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Relatório do experimento de Pêndulo Simples, construção de gráficos não-lineares, comparação de valores obtidos com o valor de referência.
Tipologia: Provas
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Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Física Física Experimental A – Turma H
Medições de Tempo – Construção de Gráficos Lineares
Benício Vicente da Silva Neto - 609455
São Carlos 28/04/
Neste experimento foram realizadas medidas de tempo, por meio de um cronômetro, de oscilações de um pêndulo simples (para ângulos Ɵ ≤ 10°), variando o comprimento l do fio de 50 a 200 cm, num intervalo de 30 cm. A partir dos dados obtidos, foram calculados os períodos T de oscilação do pêndulo. Tais valores calculados para cada período foram substituídos na equação empírica deduzida, que rege a dependência entre o período de oscilação em função do comprimento do fio do pêndulo. Desse modo, verificou-se que o valor de g, para cada T, a partir da equação deduzida é próximo ao valor de referência g = (978,5 ± 0,5) cm/s², aceleração da gravidade na cidade de São Carlos-SP.
há duas forças que atuam sobre ele: a força gravitacional (peso) P = mg dirigida para baixo, que a Terra exerce sobre ele, e a força de tração F do fio sobre o corpo (ver Fig. 1).
Figura 1: Sistema de pêndulo simples na posição de equilíbrio estável.
Fonte: próprio autor. Quando a partícula é afastada da sua posição de equilíbrio, e solta, ela começa a oscilar em torno do seu ponto de equilíbrio, devido à força de tração e à força gravitacional, onde esta última é decomposta em Pt (componente tangencial) e Pn (componente normal) à sua trajetória (Fig. 2).
Figura 2: Pêndulo fora da posição de equilíbrio estável.
Fonte: adaptado da internet.
P
F
O movimento oscilatório do corpo do pêndulo para frente e para trás, através de sua trajetória curva, é comandada pela componente tangente à sua trajetória da força resultante que atua sobre ele. Pelo exame da (Fig. 2) podemos observar que a componente tangencial é dada por:
𝑃𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 Eq. 1
onde m é a massa da partícula presa ao fio, g é a aceleração da gravidade local e Ɵ é o ângulo formado pelo deslocamento do fio em relação ao seu ponto de equilíbrio. O sinal negativo faz esta expressão descrever o fato de que a força tangencial está no sentido horário quando o peso permanece no sentido anti-horário a partir de sua posição de equilíbrio estável. Ou seja, o sinal de menos indica que a força atuando sistema é restauradora.
Para analisar a oscilação de um pêndulo, precisamos de alguns métodos matemáticos. Observemos a (Fig. 3).
Figura 3: Deslocamento infinitesimal do pêndulo.
Fonte: adaptado da internet.
em que s é o deslocamento da partícula em relação à posição de origem.
Podemos perceber, de acordo com a figura acima, que s é o comprimento de arco de uma circunferência de raio l: 𝑠 = 𝑙𝜃. Se usarmos o vetor deslocamento
Desenvolvendo esta equação, têm-se
𝑚𝑎𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑^2 𝜃 𝑑𝑡^2 +^
𝑔 𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0^ Eq. 4
Para ângulos Ɵ pequenos, 𝜃 ≪ 1 → 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜃, logo
𝜃̈ + 𝑔𝑙 𝜃 = 0 Eq. 5
o que dá 𝜔^2 = 𝑔𝑙 , ou seja, a força restauradora para um pequeno deslocamento 𝑙𝜃.
Sabemos também do movimento circular que
𝑇 = 2𝜋𝜔 Eq. 6
Logo,
𝑇 = 2𝜋√𝑔𝑙 Eq.
Com o resultado acima, podemos perceber que o período de oscilação não depende da massa do corpo preso ao fio, e sim do comprimento l do fio. No presente trabalho, as medidas foram feitas variando o comprimento, mantendo-se a massa constante. Para complementar o resultado acima, Galileu menciona que “os tempos de vibração de corpos suspensos por fios de comprimentos diferentes estão entre si como as raízes quadradas dos comprimentos dos fios”. [NUSSEZVEIG, 1996].
No experimento, para os cálculos do período de oscilação (T) do pêndulo, foi utilizado a seguinte relação:
𝑇 ± 𝑢(𝑇) = 𝑡±𝑢(𝑡)𝑛 Eq. 8
onde 𝑡 é o tempo medido pelo cronômetro, 𝑢(𝑡) é a estimativa associada à medição de tempo e 𝑛 é o número de oscilações completas. Para o valor de 𝑢(𝑡) foi considerado 0,2s. Esse valor foi adotado devido o tempo de reação do ser humano (intervalo de tempo entre a visualização de um fenômeno e seu registro) é da ordem de 0,2s.
Os materiais utilizados neste experimento foram um pêndulo simples, cronômetro manual, trena, papéis milimetrado e di-log.
Tabela de dados. Tabela P3.1:
L +- u(L) [cm] t +- u(t) [s] n (oscilações) T +- u(T) [s] 200,0 +- 0,5 69,8 +- 0,2 26 2,684 +- 0, 170,0 +- 0,5 68,2 +- 0,2 26 2,623 +- 0, 140,0 +- 0,5 61,6 +- 0,2 26 2,369 +- 0, 110,0 +- 0,5 62,6 +- 0,2 30 2,086 +- 0, 80,0 +- 0,5 60,5 +- 0,2 34 1,779 +- 0, 50,0 +- 0,5 64,5 +- 0,2 46 1,402 +- 0,
Cálculo dos coeficientes angular (a) e linear (b) da reta: n = Δlog(y) / Δlog(x) n = (290mm) / (600mm) n = 0,
1
10
1 10 100 1000
Período de Oscilação (s)
Comprimento (cm)
Período em função do Comprimento [Escala Logarítmica]
Dados utilizados no gráfico:
T(período de oscilação) [s] L(comprimento do fio) [cm] 2,684 200 2,623 170 2,369 140 2,086 110 1,779 80 1,402 50
A minimização da incerteza estimada associada ao período de oscilação do pêndulo, pode ser obtida através do aumento do tempo de observação das oscilações. Considerando que o experimento foi realizado uma única vez para cada comprimento de fio, a minimização não foi realizada dessa maneira, mas sim através da construção do gráfico no papel di-log.
Com a construção dos gráficos, foi possível perceber a diferença entre a utilização do papel milimetrado e o papel di-log. No papel milimetrado, os dados foram marcados e verificou-se que o gráfico não era linear e, assim, o erro associado foi calculado aplicando a função logaritmo (log(T) = b + a .log(L), onde a e b representam constantes). Com a utilização do papel di-log, foi possível transformar o gráfico não- linear em um gráfico linear. Após esse procedimento, o erro foi verificado com mais facilidade (analisando a inclinação da reta).
As incertezas calculadas, as quais garantiram consistência, foram: μ(a) = +- 0, μ(b) = +- 0, Considerando a tabela utilizada para a realização do gráfico, percebemos que o período de oscilações diminui a medida em que o comprimento do fio também diminui.
Como fontes de incerteza do experimento podemos citar, principalmente, o erro de tendência pessoal na leitura de instrumentos analógicos, aproximações de algarismos (deixando no número correto de algarismos significativos), além de aproximações e suposições incorporadas ao método e procedimento de medição.
