Tópicos de resoluçao da 2ª frequência (v1), 18 de dezembro de 2013
Existência e unicidade de raiz do polinómio no intervalo [-1.5,-1]:
p:=x->2*x^3+x^2-x+1;
p';
x→2 x3+x2−x+1
x→6 x2+2 x−1
A função polinomial é contínua e diferenciável em IR, logo é regular no intervalo.
p(-1.5)*p(-1)
−2.0
Pelo corolário do teorema de Bolzano, conclui-se que a função tem pelo menos um zero no intervalo [-2,-1].
solve(p'(x),x)
−√
7
6
−1
6
,√
7
6
−1
6
float(%)
{−0.6076252185, 0.2742918852}
A derivada do polinómio é uma parábola com convidade voltada para cima e não tem zeros no intervalo
[-1.5,-1], de modo que p' é sempre positiva em ]-1.5,-1[. Então, o polinómio é uma função monótona crescente
no intervalo, o que implica que interseta uma única vez o eixo do x logo o polinómio tem uma única raiz em
[-1.5,-1].
Método de Newton:
p''
x→12 x+2
p(-1.5)*p''(-1.5);
p(-1.0)*p''(-1.0);
32.0
−10.0
Assim, a aproximação inicial é x0 = -1.5.
n:=3:
x[1]:=-1.5:
for i from 1 to n do
x[i+1]:=x[i]-p(x[i])/p'(x[i]):
e[i]:=abs(x[i+1]-x[i]): // Erro do método
print(Unquoted,"x".i=float(x[i+1])," com erro absoluto e".i=e[i]):
end_for:
print(NoNL, "\n"):
print(Unquoted,"A soluçao é aproximadamente ".round(x[n+1],4)."."):
x1 = -1.289473684, com erro absoluto e1 = 0.2105263158
x2 = -1.236967446, com erro absoluto e2 = 0.05250623853
x3 = -1.233763552, com erro absoluto e3 = 0.003203893392
A soluçao é aproximadamente -1.2338.
Número de iterações a efetuar para garantir a mesma precisão de 10^(-2) pelo método da bissecção:
delete n:
solve((-1+1.5)/2^n<10^(-2),n,Real)
(5.64385619, ∞)
Pelo método da bissecção teriamos de efetuar pelo menos 6 iterações.
