Método da Bissecção e Falsa Posição, Notas de aula de Cálculo Numérico

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O que já vimos?

 Equações Algébricas e Transcendentes

VAMOS CONHECER OS MÉTODOS?

Método da

Bissecção

Método da Bissecção

 O objetivo do método é:

 Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz  Até atingir a precisão requerida: b - a < ε  Através da sucessiva divisão do intervalo [a,b]

Método da Bissecção D i v i de -s e o i n te r va l o [ a , b ] a o me i o , o bt é m- s e x (^1) D o i s s u b i n t e r v a l o s : [ a, x 1 ] [ x 1 , b ] S e f ( x 1 ) = 0 e n t ão E = x (^1) S e n ão...

Método da Bissecção Senã o , a r ai z e sta r á no s ubi nte r va lo o nde a funç ão te m sina is o po st os no s po nto s ex tr em o s Se f(a).f(x 1 ) < 0 então E ϵ [ a , x 1 ] senão se f(a).f(x 1 ) > 0 então E ϵ [ x 1 , b ] f(X 1 ) O processo se repete até que o critério de parada seja satisfeito

Método da Bissecção Senã o , a r ai z e sta r á no s ubi nte r va lo o nde a funç ão te m sina is o po st os no s po nto s ex tr em o s Se f(a).f(x 1 ) < 0 então E ϵ [ a , x 1 ] senão se f(a).f(x 1 ) > 0 então E ϵ [ x 1 , b ] f(X 1 ) O processo se repete até que o critério de parada seja satisfeito

Método da Bissecção

 Considerações:

 As iterações não envolvem cálculos laboriosos

 Pode ser difícil encontrar um intervalo [a,b], tal que f(a).f(b) < 0,

em equações com raízes de multiplicidade par ou muito próximas

 A convergência é muito lenta

 Pode ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz

Método da Bissecção - EXEMPLO

 Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = ex^ + x, com erro ()

menor ou igual a 0,

Método da Bissecção - EXEMPLO

 Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = ex + x, com erro ()

menor ou igual a 0,

 f(0) = 1  f(-0,5) = 0,  f(-1) = -0,

 A raiz de f(x) ϵ [-1, -0,5]

Método da Bissecção - EXEMPLO

• a = -1 b = -0,
• x 1 = a + b / 2 = (-1 + (-0,5))/ 2 = -0,
• f(x 1 ) = f(-0,75) = -0,
• f(x 1 ) * f(a) > 0  -0,28 * -0,63 >
• a = x
• | b - a | = 0,25 > 0,
  •  <= 0,
• a = -0,75 b = -0, Método da Bissecção - EXEMPLO
• x 2 = (-0,75 + (-0,5)) / 2 = -0,
• f(x 2 ) = f(-0,625) = -0,
• f(x 2 ) * f(a) > 0  -0,09 * -0,28 >
• a = x
• | b - a | = 0,125 > 0,
  •  <= 0,
• a = -0,625 b = -0, Método da Bissecção - EXEMPLO
• x 3 = (-0,625 + (-0,5)) / 2 = -0,
• f(x 3 ) = f(-0,563) = 0,
• f(x 3 ) * f(a) < 0  0,01* -0,09 <
• b = x
• | b - a | = 0,063 > 0,
  •  <= 0,
• a = -0,625 b = -0, Método da Bissecção - EXEMPLO
• x 4 = (-0,625 + (-0,563)) / 2 = -0,
• f(x 4 ) = f(-0,594) = -0,
• f(x 4 ) * f(a) > 0  -0,04 * 0,01 <
• a = x
• | b - a | = 0,031 < 0,
  •  <= 0,