trabalho sobre poliedros, Provas de Matemática

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Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Prof. Raul Córdula

Campina Grande – PB 16/10/ Serie: 2º ano médio Turma: A Turno: Manhã Matemática (geometria) – Anselmo

Alunos: números: Eunice Paloma 14 Amanda Nunes 02 Eudes Laercio 13 Karoline Ramos 25 Rhyrilly Pâmella 42 Wesla Iohara 49

Assunto: Poliedros

Índice

Apresentação ----------------------------------------------------------------------------------------------- 0

Caros leitores, este trabalho tem como tema os poliedros, objetivando o conhecimento da classe (2º ano médio A/ manhã/ 2009). Iniciaremos com alguns conceitos, figuras, ângulos, etc. levaremos a informação de forma dinâmica e pratica.

Introdução

Não é possível conhecer em que circunstâncias históricas começou e se desenvolveu o interesse pelos poliedros, identificados como sólidos de faces planas. Do ponto de vista matemático, existem fontes egípcias, chinesas e babilônicas contendo a resolução de problemas relativos a pirâmides. Existem diversos problemas relativos ao declive das faces de uma pirâmide. Como sugere V. Katz, o valor do declive era essencial para os construtores das pirâmides, e na realidade os valores concretos referidos nesses problemas são aproximadamente iguais aos declives das três pirâmides de Gizeth. No Papiro de Moscovo é apresentada a fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide de base quadrada, embora a fórmula para o volume da pirâmide não apareça em nenhuma fonte egípcia. Assim, não se conhece como chegaram os egípcios aquela fórmula. Da mesma forma, existem tabletes babilônicas contendo problemas de cálculo de volumes de troncos de pirâmides e de outros sólidos (em forma de telhado de quatro águas) que parecem ter resultado da necessidade de calcular o volume de pilhas de grãos de cereal. No que diz respeito às fórmulas utilizadas, algumas são carretas, outras apenas aproximadas. Em qualquer caso, todos estes documentos demonstram um interesse natural pelas formas poliédricas. Esse interesse não era apenas utilitário. Em escavações arqueológicas junto de Pádua foi descoberto um dodecaedro etrusco (500 a.C), do mineral esteatita, que era um objeto de jogo, e os egípcios usavam dados com a forma de icosaedros. Os matemáticos gregos retomaram a questão do volume da pirâmide. Arquimedes, no livro do Método, afirma que Demócrito (que viveu no fim do séc. V a.C.) foi o primeiro a enunciar que o volume de um cone é 1/3 do de um cilindro tendo à mesma base e a mesma altura, e que o volume da pirâmide é 1/3 do de um prisma com a mesma base e altura igual. Arquimedes atribui a demonstração destas duas proposições a Eudóxio (c. 409 - c. 356 a.C.), apoiando-se no método da exaustão.

O que é um poliedro?

Do grego - poly (muitas) + edro (face). Os poliedros fazem parte do pensamento grego, foram estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram parte nas

Poliedro convexo

Poliedros côncavos

Um poliedro diz-se côncavo, quando um segmento de reta, unindo dois pontos do poliedro, sai fora do poliedro. Exemplo:

Poliedro côncavo

Ângulos

Ângulo diedro

É a reunião de dois semiplanos de mesma origem, não contidos num mesmo plano. A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces. Podemos estender a definição acima para termos o diedro nulo, quando sua face é coincidente e rasa se suas faces são semiplanos opostos. É importante saber que o diedro é:

• Agudo, quando sua medida variar entre 0° e 90°.
• Reto, quando sua medida for 90°.

• (^) Obtuso, quando sua medida variar entre 90° e 180°.

Ângulo triedro

É a figura geométrica formada pela intersecção de três ângulos diedros, cada um deles com aresta em uma dessas retas e com faces que contém as outras duas retas. É importante destacar que em todo triedro:

• A medida da face é a medida do ângulo que a determina.
• A medida de uma das faces é menor que a soma das medidas das outras duas.
• A soma das medidas das três faces, em graus, é menor que 360°.

Ângulo poliédrico

Considere um plano α que contém um polígono convexo ABC..., e seja V um ponto fora desse plano. Chama-se ângulo poliédrico de vértice V ao conjunto de todas as semi-retas que passam por um ponto do polígono e tem origem em V.

Poliedro regular

São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos poliédricos são todos iguais. Os poliedros regulares classificam-se em:

Platônicos F 0E 0 São assim chamados por terem sido estudados e divulgados por Platão. São também conhecidos como regulares, pois todas as faces, ângulos e ângulos entre as faces serem sempre os mesmos. Veremos a seguir o porquê. Todo ângulo sólido tem que ter um mínimo de três faces, com ângulos de face cuja soma seja menor que 360°. Analisando os polígonos regulares vemos que os possíveis geradores de ângulos sólidos são os de ângulo interno menor que 120°, ou seja: o triângulo (60°), o quadrado (90°) e o pentágono (108°). Portanto, os polígonos regulares que formam os (5) poliedros regulares são os triângulos, os quadrados e os pentágonos. Os sólidos

Raio da Circunsfera = 0,8660 A Superfície = 6 A2 Volume = A

♥ OCTAEDRO: O octaedro é composto de seis triângulos eqüiláteros. Pode ser visto como um antiprisma de base triangular, ou como duas pirâmides de base quadrada, acopladas pelas bases. Vértices = 6 Arestas = 12 Faces = 8 triângulos equiláteros Ângulo diedro = 109°28' Ângulo central = 90°

Raio da Insfera = 0,4082 A Raio da Meiasfera = 0,5 A Raio da Circunsfera = 0,7071 A Superfície = 3,4641 A Volume = 0,4714 A

♥ DODECAEDRO: O dodecaedro é composto de 12 pentágonos. Vértices = 12 Arestas = 20 Faces = 12 pentágonos Ângulo diedro = 116°34' Ângulo central = 41°49'

Raio da Insfera = 1,1135 A Raio da Meiasfera = 1,3092 A Raio da Circunsfera = 1,4013 A Superfície = 20,6457 A

Volume = 7,6631 A

♥ ICOSAEDRO: O icosaedro é composto de 20 triângulos eqüiláteros. O icosaedro é usado como base fundamental para geração da ampla maioria das coberturas geodésicas. Vértices = 12 Arestas = 30 Faces = 20 triângulos eqüiláteros Ângulo diedro = 138°11' Ângulo central = 63°26'

Raio da Insfera = 0,7558 A Raio da Meiasfera = 0,8090 A Raio da Circunsfera = 0,9511 A Volume = 7,6631 A Superfície = 20,6457A

Estrelados F 0E 0 São poliedros que seguem a definição de poliedro regular e ao mesmo tempo a definição de poliedro estrelado. Além de ter todos os ângulos sólidos iguais entre si e as faces também iguais entre si, é secionado por qualquer dos planos de suas faces. Exemplo:

Poliedros semi-regulares

Também chamado de poliedro arquimediano, é um poliedro convexo constituído por faces regulares (mas de número de lados diferentes) e ângulos sólidos iguais ou simétricos. Estas faces são de dois ou, mesmo, três tipos e os ângulos são triédricos, tetraédricos ou pentaédricos. Os poliedros são divididos em dois grupos:

II - Anti-Prismas

Fórmulas Básicas

Teorema de Euler

F F 0E 0 número de faces A F 0E 0 número de arestas V F 0E 0 número de vértices Temos: V – A + F = 2

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo

Considerando um poliedro convexo com número V de vértices, é valida a relação:

S = (V – 2) * 360°

Exercícios

1 – Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrigulares e 8 faces triangulares.

Resolução: Cálculo do número de arestas (A) As 2 faces quadrigulares têm 24= 8 arestas. As 8 faces triangulares têm 83= 24 arestas. Sendo cada aresta comum a 2 faces, certamente todas as arestas foram contadas em dobro. Logo: A = (8+24) / 2 A = 16 O cálculo do número de vértices é feito por meio da Relação de Euler: V – A + F = 2 V – 16 + 10 = 2 V = 8

2 – Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar: a) o número de vértices desse poliedro b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro

Resolução:

5 – Qual a área da superfície de um icosaedro regular cuja aresta mede 5 cm?

Resolução: A superfície de um icosaedro ( i ) regular é formada por 20 triângulos equiláteros ( te ), portanto: Área = 20 * Área A = 20. 5² * √ 3 ◌̉ / 4 A = 125 √ 3 ◌̉ cm²

Comentários finais

Os poliedros são sólidos limitados por 4 ou mais faces planas e poligonais. O poliedro pode ser considerado convexo ou côncavo, e ser dividido em regulares e irregulares, os elementos do poliedro são: Faces (F), Arestas (A) e Vértices (V), existe um relação entre esses elementos pode-se ver no Teorema de Euler, cuja fórmula é V-A+F = 2. para calcular a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo, mostrou-se a seguinte ralação: S=(V-2)*360°. Tem-se os ângulos diedro, triedro e poliédrico. Os poliedros de Plantão têm duas características bases, são elas: 1ª todas as faces devem ter o mesmo número de arestas; 2ª dos vértices devem partir o mesmo número de arestas.

Referências bibliográficas

Site: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/poliedros.htm, data de acesso: 04/10/

Site: http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm, data de acesso: 04/10/

Site: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_poli_reg.pdf, data de acesso: 04/10/

Site: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_pdf/ gd_poliedros_semi_regulares_2.pdf, data de acesso: 04/10/

Site: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_pdf/gd_poliedros_irregulares_2.pdf, data de acesso: 04/10/

Site: http://www.apm.pt/apm/amm/paginas/231_249.pdf, data de acesso: 08/10/

FILHO, B. Benigno / Matemática aula por aula. – 1.ed. – São Paulo : FTD, 2003