Cálculo de Momentos e Forças em Máquinas, Exercícios de Mecatrônica

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PMR – 2370 - Elementos de Máquinas

2º Semestre 2004

Projeto de Dimensionamento de Eixo

OBJETIVO

Implementar um programa que, a partir da tensão máxima admissível do material do eixo e das forças

decompostas e aplicadas em determinados pontos do eixo, dimensione o diâmetro mínimo do eixo de

comprimento desejado.

HIPÓTESES

1. Eixo de material homogêneo.
2. Problema Estático.
3. Os pontos que recebem os maiores esforços são pertencentes à superfície.
4. Somente duas forças aplicadas no eixo.
5. O momento causado pela componente Y das forças (momento torçor) deve ser igual por se tratar de um problema estático.
6. O eixo só aumenta de diâmetro entre as polias, sendo este aumento de 10%.
7. A falha por fadiga ocorrerá nas superfícies das secções A e B (Fig. 1), pois é um fenômeno pontual, sendo muito influenciado por fatores de concentração de tensões.
8. Os eixos são orientados de acordo com a figura 2.

Fig. 1 – Esboço do eixo

z

x

y

Fig. 2 –Orientação dos eixos coordenados

ALGORITMO

A partir de um eixo inicial de diâmetro zero, o programa calcula as tensões principais do bordo da

primeira seção do eixo e, com estes valores, calcula as tensões equivalentes através do Critério de Von Misses

para cada ponto do bordo. Adota-se a maior tensão equivalente para calcular o diâmetro desta seção, se

tornando este o diâmetro do eixo. Posteriormente é feito o cálculo em uma segunda seção do eixo, obtendo-se

um novo diâmetro de eixo, se este for maior que o anterior, se adota este como o novo diâmetro do eixo. Caso

contrário, se mantém. E assim sucessivamente, até que ao se “vasculhe” toda a extensão do eixo, teremos

assim o diâmetro definitivo do eixo desejado.

1 2

1

1 2

1

F x R F F p x A

F x R F p A x A

F x R p x A

F x R F F p x A

F x R F p A x A

F x R p x A

z az z z

z az z

z az

y ay y y

y ay y

y ay

¾ Momentos fletores:

1 1 2 2

1 1

1 1 2 2

1 1

M x R x F L A F B F L A F B p x A

M x R x F L A F B p A x A

M x R x p x A

M x R x F L A F C F L A F C p x A

M x R x F L A F C p A x A

M x R x p x A

z ay y x y x

z ay y x

z ay

y az z x z x

y az z x

y az

¾ Momento torçor:

1 1

M x p x A

M x F C F B p A x A

M x p x A

t

t y z

t

Z

Mz

Vz Vy My N Mt

X Y

¾ Tensão causada pela força normal N:

2 .

d

N

A

N

s

x

¾ Tensão causada pelos momentos fletores My e Mz :

[ MY MZ ]

I d

MZ

I

M Y

z y y

y

z

z x

4

¾ Tensão causada pelo momento torçor Mt :

[ ]

[ M Y ]

I d

M Y

M Z

I d

M Z

t

p

t xz

t p

t xy

4

4

¾ Tensão causada pelas forças cortantes Vy e Vz :

2 2

4

2 2

2 2

4

2 2

d Z

d

V

d Z

I

V

b I

V S

d Y

d

V

d Y

I

V

b I

V S

z

z

z

z z

z z xz

y

y

y

y y

y y

xy

τ α α Y b a h

Com as tensões principais, aplicamos o critério de Von Mises, obtendo assim o diâmetro necessário ao eixo:

2 2 3

2 1 3

2 1 2

. ( ) ( ) ( )

2

1 σ = σ −σ +σ −σ + σ − σ eq

obs: Nos pontos onde há o raio de arredondamento “r”, deve-se aplicar o concentrador de tensão

calculados na análise da falha por fadiga. tN tMt tf

K , K , K

Análise da falha por fadiga

¾ Análise dos esforços médios:

σ médio →decorrente da força normal ( N )

médioxy

τ decorrente do momento torçor( Mt )

médioxz τ decorrente do momento torçor( Mt )

¾ Análise dos esforços alternados:

σ (^) alternado →decorrente dos momentos fletores ( M (^) y e Mz )

alternadoxy

τ decorrente da força cortante ( Vy )

alternadoxz τ decorrente da força cortante ( Vz )

¾ Introdução das constantes de concentração de tensão:

K (^) F = 1 +( Kt − 1 ). q

• Para esforços decorrentes dos momentos fletores:

K (^) F (^) f = 1 +( Ktf − 1 ). q f , onde:

69939.x - 74847.x +31824.x -6864.x +801,41.x -51,897.x + 3,

6 5 4 3 2

tf

K

e q (^) f = 0 , 76 e d

r x =

obs: foi aproximado pela equação acima através de uma regressão e dos dados retirados de Fundamentals

of Machine Component Desing, Robert C. Juvinal; assim como , que foi adaptado para uma tensão

.

t f

K

q f

S (^) u = 900 MPa ≅ 130 ksi

• Para esforços decorrentes da normal:

K (^) F (^) N = 1 +( KtN − 1 ). q N , onde:

37358.x - 45798.x +22456.x -5605,2.x +751,96.x -53,865.x + 3,

6 5 4 3 2

tf

K

e q (^) N = 0 , 76 e

d

r x =

obs: foi aproximado pela equação acima através de uma regressão e dos dados retirados de

Fundamentals of Machine Component Desing, Robert C. Juvinal; assim como , que foi adaptado para uma

tensão.

t N

K

q N

S (^) u = 900 MPa ≅ 130 ksi

• Para esforços decorrentes do momento torçor:

K (^) F (^) Mt = 1 +( KtMt − 1 ). q Mt , onde:

77160.x - 80750.x +33422.x -6962,7.x +770,74.x -44,033.x + 2,

6 5 4 3 2

tf

K

e qMt = 0 , 80 e d

r x =

obs: foi aproximado pela equação acima através de uma regressão e dos dados retirados de

Fundamentals of Machine Component Desing, Robert C. Juvinal; assim como , que foi adaptado para uma

tensão.

t Mt

K

q Mt

S (^) u = 900 MPa ≅ 130 ksi

• Para esforços decorrentes das forças cortantes, será admitido a constante devido ao momento torçor.

xz xz Mt

xy xy Mt

N

médio médio F

médio médio F

médio médio F

K

K

K

´

´

´

e

xz xz Mt

xy xy Mt

f

alternado alternado F

alternado alternado F

alternado alternado F

K

K

K

´

´

´

¾ Cálculo da tensão equivalente média:

[ ]

( )

( )

3

´^2 ´^2 ´^2 ´

2

´^2 ´^2 ´^2 ´

1

´

´

´ ´ ´

σ

σ σ τ τ σ

σ τ τ σ σ

τ

τ

σ τ τ

σ

xy xz

xy xz

xz

xy

xy xz médio médio médio médio

médio médio médio médio

médio

médio

médio médio médio

Adotamos como tensão equivalente média : σ (^) médio − eq = σ 1.

0 , 9 .log. 1 , 8 2

(log )

s g u l

u l s g n

C C

N S C

S C C C

S N ,p/

6 N ≤ 10

As constantes da equação acima foram retiradas de Fundamentals of Machine Component Desing, Robert

C. Juvinal, e estão apresentadas a seguir:

C p S MPa

p d mm

p d mm C

C

s u

g

l

¾ Analisamos agora o diagrama de tensão alternada x tensão média:

Temos, agora, duas situações à serem analisadas:

1. P/ σ médio − eq + σ alternado − eq ≤ σ y :

Seja σ alternado − eq = a. σ médio − eq + b , substituindo em alguns pontos do gráfico, obtemos:

u médio eq

u alternadoeq n gráfico S

S

S

−

− − −

.

2. P/ σ médio − eq + σ alternado − eq > σ y :

Fazemos a seguinte substituição: σ médio − eq =σ y −σ alternado − eq , e

´

σ alternado − eq fica inalterado. Isto tem uma

explicação física: a tensão alternada somada à média não pode ultrapassar a tensão de escoamento. Portanto,

alternado

σ y

S (^) n − gráfico

σ y S u^ σ médio

no primeiro ciclo, o material sofre uma pequena deformação plástica, mas a partir daí não ocorre mais

deformação.

Daí temos: ´

u médio eq

u alternadoeq n gráfico S

S

S

−

− − −

.

Para encontrarmos o diâmetro ideal, fazemos todos os cálculos das tensões e dos fatores de concentração de

tensões; e através deles, calculamos e. Comparamos ambos e realizamos sucessivas iterações,

sempre modificando o valor do diâmetro, a fim de encontrarmos o diâmetro que torna menor ou

igual à , garantindo assim a resistência à fadiga para N ciclos.

S (^) n S (^) n − gráfico

S (^) n − gráfico

S n

Código Fonte

ARQUIVO RESOLUCAO

import java.lang.*;

import java.awt.*;

// Classe que pega uma secao do eixo e calcula a tensao de Von-Mises e acha um

diametro que atende os esforcos calculados sem fraturar.

public class resolucao {

static double tensaoequi, d ; public static double resolve (double r,boolean concentrador, double tensaomax,

double N, double My, double Mz, double Mt, double Vy, double Vz) {

double z, y, teta, tensao, sigma1, sigma2, sigmax, sigmay, talxy, talxz,

I, ktf,ktn,ktm;

tensaoequi=tensaomax+1; ktf=ktn=ktm=1; if(concentrador==true) { ktf = 69939(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) -

74847(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) + 31824(r/d)(r/d)(r/d)*(r/d) -

6864(r/d)(r/d)(r/d) + 801.41(r/d)(r/d) - 51.897(r/d) + 3.1145;

ktn = 37358(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) -

45798(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) + 22456(r/d)(r/d)(r/d)*(r/d) -

5605.2(r/d)(r/d)(r/d) + 751.96(r/d)(r/d) - 53.865(r/d) + 3.1826;

ktm = 77160(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) -

80750(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) + 33422(r/d)(r/d)(r/d)*(r/d) -

6962.7(r/d)(r/d)(r/d) + 770.74(r/d)(r/d) - 44.033(r/d) + 2.2003;

} N=Nktn; My=Myktf; Mz=Mzktf; Mt=Mtktm; Vy=Vyktm; Vz=Vzktm;

for(d=0.001;tensaoequi>tensaomax;d=d+0.0001) { tensaoequi=0; for(teta=0;teta<2java.lang.Math.PI;teta=teta+java.lang.Math.PI/16) { z=(d/2)java.lang.Math.cos(teta); y=(d/2)java.lang.Math.sin(teta); I = (java.lang.Math.PIdddd)/64; sigmax = 4N/(java.lang.Math.PIdd)+(-1Mzy+Myz)/I; talxy = (-1(2Mtz)/I)+(Vy((dd/12)-(y*y/3))/I);

import java.applet.Applet.*;

import org.jfree.data.xy.*;

import org.jfree.chart.*;

import org.jfree.chart.plot.PlotOrientation;

import org.jfree.chart.plot.*;

import org.jfree.chart.axis.*;

import javax.swing.table.*;

// Classe que calcula os esforcos solicitantes por todo o comprimento do eixo

class diagrama {

static void tensoes (boolean escoamento, double fx1d,double fx2d,double

fy1d,

double fy2d,double fz1d,double fz2d,double a1d,double a2d,double

b1d,double b2d,

double c1d,double c2d,double tmaxd,double ld, double qn, double qm,

double qf,

double su, double r, double ciclos, double cs) { double local=0, somaFx, somaFy, somaFz, deltald, delta, dmax, d, p,

Ktn, Ktf, Ktm,

Ray, Raz; boolean concentrador; XYSeries normal = new XYSeries("Normal"); XYSeries Cortantey = new XYSeries("Cortante Y"); XYSeries Cortantez = new XYSeries("Cortante Z"); XYSeries momentoy = new XYSeries("Momento Y"); XYSeries momentoz = new XYSeries("Momento Z"); XYSeries momentot = new XYSeries("Momento Torçor");

somaFx = fx1d+fx2d; somaFy = fy1d+fy2d; somaFz = fz1d+fz2d; delta = ld/200; dmax=0; d=0; double Rby=0; double Rbz=0;

Raz = (-fz1d(ld - a1d) - fx1dc1d - fz2d(ld-a2d) - fx2dc2d)/ld; Ray = (-fy1d(ld - a1d) - fx1db1d - fy2d(ld-a2d) - fx2db2d)/ld;

for(deltald=0; deltald<=ld; deltald=deltald+delta) {

concentrador=false;

double Normal = somaFx;

if(deltald>=a1d) Normal = Normal - fx1d; if(deltald>=a2d) Normal = Normal - fx2d;

double cortantey = -1*(Ray);

if(deltald>=a1d) cortantey = cortantey - fy1d; if(deltald>=a2d) cortantey = cortantey - fy2d;

double cortantez = -1*(Raz);

if(deltald>=a1d)

cortantez = cortantez - fz1d; if(deltald>=a2d) cortantez = cortantez - fz2d;

double My = -1(Raz)deltald;

if(deltald>=a1d) My = My - fz1d(deltald - a1d) - fx1dc1d; if(deltald>=a2d) My = My - fz2d(deltald - a2d) -fx2dc2d;

double Mz = Ray*deltald;

if(deltald>=a1d) Mz = Mz + fy1d(deltald - a1d) + fx1db1d; if(deltald>=a2d) Mz = Mz + fy2d(deltald - a2d) + fx2db2d;

double Mt;

if((deltald>=a1d)&&(deltald<=a2d)) Mt = fy1dc1d-fz1db1d; else Mt=0;

p = (deltald/ld)*100;

janelainicial.porcentagem.setText(""+p+"%");

if(((deltald>=a1d)&&((deltald-

delta)a2d))) {

concentrador=true; if(escoamento==false) d =

fadiga.calculos(Normal,Mt,My,Mz,cortantey,cortantez,r,qf,qn,qm,su,tmaxd,ciclos,cs

);

} else concentrador=false;

if(escoamento==true) d = resolucao.resolve(r,concentrador,tmaxd, Normal,

My, Mz, Mt, cortantey, cortantez);

if((deltald>=a1d)&&(deltald<=a2d)) // verifica se esta na parte

em que o eixo tem diametro maior

d=d/1.1; if(d>dmax) { dmax=d; local=deltald; } normal.add(deltald,Normal); Cortantey.add(deltald,cortantey); Cortantez.add(deltald,cortantez); momentoy.add(deltald,My); momentoz.add(deltald,Mz); momentot.add(deltald,Mt);

Rby=cortantey; Rbz=cortantez; }

coyna.setLowerBound(0); XYPlot coyplot = (XYPlot)coychart.getPlot(); coyplot.setDomainAxis(coyna); ChartPanel coycp = new ChartPanel(coychart);

/*******************MomentoY************************************/

XYDataset moyxydata = new XYSeriesCollection(momentoy); ((XYSeriesCollection)(moyxydata)).setAutoWidth(true); JFreeChart moychart = ChartFactory.createXYLineChart ("", "L", "Força", moyxydata, PlotOrientation.VERTICAL, true, //legenda true, //tooltips false //urls ); NumberAxis moyna = new NumberAxis(); moyna.setUpperBound(ld); moyna.setLowerBound(0); XYPlot moyplot = (XYPlot)moychart.getPlot(); moyplot.setDomainAxis(moyna); ChartPanel moycp = new ChartPanel(moychart);

/*******************MomentoZ************************************/ XYDataset mozxydata = new XYSeriesCollection(momentoz); ((XYSeriesCollection)(mozxydata)).setAutoWidth(true); JFreeChart mozchart = ChartFactory.createXYLineChart ("", "L", "Força", mozxydata, PlotOrientation.VERTICAL, true, //legenda true, //tooltips false //urls ); NumberAxis mozna = new NumberAxis(); mozna.setUpperBound(ld); mozna.setLowerBound(0); XYPlot mozplot = (XYPlot)mozchart.getPlot(); mozplot.setDomainAxis(mozna); ChartPanel mozcp = new ChartPanel(mozchart);

/*******************Momento Torçor*******************************/ XYDataset motxydata = new XYSeriesCollection(momentot); ((XYSeriesCollection)(motxydata)).setAutoWidth(true); JFreeChart motchart = ChartFactory.createXYLineChart ("", "L", "Força", motxydata, PlotOrientation.VERTICAL, true, //legenda true, //tooltips false //urls ); NumberAxis motna = new NumberAxis(); motna.setUpperBound(ld); motna.setLowerBound(0); XYPlot motplot = (XYPlot)motchart.getPlot();

motplot.setDomainAxis(motna); ChartPanel motcp = new ChartPanel(motchart);

/-------------------------------------------------------------------/

grafico.main(normalcp,"Força Normal",50,50); grafico.main(coycp,"Força Cortante Y",70,70); grafico.main(cozcp,"Força CortanteZ",90,90); grafico.main(moycp,"Momento Y",110,110); grafico.main(mozcp,"Momento Z",130,130); grafico.main(motcp,"Momento Torçor",150,150);

}

}

ARQUIVO EIXO

import java.io.*; // Classes importadas para funcionamento do programa

import java.lang.*;

import java.awt.*;

// Classe que cria a janela e delimita seu tamanho

class eixo {

public static void main(String [] args){ CloseableFrame j=new janelainicial(); // Criação da janela j.setBackground(null); // Cor da janela j.setBounds(100,100,590,460); // Dimensionamento j.setTitle ("Programa di faze eixo"); // Titulo j.setResizable(false); j.show(); // Mostra a janela }

}

ARQUIVO FADIGA

import java.io.*; //Pacotes necessarios para a funcionalidade do programa

import java.lang.*;

import java.lang.Math.*;

// Classe que pega uma secao do eixo, e calcula ao seu redor as tensoes e

verifica para que tamanho de eixo não ocorre falha por fadiga

class fadiga {

static double calculos(double N, double Mt, double My, double Mz, double Vy, double Vz, double r, double qf, double qn, double qm, double Su ,double Sy, double Ciclos, double Cs) { double d, Kff, Kfn, Kfm, sigm, siga, talmxy, talmxz, talaxy, talaxz, teta, I, sigmam, sigmaaeq, Sn, Cg, Sngraf, sigmaprovisorio, sigma1ap, sigma2ap, sigmamp;

int h=1;

Sn=sigmaprovisorio=talmxy=talaxy=talmxz=talaxz=sigma1ap=sigma2ap=sigm=sigmaaeq=si

gmam=siga=sigmamp=0;

double y=0; double z=0; Sngraf = Sn +1; for(d=0.001;Sngraf>Sn;d=d+0.0001) {

if(d<=0.01) Cg=1; else Cg=0.9; Kff = 1 + (69939(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) -

74847(r/d)(r/d)(r/d)(r/d)(r/d) + 31824(r/d)(r/d)(r/d)*(r/d) -

6864(r/d)(r/d)(r/d) + 801.41(r/d)(r/d) - 51.897(r/d) + 3.1145 -1)*qf;

public void windowClosed( WindowEvent event ) { }

public void windowDeiconified( WindowEvent event ) { }

public void windowIconified( WindowEvent event ) { }

public void windowActivated( WindowEvent event ) { }

public void windowDeactivated( WindowEvent event ) { }

public void windowOpened( WindowEvent event ) { }

}

ARQUIVO JANELAINICIAL

import java.io.*; //Pacotes necessarios para a funcionalidade do programa

import java.lang.*;

import java.awt.*;

import java.awt.event.*;

import javax.swing.*;

import java.applet.*;

import java.applet.Applet.*;

// Esta classe é o que define o conteudo da janela aberta

class janelainicial extends CloseableFrame implements ActionListener,

ItemListener {

Button calcula; Checkbox a,b,c,d; CheckboxGroup escolhe, Ciclos; Image img; Graphics g; Label ciclos,cs, unidades, diametro,l1, forca1, forca2, fx1, fx2, fy1, fy2,

fz1, fz2, a1, a2, b1, b2, c1, c2, tmax, l, r, qf, qn, qm, Su;

TextField CICLOS, Cs, Qf, Qn, Qm, SU, R, Fx1, Fx2, Fy1, Fy2, Fz1, Fz2, A1,

A2, B1, B2, C1, C2, Tmax, L;

double csd, ciclosd, rd, fx1d, fx2d, fy1d, fy2d, fz1d, fz2d, a1d, a2d, b1d,

b2d, c1d, c2d, tmaxd, ld, qfd, qmd, qnd, sud;

static public Label porcentagem; static public TextField Diametro;

janelainicial() { // Criação dos objetos dentro da janela

setLayout(null); l1 = new Label ("Vamo faze eixooooo"); l1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 16)); l1.setForeground(Color.blue); add(l1); l1.setBounds(20,30,400,20);

unidades = new Label ("Todas as unidades devem estar em SI"); unidades.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 22)); unidades.setForeground(Color.red); add(unidades);

unidades.setBounds(10,350,400,50);

forca1 = new Label ("Força 1");

forca1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

forca1.setForeground(Color.black);

add(forca1);

forca1.setBounds(20,60,80,20);

forca2 = new Label ("Força 2");

forca2.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

forca2.setForeground(Color.black);

add(forca2);

forca2.setBounds(20,140,80,20);

fx1 = new Label ("Fx");

fx1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fx1.setForeground(Color.black);

add(fx1);

fx1.setBounds(120,60,40,20);

porcentagem = new Label ("0%");

porcentagem.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 20));

porcentagem.setForeground(Color.black);

add(porcentagem);

porcentagem.setBounds(510,400,65,20);

fx2 = new Label ("Fx");

fx2.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fx2.setForeground(Color.black);

add(fx2);

fx2.setBounds(120,140,40,20);

fy1 = new Label ("Fy");

fy1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fy1.setForeground(Color.black);

add(fy1);

fy1.setBounds(120,80,40,20);

fy2 = new Label ("Fy");

fy2.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fy2.setForeground(Color.black);

add(fy2);

fy2.setBounds(120,160,40,20);

fz1 = new Label ("Fz");

fz1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fz1.setForeground(Color.black);

add(fz1);

fz1.setBounds(120,100,40,20);

fz2 = new Label ("Fz");

fz2.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

fz2.setForeground(Color.black);

add(fz2);

fz2.setBounds(120,180,40,20);

a1 = new Label ("a");

a1.setFont(new Font("Times New Roman", Font.BOLD, 14));

a1.setForeground(Color.black);