Baixe Resoluções de Exercícios de Álgebra Linear e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Exercício 44. b) Exercício 45. a) Exercício 46. a) Exercício 46. b) Exercício 44. a) Exercício 46. c) Resoluções dos exercícios das páginas 178 e 179 Exercício 46. g) Exercício 47. c) iv) Exercício 46. d) Exercício 46. e) Exercício 46. f) Exercício 47. a) Exercício 47. b) Exercício 47. c) i) Exercício 47. c) ii) Exercício 48. a) Exercício 48. b) Exercício 49. a) Exercício 49. b) Exercício 45. b) Exercício 47. c) iii) Exercício 47. c) vi) Exercício 47. c) v)
EXPOENTE
MM.
a) 1.º processo e
DA - DC = IDA | IDC cos (DA DC)
=axaxcos 60º=—
AD - DB = AD | IDE cos (AD,DB)
a
2
=gxaxcos 120º =—
2.º processo
> > > — a
DA -DC = DA xDl-0x, =
— — — — a
AD :DB =-AD xDl =-qx=—
+
22
< E > AA
EXPOENTE
b) Seja u'(a, b, c) um vetor não nulo, simultaneamen-
, — —
te perpendicular aos vetores r es.
>
ur=0 (abc): (1,2,1)-0 a+2b-c=0
-s
u-s=0 (1,b,c)-(2,1,-2)=0 |20+b-2c=0
's
c-=0+2b c=q
“heart “|
20+b-20-4b=0 b=0
Por exemplo, se c=1 obtém-se U'(1, 0,1).
Então, U'(1, 0,1) é um vetor normal ao plano defini-
do pelas retas re se (1, 0, -1) é um ponto do plano:
1x-1)+0(»-0)+1(2+1)=0
e x-1+72+1=0
e x+tz=0
Assim, o plano definido pelas retas re s é estrita-
mente paralelo ao plano de equação x+z=2.
< EI > AA
EXPOENTE
46.
a) O ponto A pertence ao plano xOy, pelo que A(x, y, O),
onde x e y representam números reais positivos.
Uma vez que o triângulo [04B] é equilátero, tem-
-se OA=0Be BA=OB.
Como B pertence à reta BD e ao eixo Oy, tem-se que
as suas coordenadas são (0, 4, 0) e, então, OB = 4.
Assim:
OA = OB Vx2+y2+02=4 2 +3"=16 |
o o Ss
pi me x2+32-8y+ 16=16 18-8»=0
—— x2+4=16 2=12 x=2V3 x=-2V3
e -| o o v |
y=2 0 ——— y=2 y=2
Logo, A(2V'3, 2, 0).
< E > AA
EXPOENTE
bJE(o, 0, 6)
ÃE = (-2V3,-2,6)
Logo, um sistema de equações paramétricas da
reta AE é:
x=-2V21
v=-2à AEIR
z=6+6A
< EE > AA
e) Seja u(a, b, c) um vetor não nulo, simultaneamen- EXPOENTE'
te perpendicular aos vetores AE e AB.
U-AÉ=0 ((abo-(-2V3-2,6)=0 ([-2V30-2b+6c=0
7-AB=0 labo-(2V320)=0 [-2/30+2b=0
2V'3a
3
-2V30-2N30+6c=0 Bc=4V'3a ce
Ed e
e
b=V3a b=V3a b=V3a
Assim, ufa V'3a, 2a ) qElR.
Por exemplo, se o =1, obtém-se U (1 va, né )
Então, U (a v3, 28 é um vetor normal ao plano ABE e (2V'3, 2,0) é um ponto do plano:
14-23) + V3p-2) + 28 (-0)=06 2-2V3+V3-2V3+ 2 2=0
e x+V3y+ 2a z-4V3=0
> AA
EXPOENTE
f) Um vetor diretor da reta é o vetor normal ao plano
ABE de coordenadas (1. vs, ns,
Assim, uma equação vetorial da reta perpendicular
ao plano ABE e que contém o ponto O é:
(,72)= (9.0.0) +41 1,V3, DE ren
< E > AA
EXPOENTE
g) O lugar geométrico d dos pontos P(x, y, z) que satis-
fazem a condição BE -MP=0é0 plano mediador
do segmento de reta [BE].
=(0,0,6)-(0,4,0) = (0,-4,6)
“(0+0 0+4 6+01
M=[ o )=10.2.3
BE -MP=0 & (0,-4,0) (xy-22-3)=
& 4,+8+6-18=0
e -4y+62-10=0
S&S -2»+37-5=0
< E > AA
EXPOENTE
e)
D BG =(2,4,2V2)-(4,2,0) = (-2,2,2V2)
Um vetor diretor da reta BG é, por exemplo,
(1,1,V2) 3 (= À só)
Assim, uma equação vetorial da reta BG é:
(1,72) =(4,2,0) + k(-1,1,V2), kS IR
< E > AA
EXPOENTE
FÉ =(0,2,22)-(4,2,2W2) = (-4,0,0)
Assim, as equações cartesianas da reta FH são
y=2 A 2= 22.
< EI > AA
EXPOENTE
ii) FG = (2,4,2V2)-(4,2,2N2) =(-2,2,0)
Assim, uma equação vetorial do reta paralela à
reta FG e que passa na origem do referencial é:
(,7,27)=(0,0,0)+k(-2,2,0), kE IR
< EE > AA
EXPOENTE
vil FG =(2,4,2N2)-(4,2,2N2)=(-2,2,0)
-2(x-0)+2(-0)+0(2-0)=0 & -2x+2y=0
< E > AA
EXPOENTE
48.
a) Um vetor diretor da reta r é 7 (4 à 1| e um vetor
normal ao plano o é n'(2, 4, 1).
Ora, FP - 7=5+ 2-1=5, pelo que a reta não é
paralela ao plano «, ou seja, a reta r é concorrente
ao plano «.
< E > AA
EXPOENTE
b) Os pontos da reta r são da forma E + & 2+ á 2+ e)
sendo k um número real.
Substituindo na equação do plano:
k k
2x(1+g)ra(2+5)-2+6=-4
- 2+54+B42-2-k=-4
3 =
o 285 2
& k=-B
Então, o ponto de interseção da reta r com o plano à
tem coordenadas:
Ba Bs aaa 94
(1-4? 2d 8) (1,-2,-8)
< EE > AA
