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Poliedros 1
Os poliedros s˜ao s´olidos cujo volume ´e definido pela interse¸c˜ao de quatro ou mais planos (poli + edro). A superf´ıcie poli´edrica divide o espa¸co em duas regi˜oes: uma regi˜ao finita, que ´e a parte interna do poliedro e uma regi˜ao infinita, o exterior do poliedro.
1.1 Elementos de um Poliedro
A interse¸c˜ao dos diversos planos que comp˜oem o poliedro produzem retas, denom- inadas arestas do poliedros, cujas interse¸c˜oes formam os v´ertices do poliedro. Os pol´ıgonos obtidos atrav´es da delimita¸c˜ao dos planos (que formam a superf´ıcie poli´edrica) pelas arestas, s˜ao denominados faces do poliedro.
VERTICES
FACES
ARESTAS
Figura 1.1: Elementos de um poliedro
1.2 Classifica¸c˜oes dos Poliedros
H´a v´arias formas de classifica¸c˜ao dos poliedros. Pode-se classific´a-los pela sua for- ma, pelas caracter´ısticas de suas faces, por rela¸c˜oes entre as posi¸c˜oes das arestas e faces, entre outros. As classifica¸c˜oes mais comuns dizem respeito a regularidade,a convexidade e a forma (rela¸c˜oes entre faces e arestas) do poliedro. Alguns au- tores consideram as pirˆamides, prismas e troncos como uma sub-classifica¸c˜ao dos poliedros. Outros, por´em, n˜ao consideram as pirˆamides, prismas e troncos como poliedros, mas sim como classesa parte dos poliedros. Os poliedros seriam todos os demais s´olidos geom´etricos. Em alguns casos, como por exemplo o cubo, um prisma seria considerado um poliedro (veja se¸c˜ao 1.4).
1.2.1 Convexidade
A convexidade de um poliedro ´e definida da seguinte forma: Um poliedro ´e dito con- vexo se o segmento de reta obtido atrav´es da interse¸c˜ao qualquer reta que atravesse o poliedro, desde o ponto onde a reta “entra” no poliedro at´e o ponto “de sa´ıda”, estiver totalmente contido no poliedro (figura 1.2(a)). Caso o segmento possua um ou mais pontos externos ao poliedro (figura 1.2(b)), ent˜ao este ´e dito n˜ao-convexo ou cˆoncavo.
(a) (b)
SEGMENTO EXTERNO
Figura 1.2: Convexidade do Poliedro: (a) poliedro convexo e (b) poliedro n˜ao- convexo
Todo poliedro n˜ao-convexo pode ser composto ou desmembrado em poliedros convexos. Na figura 1.2(b) pode-se observar que o poliedro n˜ao-convexo pode ser composto por dois poliedros convexos (duas pirˆamides convexas). Dessa forma, o estudo dos poliedros concentra-se apenas nos poliedros convexos, uma vez que os n˜ao-convexos podem sempre ser compostos por poliedros convexos.
1.2.2 Regularidade
A regularidade de um poliedro depende do tipo de poliedro. No caso mais geral diz-se que um poliedro ´e regular se todas as suas faces forem pol´ıgonos regulares, exceto para as pirˆamides, prismas e troncos de prismas e de pirˆamides. Os poliedros regulares cl´assicos s˜ao apenas cinco: o tetraedro (faces triangulares), o hexaedro ( seis faces quadradas), o octaedro (oito faces triangulares), o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares). Os poliedros regulares portan- to possuem apenas faces que s˜ao triˆangulos equil´ateros, quadrados ou pent´agonos regulares. No caso das pirˆamides, prismas e seus troncos, a regularidade depende de fatores espec´ıficos de cada um desses poliedros e ser´a discutida nas respectivas se¸c˜oes.
1.3 Pirˆamides
As pirˆamides s˜ao poliedros com caracter´ısticas distintas das dos poliedros forma- dos por faces regulares iguais. Nas pirˆamides todas as arestas das faces laterais convergem para um ´unico v´ertice, denominado v´ertice principal da pirˆamide. A
(a) (b)
Figura 1.4: Troncos de pirˆamide: obtido por (a) plano paralelo a base e (b) plano obl´ıquoa base
Quando os planos secantes (que delimitam o volume da superf´ıcie prism´atica) s˜ao perpendiculares as arestas laterais, ent˜ao o prisma ´e dito reto e as suas bases s˜ao perpendicularesas faces laterais. Nesse caso, as faces laterais s˜ao retˆangulos ou quadrados e as arestas laterais s˜ao iguais `a altura. Quando o prisma n˜ao ´e reto diz-se que ele ´e obl´ıquo e portanto as faces laterais s˜ao maiores que a altura do prisma, definida como a distˆancia entre os dois planos das bases. Todo prisma obl´ıquo ´e um poliedro irregular enquanto os prismas retos podem ser poliedros regulares, desde que suas bases sejam pol´ıgonos regulares. Um prisma regular n˜ao ´e necessariamente um poliedro regular. Um prisma ´e dito regular se ele for reto e as suas bases forem pol´ıgonos regulares. O cubo ´e o ´unico prisma regular que tamb´em ´e um poliedro regular. A figura 1.5 mostra um prisma reto e um prisma obl´ıquo, ambos de base pen- tagonal.
(a) (b)
Figura 1.5: Prismas: (a) prisma reto e (b) prisma obl´ıquo
1.4.1 Troncos de Prismas
Um tronco de prisma s´o pode ser obtido por um plano n˜ao paralelo `as bases, caso contr´ario continuaremos a ter dois prismas menores. Portanto um tronco de prisma ter´a obrigatoriamente arestas laterais paralelas por´em suas bases n˜ao ser˜ao iguais
nem paralelas. Dois exemplos de troncos de prismas podem ser observados na figura 1.6, um tronco de prisma reto e um tronco de prisma obl´ıquo.
(a) (b)
Figura 1.6: Troncos de prisma: (a) reto e (b) obl´ıquo
1.5 Representa¸c˜ao dos S´olidos em Epura´
Um s´olido geom´etrico (poliedros em geral, prismas, pirˆamides e troncos) s˜ao repre- sentados em ´epura atrav´es das proje¸c˜ao de suas arestas. Cada aresta de um poliedro ´e um segmento de reta e portanto pode ser representado em ´epura atrav´es de duas proje¸c˜oes: a vertical e a horizontal.
Figura 1.7: Representa¸c˜ao de uma pirˆamide em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Como exemplo, examine a figura 1.7(a). Nessa figura temos representada uma pirˆamide de base retangular irregular e ´e assumido que a base da pirˆamide encontra- se paralela ao plano horizontal de proje¸c˜ao (π). Abaixo da pirˆamide ´e realizada a sua proje¸c˜ao horizontal. Todos os v´ertices (pontos) e suas arestas (segmentos de
Figura 1.8: Representa¸c˜ao de um octaedro irregular em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Figura 1.9: Representa¸c˜ao de um prisma reto em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Um exemplo pode ser observado na figura 1.11. Nessa figura uma pirˆamide apoiada no plano (π) ´e cortada por um plano de tˆopo (α), gerando a se¸c˜ao. Como o plano ´e perpendicular `a (π′), as proje¸c˜oes da interse¸c˜ao ´e facilmente obtida na proje¸c˜ao vertical.
Figura 1.10: Representa¸c˜ao de um prisma reto em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Figura 1.11: Se¸c˜ao de uma pirˆamide por um plano de tˆopo
