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Universidade Federal do Piauí- UFPI
Universidade Aberta do Piauí-UAPI
Centro da UAPI Luzilândia-Pi
Álgebra I
Aluna: Joselina 10L
Respostas do Trabalho de Álgebra I
1ª Questão (a): Tomemos elementos de x *, temos que:
( ) Vale a Reflexiva, pois: x *
Simétrica: x *, tal que:
Transitiva: x *, temos: (1)
(2)
Daí de (1) e (2) temos que n
m b
a
Logo, por e a sentença dada é uma relação de equivalência.
Determinar ( 1 , 0 )
Não existe a classe para esse elemento, pois ( 1 , 0 ) x *^ como pede a definição.
1ª--(b) Tomando elementos genéricos de , então são válidas: ( ) a Reflexiva , pois temos 2 + 2 = 2 + 2 ; ( ) Simétrica: , tal que 2 + 2 = 2 + 2 2 + 2 = 2 + 2 . Transitiva: , tal que 2 + 2 = 2 + 2 e ) 2 + 2 2 + 2 , e daí, 2 + 2 = 2 + 2 ). Logo, a relação dada é uma relação de equivalência em.
Vamos, agora, encontrar a classe 1 i : Para , temos 2 + 2 = 2 + 2 = 2; Para , temos 2 + )^2 = 2 + 2 = 2;
Portanto, 1 i = 2 + 2
2ª QUESTÃO:
a)
De fato: Como , então chamado elemento oposto de , tal que Então, adicionando tal elemento a ambos os membros da igualdade dada, vem: = e, pela propriedade elemento neutro da adição concluímos que c.q.p.
b) Se Com Efeito: Consideremos e tomemos o elemento opostos de. Adicionando esse valor a ambos os membros da igualdade dada temos: mas , logo,. C.q.p.
c) = De fato: Pelo elemento neutro da multiplicação temos que , logo é válido que: = Isto significa que é o inverso aditivo da. Uma vez que o inverso aditivo é único, concluímos que =. C.q.p.
d) Se De fato:
A igualdade dada pode ser reescrita como a
y a
x. Como vale o seguinte:
.... x. 1 y. 1 a
ya a
a xa a
a y a
x. E, pelo elemento neutro da multiplicação concluímos que , que
é o que queríamos provar.
3ª QUESTÃO a) mostrar que x y x y
De fato: x y x y x y x y então pela desigualdade triangular, temos:
x ( x y ) y x y y , isto é, x x y y x y x y y y x y x y x y x y que é o que queríamos provar
b) Mostrar que x y x y Com efeito: Basta observarmos que: x ( x y ) y x y y x y x y y y x y x y E de forma análoga que: y ( y x ) x y x x , comoy x x y , vem : y x y x y x x y x x y x x y , Multiplicando ambos os membros por -1 temos: x y x y
Daí vem: x y x y x y x y x y que é o que queríamos provar
Se , então e se , para elementos convenientes , e , Então , uma vez que e Sejam e h. Então e Como e , então Portanto, por e , é ideal de
6ª QUESTÃO a) ,. Solução:
b) Provar que o conjunto quociente denotado por tem exatamente os elementos, ou seja: . De fato: Vale a seguinte proposição: P) Dado , existe um, e somente um, tal que , com. Com Efeito, efetuando a divisão euclidiana de por obtemos o quociente e o resto. Temos: e , e daí segue que : ,. Concluímos daí, que é uma classe igual a , em que é o resto da divisão de por , com. Agora, suponhamos que existam duas classes, e , iguais em , representadas por elementos e , digamos por simplicidade , então: e. De , segue que e, portanto ; como , isso é impossível. Concluímos, portanto que é constituído por exatamente elementos distintos dois a dois, ou seja,
