA: É conveniente tratar o escalar (invariante) como tensor de ordem zero, que tanto é contravariante como covariante.
Tensor misto: Pode também definir-se um tensor de segunda ordem do tipo.
(12) A μ v = A μ Bv^ ,
que é covariante quanto ao índice μ e contravariante quanto ao índice (^) v. A sua lei de transformação é
(13) (^) A
x x
x x στ A
τ β
α σ
α
∂ β ∂
∂ ∂
' '
É claro que há tensores mistos com um número qualquer de índices de caráter covariante e com um número qualquer de índice de caráter contravariante. O tensor covariante e o tensor contra- variante podem ser considerados casos especiais do tensor misto.
Tensores simétricos: Um tensor contravariante ou covariante de segunda ordem ou de ordem mais elevada diz-se simétrico quando são iguais duas componentes provenientes uma da outra pela permuta de dois índices quaisquer. O tensor A^ μ^ v^ ou o A μ v , é pois simétrico se for para qualquer combinação dos índices, respectivamente
(14) A^ μ^ v^ = A^ μ^ v^ , ou (14 a ) A μ v = A μ v
É necessário demonstrar que a simetria assim definida é uma propriedade independente do sistema de referência. Com efeito, de (9) resulta, atendendo a (14),
A
x x
x x
A
x x
x x
A
x x
x x
A A
v v v
στ σ μ
μν σ μ
ν μ μ
∂ μ ν τ σ ∂
∂ τ ∂
∂ ∂
∂ τ ∂
∂ τ ∂
∂ σ ∂
' = '^ '^ = '^ '^ = '^ ' = '
A penúltima igualdade provém da permuta dos índices de soma μ e v ( isto é, de uma simples mudança de notação).
Tensores anti-simétricos: Um tensor contravariante ou covariante de segunda, terceira ou quarta ordens diz-se anti-simétrico quando duas componentes provenientes uma da outra por per- mutação de dois índices quaisquer são iguais e de sinais contrários. O tensor A^ μ^ v^ , ou o A μ v , é pois anti-simétrico sempre que se tenha, respectivamente
(15) A^ μ^ v^ = Av^ μ^ , ou
(15 a) A μ v = Av μ.
Das 16 componentes A^ μ^ v^ reduzem-se a zero as quatro A^ μ^ μ^ ; as restantes são, aos pares, iguais e de sinais contrários, de modo que só há 6 componentes numericamente diferentes (vetor de seis componentes ou sextivector). Do mesmo modo se vê que o tensor anti-simétrico (^) A^ μ^ v^ σ^ ( de terceira ordem) só tem quatro componentes numericamente diferentes, o tensor (^) A^ μ^ v^ σ^ t^ só tem uma, e não há, no contínuo de quatro dimensões, tensores anti-simétricos de ordem superior à quarta.
§ 7 - Multiplicação de tensores
Multiplicação externa de tensores: Com as componentes de um tensor de ordem z e as de um outro de ordem z' podem obter-se as componentes de um tensor de ordem z + z' , multiplicando duas a duas todas as componentes do primeiro por todas as componentes do segundo. É assim, que, no exemplo seguinte, se obtêm os tensores T à custa de tensores A e B , de diversas espécies.
T A B
T A B
T A B
μ ν σ μ ν σ α β γ δ α β δ
α β
γ ψδ α β
δ
γ γ
A prova do caráter tensorial dos T resulta diretamente das expressões (8), (10), (12) ou das regras de transformação (9), (11), (13). As equações (8), (10), (12) são em si mesmas exemplos de multiplicação externa (de tensores de primeira ordem).
Contradição de um tensor misto: A partir de qualquer tensor misto pode-se formar um tensor de ordem inferior em 2 unidades à do primeiro, igualando um índice de caráter covariante a um de caráter contravariante e somando em relação a tal índice ( " contração" ). Assim, por exemplo, do
tensor misto de quarta ordem A α β γ δ obtém-se o tensor de segunda ordem.
A δ β^ A (^) α β A α β α β
α β α
e deste, novamente por contração, o tensor de ordem zero A (^) βδ^ = A ββ^ = A α βα β
A prova de que o resultado da contração possui realmente caráter tensorial obtém-se com a representação tensorial feita de acordo com a generalização (12) em combinação com (6), ou então por generalização de (13).
Multiplicação interna e mista de tensores: estas operações consistem na combinação da mul- tiplicação externa com a contração.
Exemplos. Com o tensor covariante de segunda ordem A μ v , e o tensor contravariante de pri- meira ordem B^ σ^ formamos, por multiplicação externa, o tensor misto
D (^) μ νσ^ = A (^) μ ν B σ.
Podemos estender a validade desta última proposição ao caso mais restrito de a invariância se verificar no produto escalar
A μ v B^ μ^ B v
para uma escolha arbitrária do quadrivetor B^ μ^ , desde que saibamos que A μ v obedece á condição de simetria A μ v = A (^) v μ. Com efeito, prova-se então, seguindo o caminho que acabamos de indicar, que ( A μ v + A (^) v μ ) tem caráter tensorial, donde se segue, por virtude da propriedade da simetria, o cará- ter tensorial de A μ v. Também este teorema se pode generalizar facilmente ao caso de tensores cova- riantes e contravariantes de qualquer ordem.
Finalmente, resulta do que foi demonstrado o seguinte teorema, que pode igualmente ser ge- neralizado a quaisquer tensores: Se as grandezas A μ v B v^ formam um tensor de primeira ordem para uma escolha arbitrária do quadrivetor B v^ , então A μ v é um tensor de segunda ordem. Com efeito, se C^ μ^ for um quadrivetor arbitrário, então, por causa do caráter tensorial de A μ v B v^ , o produto interno A μ v C^ μ^ B v^ será um escalar, qualquer que seja a escolha dos quadrivetores C^ μ^ e B v^ : donde re- sulta a afirmação feita.
§ 8. Algumas notas sobre o tensor fundamental dos g μ v
O tensor fundamental covariante. Na expressão invariante do quadrado do elemento da linha ds 2 = g μ v dx μ dxy , dx μ desempenha o papel de um vector contravariante de escolha arbitrária. E como, além disso, g μ v = gv μ , segue-se, em conformidade com as considerações do último parágrafo, que g μ v é um tensor covariante de segunda ordem. Chamar-lhe-emos " tensor fundamental". Dedu- ziremos de seguida algumas propriedades deste tensor, que na verdade pertencem a todo o tensor de segunda ordem; mas o papel especial desempenhado pelo tensor fundamental na nossa teoria, que tem os seus fundamentos físicos na peculiaridade das ações gravíticas, faz com que as relações a desenvolver só tenham importância para nós em relação ao tensor fundamental.
O tensor fundamental contravariante. Tomemos no determinante formado com os elementos g μ (^) v o menor correspondente a cada um dos g μ (^) v e dividamo-lo pelo determinante g = g μ (^) v dos g μ (^) v : obteremos assim certas grandezas g^ μ^ v^ (= g^ μ^ v^ ) que, como vamos demonstrar, forma um tensor contravariante.
Segundo uma conhecida propriedade dos determinantes, teremos
(16) (^) g^ μ^ v^ g^ μ^ v^ = δ (^) μ v^ ,
onde o símbolo δ (^) μ v^ significa 1 ou 0, consoante for μ = v ou μ ≠ v. Em vez da expressão ante- rior de ds 2 podemos então também escrever
g μ v δ (^) μ v^ dx μ dxv
ou ainda, , atendendo a ( 16 ),
g μ v gv τ g^ σ^ τ^ dx μ dxv
Mas, segundo as regras de multiplicação dos parágrafos precedentes, as grandezas
d ξτ = g σ τ dx μ
formam um quadrivetor covariante, que é de escolha arbitrária (dado que o são os (^) dx μ ). Introduzin- do-o na nossa expressão, obtemos
ds 2 = g^ σ^ τ^ d ξ (^) σ d ξτ
Como isto é um escalar para uma escolha arbitrária do vector d ξ (^) σ g^ σ^ τ^ é por definição simétrico nos índices σ e τ, segue-se , de acordo com os resultados do parágrafo precedente, que g^ σ^ τ^ é um tensor contravariante. De (16) resulta ainda que δ (^) μ v^ é também um tensor: chamar-lhe-emos tensor fundamental misto.
Determinante do tensor fundamental. Pela regra de multiplicação dos determinantes, teremos
g μ α g^ α^ v =^ g μ α g^ α^ v
Por outro lado,
g μ α g^ α^ v = δ μ v^ = 1
Donde
(17) g μ v g^ μ^ v = 1
O invariante do volume^7. Comecemos por determinar a lei de transformação do determinante g = g μ v . Em vista de (11) temos
g
x x
x x
' g ' '
∂ ∂
∂ ν ∂
μ σ τ
μ ν
(^7) No raciocínio que se segue omitem-se por simplicidade, o sinais de integral, que em rigor seriam necessários.
limitação imposta à escolha das coordenadas permite chegar a uma simplificação apreciável das leis da natureza. Em vez de (18) , temos então simplesmente d τ '^ = d τ donde, atendendo ao teorema de Jacobi,
∂ σ ∂ (^) μ
x x
= 1
Com esta escolha de coordenadas só são pois admissíveis as substituições de coordenadas que te- nham determinante igual a 1.
Seria porém errôneo crer que este passo represente uma renúncia parcial ao postulado da rela- tividade geral. Não perguntaremos: "quais são as leis da Natureza que são covariantes em relação a todas as transformações cujo determinante é 1? " Perguntamos sim: " quais são as leis da natureza de covariância geral ?" Só depois de as termos estabelecido é que faremos uma escolha particular do sistema de referência par simplificar a sua expressão.
Construção de novos tensores por meio do tensor fundamental. Por meio da multiplicação interna, da multiplicação externa e da multiplicação mista de um tensor pelo tensor fundamental formam-se tensores de outro caráter e de outra ordem.
Exemplos:
A g A A g A
μ μ σ σ μ ν
μ ν
Notem-se especialmente as construções seguintes:
A g g A
A g g A
μ ν μ ν ν β αβ α β μ ν μ ν ν β
(" complementos", respectivamente, do tensor covariante e do contravariante), e
B (^) μ ν = g (^) μ ν g α β^ A α β
Chamaremos B μτ o tensor reduzido correspondente a A μτ. Analogamente
B^ μ ν = g μ ν^ g (^) α β A α β
Note-se que g^ μ^ v^ não é mais que o complemento de g μ v. Com efeito
g^ μ ν^ g ν β g αβ = g μ α^ δαν^ = g μ ν.
§ 9 - Equação da linha geodésica ( isto é, do movimento do ponto)
Como o " elemento da linha" ds é uma grandeza definida independentemente do sistema de coordenadas, também a linha traçada entre os dois pontos P 1 e P 2 do contínuo quadridimensional
para a qual ∫ d s é um extremo ( linha geodésica) tem um significado independente da escolha das
coordenadas. A sua equação é
(20) δ ds P
P
1
2
∫^0
Partindo desta equação chega-se por um conhecido processo do cálculo das variações a quatro equa- ções diferenciais totais, que determinam esta linha geodésica. Para apresentar o assunto de um modo completo, vamos fazer aqui essa dedução. Seja (^) λ uma função das coordenadas (^) xv ; esta função defi- ne uma família de superfícies que interceptam a linha geodésica procurada, assim como as linhas infinitamente próximas desta que passem pelos pontos P 1 e P 2. Qualquer destas linhas pode então imaginar-se determinada pela expressão das suas coordenadas xv em função de λ. Suponhamos que o símbolo δ corresponde ao transporte de um ponto da linha geodésica procurada para o ponto de uma curva vizinha que corresponde ao mesmo λ. Nesse caso, poderemos substituir (20) por (20 a) δ λ
μ ν λ λ
μ (^) ν ω
λ wd
w g
d x d
d x d
2 2
2
Mas como
δ
∂ ∂ λ
δ σ λ
δ λ
μ ν α
μ λ
μ σ
μ σ w w
g x
dx dx
dx d
x g
dx d
dx d
= v +
resulta, substituindo δ w em (20 a), tendo em conta que
δ
σ λ
δ λ
d x σ d
d x d
e após integração parcial
(20 b)
x x d
x
d d
g w
dx d w
g x
d x d
d x d
v
σ σ λ
λ
μ μ ν σ
μ
δ λ
σ λ
μα λ
∂ ∂ λ λ
1
2
Daqui resulta, por ser arbitrária a escolha dos δ xσ , que os xσ se reduzem a zero:
(20c) xσ = 0.
Tais são as equações da linha geodésica. Se não for ds = 0 sobre a linha geodésica considerada, po- deremos tomar como parâmetro λ o " comprimento de arco " s medido sobre a linha geodésica. Será então w = 1 e, em vez de (20c), teremos:
g
d x ds
g x
dx ds
d x ds
g x
dx ds
d x ds
μσ
∂ ∂
∂ ∂ σ
μ μ σ ν
ν μ μ ν^ μ^ ν
2 2 +^ −^1 =^0
(24) A
x
μ
∂ ψ ∂ μ
é um quadrivetor covariante ( gradiente de ϕ )
Segundo o nosso teorema, também a derivada tomada sobre uma curva é um invariante. Substituindo ψ pela sua anterior expressão resulta
x dx x
dx ds
dx ds x
d x ds
∂ ψ μ ∂
μ ν ∂ψ ∂ μ
μ ν
2 2 2
Daqui não se pode inferir diretamente a existência de um tensor. Mas se estabelecermos agora que a curva sobre a qual se fez a diferenciação é uma linha geodésica, então, por substituição de d^2 x (^) v /ds 2 pela sua expressão tirada de (22), teremos:
x dx x x
dx ds
dx ds
∂ ψ μ ∂
∂ψ ∂ τ
μ ν ν τ
(^2) μ ν
Como se pode inverter a ordem das diferenciações em relação a (^) μ e v e como, segundo (23) e
(21), o colchete τ
μ ν
é simétrico relativamente a μ e v, segue-se que a expressão entre parênteses
também é simétrica em μ e v. E, como a partir de um ponto do contínuo se pode traçar uma linha geodésica em qualquer direção , sendo portanto dx μ / ds um quadrivetor de livre escolha da razão de componentes, segue-se, de acordo com os resultados do § 7, que
(25) A
x d x x
μν
∂ ψ ∂ μ ν
∂ ψ τ ∂^ τ
μ ν = −
2
é um tensor covariante de segunda ordem.
Chegamos deste modo ao seguinte resultado: com o tensor covariante da primeira ordem
A
x
μ
∂ ψ ∂ μ
pode-se construir, por diferenciação, um tensor covariante de segunda ordem
(26) A
A
x v
μ A
∂ μ ∂
τ τ
μ ν = −
A este tensor A μ v chamaremos a "extensão" ( Erweiterung ) do tensor A μ.
Poderemos agora mostrar facilmente que o processo de formação de expressões que acaba- mos de indicar continua a originar tensores quando já não se verifique a condição acima admitida de A μ poder ser considerado um gradiente.
Para provarmos isso, comecemos por notar que
ψ
∂ ψ μ
d x
é um quadrivetor covariante quando ψ e ϕ forem escalares. Também assim sucede a uma soma de quatro termos análogos ao anterior.
S
x x
μ ψ
∂ ψ ∂ μ
ψ
∂ ψ ∂ μ
( ) ( )
( ) (^1).. ,
1 4
4
desde que ψ (^1 ) ϕ (^1 ) ... ψ (^4 ) ϕ (^4 ) sejam escalares.
Ora é claro que qualquer quadrivetor covariante se pode representar na forma S μ : com efei- tos, se A μ for um quadrivetor cujas componentes sejam dadas por funções quaisquer dos x (^) v , basta- rá tomar (em relação ao sistema de coordenadas escolhido)
ψ (^1 ) =^ A 1 , ϕ (^1 ) = x^1 , ψ (^2 ) = A 2 , ϕ (^2 ) = x 2 , ψ (^3 ) = A 3 , ϕ (^3 ) = x 3 , ψ (^4 ) = A 4 , ϕ (^4 ) = x 4 ,
para se conseguir que S μ se torne igual a A μ.
Sendo assim, se conseguirmos demonstrar que (^) A μ (^) v é um tensor sempre que, no segundo membro da sua expressão, (^) A μ represente um quadrivetor da forma (^) S μ , demonstrada ficará a mes- ma afirmação para o caso de (^) A μ representar um quadrivetor covariante inteiramente arbitrário.
Ora um rápido exame de (26) mostra que basta fazer a demonstração para o caso de ser
A
x
μ ψ
∂ ψ ∂ μ
para que fique feita para S μ. Considerando então esse caso, notemos que o produto por ϕ do se- gundo membro de (25)
ψ
∂ ψ ∂ μ
ψ
∂ ψ τ ∂^ τ
(^2) μ ν
x d x v x
tem caráter tensorial. E
