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LISTA DE EXERCÍCIOS 3– ÁLGEBRA SUPERIOR I
Unidade 3: Grupos - Definições e exemplos, Homomorfismo e isomorfismo, grupos cíclicos, Classes laterais e o Teorema de Lagrange.
- Defina grupo.
Solução: Seja G um conjunto não vazio onde está definida uma operacão entre pares de G, denotada por:
∗ : G × G −→ G (x, y) 7 −→ x ∗ y
Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se são válidas as seguintes propriedades: para todo x, y, z ∈ G temos que:
(G1) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (associativa). (G2) ∃e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x (existência do elemento neutro). (G3) Para cada x ∈ G, ∃x′^ ∈ G tal que x ∗ x′^ = x′^ ∗ x = e ( existência do elemento inverso).
- Sejam (G, ∗) um grupo e a ∈ G. O conjunto gerado por a, denotado por, 〈a〉, é dado por 〈a〉 = {an; n ∈ Z}.
Prove que 〈a〉 é um subgrupo de (G, ∗). Solução: I. e ∈ 〈a〉, onde e é o elemento neutro de G. Por definição, a^0 = e. Logo, e ∈ 〈a〉. II. Se x ∈ 〈a〉, então x−^1 ∈ 〈a〉, onde x−^1 é o elemento inverso de x em G. Se x ∈ 〈a〉, tem-se que existe r ∈ Z tal que ar^ = x. Daí,
x−^1 = (ar)−^1 = a−r^ ∈ 〈a〉.
III. Se x, y ∈ 〈a〉, então x ∗ y ∈ 〈a〉. Se x, y ∈ 〈a〉 então existem r, s ∈ Z tal que ar^ = x e as^ = y. Daí, tem-se que
x ∗ y = ar^ ∗ as^ = ar+s^ ∈ 〈a〉, pois r + s ∈ Z.
- Seja Z 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} o grupo aditivo. Calcule os conjuntos gerados 〈 2 〉 e 〈 3 〉. Solução: (i)
2 0 = 0 2 1 = 2 2 2 = 2 + 2 = 4 2 3 = 2 + 2 + 2 = 6 2 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = 0 〈 2 〉 = {0, 2, 4, 6}
(ii)
3 0 = 0 3
1 = 3 3 2 = 3 + 3 = 6 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9 = 1 3 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 = 4 3 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 = 7 3 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 = 2 3 7 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21 = 5 〈 3 〉 = Z 8
- Conisere o grupo aditivo Z 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e responda os itens abaixo:
(a) Para cada x ∈ Z 7 calcule o conjunto gerado por x, 〈x〉. (b) Existe x ∈ Z 7 tal que 〈x〉 possui 5 elementos?
x 1 2 3 4
O(x)
- Seja (G, ∗) um grupo, com elemento neutro e. Para todo a ∈ G, existe a′^ ∈ G tal que a ∗ a′^ = a′^ ∗ a = e (a′^ é o inverso de a em (G, ∗), isto é, com respeito a operação ∗), é costume denotar a′^ por a−^1. Prove que:
(a) Seja θ ∈ G. Se a ∗ θ = a, para algum a ∈ G, então θ = e. (O elemento neutro e de um grupo (G, ∗) é único).
Solução:
θ = e ∗ θ = (a−^1 ∗ a) ∗ θ = a−^1 ∗ (a ∗ θ) = a−^1 ∗ a = e,
onde a−^1 é o inverso de a relativo à operação ∗. (b) Sejam a, β ∈ G. Se a ∗ β = e, então β = a−^1. (O elemento simétrico de cada elemento a de um grupo (G, ∗) é único).
Solução:
β = e ∗ β = (a−^1 ∗ a) ∗ β = a−^1 ∗ (a ∗ β) = a−^1 ∗ e = a−^1.
(c) Prove que e = e−^1.
Solução: Fica a cargo do aluno. (d) Para todo a ∈ G, tem-se que (a−^1 )−^1 = a.
Solução: Fica a cargo do aluno. (e) Sejam a, b, x ∈ G. Se a ∗ x = b, então x = a−^1 ∗ b.
Solução:
x = e ∗ x = (a−^1 ∗ a) ∗ x = a−^1 ∗ (a ∗ x) = a−^1 ∗ b.
(f) Para quaisquer que sejam a, b ∈ G, então (a ∗ b)−^1 = b−^1 ∗ a−^1.
Solução: Fica a cargo do aluno. (Use a unicidade do elemento simétrico). (g) Sejam a, x, y ∈ G. Se a ∗ x = a ∗ y, então x = y. Ou, se x ∗ a = y ∗ a, então x = y. (Todo elemento de G é regualar para a operação ∗).
Solução: Note que se a = e, não há o que fazer. Assim, se a ∗ x = a ∗ y
x = e∗x = (a−^1 ∗a)∗x = a−^1 ∗(a∗x) = a−^1 ∗(a∗y) = (a−^1 ∗a)∗y = e∗y = y.
ou, se x ∗ a = y ∗ a
x = x∗e = x∗(a∗a−^1 ) = (x∗a)∗a−^1 = (y∗a)∗a−^1 = y∗(a∗a−^1 ) = y∗e = y.
- Responda:
(a) Seja (G, ∗) um grupo. Dê uma condição suficiente e necessária para que um subconjunto H ⊂ G (H 6 = ∅) seja um subgrupo de (G, ∗).
Solução: H é subgrupo de (G, ∗) se, e somente se, para quaisquer a, b ∈ H, tem-se que (a ∗ b−^1 ) ∈ H. (b) Verifique se o subconjunto S = {x ∈ Q∗; x > 0 } é subgrupo do grupo multiplicativo (Q∗, ·).
Solução: Dados quaisquer x, y ∈ S, tem-se que x > 0, y > 0 e y−^1 > 0, onde y−^1 (é o inverso com relação a operação multiplicação em Q∗). Daí,
x · y−^1 > 0, isto é, x · (y−^1 ) ∈ S.
(c) Mostre que S = {cos(α) + i.sen(α); α ∈ R} é um subgrupo do grupo multiplicativo (C∗, ·).
Solução: Dados quaisquer u, v ∈ S, u = cos(α) + i.sen(α) e v = cos(β) + i.sen(β), temos que
u · v−^1 =
[
cos(α) + i.sen(α)
]
.[cos(β) − i.sen(β)] = = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β) +
[
sen(α) cos(β) − cos(α)sen(β)
]
.i = = cos(α − β) + i.sen(α − β) ⇒ (u · v−^1 ) ∈ S
onde u−^1 (é o inverso com relação a operação multiplicação em C).
- Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que:
(a) Se S 1 e S 2 são subgrupos de G, então S = S 1 ∩ S 2 é um subgrupo de (G, ∗).
Solução: Dados a, b ∈ S, temos que a, b ∈ S 1 e a, b ∈ S 2. Como S 1 e S 2 são subgrupos de S, então a ∗ b−^1 ∈ S 1 e a ∗ b−^1 ∈ S 2. Daí, a ∗ b−^1 ∈ S. Logo, S = S 1 ∩ S 2 é um subgrupo de G.
- Seja (G, ∗) um grupo e a ∈ G. Se O(a) = 2, ∀a ∈ G com a 6 = e, então G é abeliano. O(a) = 2 significa que a^2 = e, com a^2 = a ∗ a. Solução: De fato, como a^2 = e, ∀a ∈ G, temos que a = a−^1 , ∀a ∈ G. Daí, se x, y ∈ G então
(x ∗ y)^2 = e ⇔ (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = e ⇔ x−^1 ∗ (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = x−^1 ∗ e ⇔ ⇔ e ∗ y ∗ (x ∗ y) = x−^1 ∗ e ⇔ y ∗ (x ∗ y) = x−^1 ∗ e ⇔ ⇔ y−^1 ∗ y ∗ (x ∗ y) = y−^1 ∗ (x−^1 ∗ e) ⇔ x ∗ y = y−^1 ∗ x−^1 ⇔ x ∗ y = y ∗ x.
- Responda:
(a) Dados dois grupos (G, ∗) e (H, #), e uma função f : (G, ∗) −→ (H, #) de G em H. Sejam eG e eH os respectivos elementos neutros de G e H. Defina homomorfismo entre dois grupos (G, ∗) e (H, #).
Solução: Uma aplicação f : (G, ∗) −→ (H, #) é um homomorfismo de (G, ∗) em (H, #) quando
f(x ∗ y) = f(x)#f(y), ∀ x, y ∈ G.
(b) Mostre que f : C∗^ −→ R∗ + dada por f(z) = |z| é um homomorfismo, entre os grupos multiplicativos (C∗, ·) e (R∗ +, ·) ,onde se z = a + b.i, então |z| =
a^2 + b^2.
Solução: Fica a cargo do aluno. (c) Seja a ∈ Z. Mostre que a função f : Z −→ Z dada por f(n) = a.n é um homomorfismo entre o mesmo grupo aditivo (Z, +).
Solução: Fica a cargo do aluno. (d) Seja m ∈ Z, m > 1. Mostre que a função p : Z −→ Z dada por p(a) = a é um homomorfismo sobrejetor entre os grupos aditivos (Z, +) e (Z, +).
Solução: Fica a cargo do aluno. (e) Mostre que f : Z −→ C∗^ dada por f(n) = in^ é um homomorfismo, entre o grupo aditivo (Z, +) e o grupo multiplicativo (C∗, ·).
Solução: Fica a cargo do aluno.
- Sejam (G, ∗) e (H, #) dois grupos, e f : (G, ∗) −→ (H, #) uma aplicação. Responda:
(a) Seja f : (G, ∗) −→ (H, #) um homomorfismo. Defina o núcleo de f.
Solução: O núcleo de f é o conjunto dado por N(f) = {x ∈ G; f(x) = eg}. (b) Determine o núcleo do homomorfismo f : Z −→ Z dado por f(n) = a · n.
Solução: Fica a cargo do aluno. (c) Determine o núcleo do homomorfismo f : C∗^ −→ R∗ + dado por f(z) = |z|.
Solução: Fica a cargo do aluno. (d) Determine o núcleo do homomorfismo f : Z −→ C∗^ dado por f(n) = in.
Solução: Fica a cargo do aluno.
- Considere os grupos (R, +) e (R∗ +, ·) e a aplicação f : (R, +) −→ (R∗ +, ·) defi- nida por f(x) = ex. Mostre que f é um isomorfismo, isto é, é um homomorfismo bijetivo. (Dica: para mostrar a injetividade de f basta mostrar que N(f) = { 0 }, onde 0 é o elemento neutro de (R, +) e 1 é o elemento neutro de (R∗ +, ·).
Solução:
(i) Homomorfismo
f(x + y) = e(x+y)^ = ex.ey^ = f(x).f(y), ∀x, y ∈ R.
(ii) Injetivo
f(x) = f(y) ⇔ ex^ = ey^ ⇔ ex.e−y^ = 1 ⇔ ex−y^ = 1 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y.
(iii) Sobrejetivo De fato, dado y ∈ (R∗ +, ·), y > 0, daí existe x ∈ (R, +) tal que ex^ = y, basta tomar x = ln(y) ∈ R, pois y > 0.
- Defina sobre R^2 {(0, 0)} a operação ⊕ dada por
(a, b) ⊕ (c, d) = (ac − bd, ad + bc) para quaiquer, (a, b), (c, d) ∈ R^2.
Mostre que (R^2 , ⊕) é um grupo abeliano. Solução: Para mostrar que o conjunto acima com a operação dada é um grupo abeliano devemos provar que a operação acima satisfaz a associatividade, a existência da identidade, a existência do inverso e a comutatividade.
- Quais são os subgrupos do grupo aditivo (Z 2 ×Z 2 ×Z 2 , +), onde Z 2 ×Z 2 ×Z 2 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, com a ope- ração usual de adição? r.
Solução: Pelo teorema de Lagrange os possíveis subgrupos do grupo aditivo Z 2 × Z 2 × Z 2 devem ter n elementos, onde n é divisor de 8 (|Z 2 × Z 2 × Z 2 | = 8 elementos). Portanto, os possíveis valores que n pode assumir são 1, 2, 4 e 8.
n Subgrupo
1 {(0, 0, 0)}
2 {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}, {(0, 0, 0), (1, 0, 0)}, ...
4 Não possui
8 Z 2 × Z 2 × Z 2 Encontre todos os subgrupos de ordem 2.
Bom Trabalho!
