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Este relatório apresenta o processo de determinar a densidade de um objeto, especificamente uma caixa de fósforos, usando as regras da teoria de erros. O documento aborda a importância de estimar as incertezas em medidas indiretas e as fórmulas básicas para calcular a propagação de erros em diferentes operações matemáticas.
Tipologia: Trabalhos
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Feira de Santana/BA
Neste relatório foi apresentado o que é necessário para encontrar a
densidade de um objeto, nesse caso, uma caixa de fósforos (cheia) e determiná-
la. Para auxiliar a realização desses cálculos foram utilizadas as regras da teoria
de erros.
As determinações experimentais envolvem medidas e como as medidas
estão sempre sujeitas a alguma incerteza, é preciso fazer-se alguma estimativa
dessas incertezas antes que os resultados possam ser interpretados ou usá-
los. Assim, quando medimos uma grandeza um certo número de vezes, os
valores obtidos provavelmente não serão idênticos devido aos erros
experimentais.
Erros sistemáticos são aqueles decorrentes de causas constantes e se
caracterizam por ocorrerem sempre com os mesmos valores e sinal. Também
chamados de erros aleatórios ou estatísticos, eles resultam do somatório de
pequenos erros independentes e incontroláveis afetando o observador, o
instrumento de medida, o objeto a ser medido e as condições ambientais.
A densidade é a razão da massa pelo volume de um corpo. Trata-se de
uma propriedade física que permite a identificação de uma substância ou
material.
Tanto a massa como o volume são duas grandezas extensivas. Isto
significa que seu valor depende do tamanho do corpo. Por exemplo, um litro de
água irá ter a massa e o volume bem menores que toda a água de uma piscina
olímpica. Contudo, a razão entre estas duas propriedades extensivas, massa e
volume, resulta em uma propriedade intensiva, ou seja, que independe do
tamanho da amostra. Considerando o mesmo exemplo da água, tanto a
presente em um litro como a da piscina, nas mesmas condições de temperatura,
terão densidades equivalentes. A unidade da densidade é composta por uma
unidade de massa dividida por uma de volume. De acordo com o Sistema
Internacional (SI), a densidade é expressa em kg/m³.
Cosseno 𝑧 = cos( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)∆𝑥
Seno 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑐𝑜𝑠
Logaritmo de base c 𝑧 = log
log
Exponencial 𝑧 = 𝑐
௫
௫
ln(𝑐) ∆𝑥
Voltando para o exemplo do volume do cubo, se consideramos a
fórmula de propagação para a potência cúbica, com 𝑥 = 10 𝑐𝑚 e ∆𝑥 = 1 𝑐𝑚,
conferimos que ∆𝑉 = 3
ଶ
= 300 𝑐𝑚³ é exatamente a estimativa
realizada para a incerteza de 𝑉.
Nos cálculos de propagação de erros, constantes físicas bem
conhecidas, como 𝑔, por exemplo, ou números irracionais, como 𝜋 ou 𝑒, são
considerados sem erro. Nesse caso, o número de algarismos significativos
utilizados deve ser suficiente para que o efeito do truncamento seja
desprezível diante das incertezas experimentais.
Densidade
Em física, define-se a densidade de um corpo (ou objeto) como sendo a
razão entre sua massa e seu volume. Por exemplo, para saber a densidade de
um tijolo, basta saber a sua massa total e seu volume total. Matematicamente,
temos:
Na equação acima temos:
d – Representa a densidade
m – Representa a massa do corpo (ou objeto)
V – Representa o volume
Determinar a densidade de um objeto usando as relações de propagação
de incertezas presentes na apostila de teoria de erros da USP postado no
google classroom na página 28. Iremos associar a toda medida um grau de
incerteza usando as regras da teoria de erros e as de algarismos significativos
no tratamento de dados.
A partir da caixa de fósforo, identificamos as três dimensões da caixa
(espessura, largura e comprimento), e as denominamos 𝐿
(ଵ)
(ଶ)
(ଷ)
, respectivamente.
Com as medidas em mãos, organizamos em uma tabela contendo: os
valores das grandezas, as incertezas e as unidades de medida. A partir dos
valores L e ∆𝐿 das dimensões da caixa, obtidas pela tabela, foi calculado o
volume total de cada uma das dimensões e comparado com o volume total obtido
pelo valor médio, e o erro percentual E% entre V e o volume médio. E também
foi calculado o valor da massa da caixa de fósforo e o seu desvio padrão.
Volume
Li
(1)
(cm)
Valor medio = 𝐿
(1)
଼ ,ହ
ହ
= 1, 6cm
Dp da medida = 𝜎 =
∑
( ௱்
)
మ
ିଵ
,ସ
ସ
= 0,1cm
Dp da média = 𝜎
,ଵ
√ହ
Erro aleatório = ± 𝜎
Erro escalar =
ଵ
ଶ
Medidas(i) Lᵢ⁽¹⁾ ∆Lᵢ⁽¹⁾
1 1,7 0,
2 1,5 -0,
3 1,6 0,
4 1,5 -0,
5 1,
0,
soma 8 0
media 1,
Tabela - Medidas Lᵢ¹
(∆Lᵢ⁽¹⁾)²
0,
0,
0,
0,
0,
0,
Dp da medida =𝜎
,
√
ହ
Erro aleatório = ± 𝜎
Erro escalar =
ଵ
ଶ
(ଷ)
Volume a partir de ( 𝑳 ± ∆L) cm
Vtotal = 𝑉 ± ∆V
Vtotal = (28 ± 18)cm
Volume
Massa
Cálculo da densidade
ଷ
ଷ
Medidas(i)
mᵢ ∆mᵢ
1 6,
-0,
2 7,
0,
3 7,
0,
4 7,00 0,
5 6,
-0,
soma 34,9 0
media 6,
0,
(∆mᵢ)²
Tabela - Medidas mᵢ
0,
0,
0,
0,
0,
