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Módulo 1
Teoria na prática
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Mão na massa
Questão 1
A alternativa C está correta.
Comentário: Veja que, no lançamento de uma moeda 4 vezes, os possíveis valores de
X são 0, 1, 2, 3 e 4.
Questão 2
A alternativa B está correta.
Comentário: Para determinar o valor esperado de X, precisamos inicialmente apontar a
distribuição de probabilidade de X, ou seja, definir a probabilidade de cada um dos possíveis
valores de X. Para facilitar o cálculo dessas probabilidades, considere o seguinte espaço amostral
associado ao experimento de lançar 4 moedas:
Daí,
X 0 1 2 3 4
P(X = x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/
Simplificando o resultado das probabilidades, temos:
X 0 1 2 3 4
P(X = x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/
Assim, o valor esperado de X é dado por:
Questão 3
A alternativa D está correta.
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
A alternativa A está correta.
Comentário: Para calcular o ganho esperado, basta aplicar a fórmula da esperança matemática:
Questão 5
A alternativa E está correta.
Comentário: Observe que a função de distribuição acumulada é dada por:
𝑋
0 , se 𝑥 < 0 𝑃(𝑥 < 0 ) = 0
0 , 1 , se 0 ≤ 𝑥 < 1 𝐹
𝑋
0 , 4 , se 1 ≤ 𝑥 < 2 𝐹
𝑋
0 , 8 , se 2 ≤ 𝑥 < 3 𝐹
𝑋
1 , se 𝑥 ≥ 3 𝐹
𝑋
Questão 2
A alternativa D está correta.
Comentário: Considere a variável aleatória D: “Despesa com disciplina”. Então, para
uma disciplina, o estudante terá uma despesa de R$300,00, para duas disciplinas terá
uma despesa de R$600,00, e assim por diante, de forma que a distribuição de
probabilidade de X é dada por:
D 300 600 900 1200
P(D = d) 1/8 3/8 3/8 1/
Daí,
Logo, a despesa esperada será de R$885,00.
Módulo 2
Teoria na prática
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Mão na massa
Questão 1
A alternativa D está correta.
Comentário: Note que a variável aleatória 𝑋 se caracteriza como uma distribuição de
Bernoulli, pois temos uma única tentativa de um experimento, nesse caso, o lançamento do
dado, com dois resultados possíveis, sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso
quando o resultado for ímpar. Além disso, sabemos que o valor esperado da distribuição de
Bernoulli é p, que é a probabilidade de sucesso, portanto, a resposta é 1 / 2 , visto que 𝑝 =
Questão 2
A alternativa B está correta.
Comentário: Seja X: “Obter cara no lançamento de uma moeda”. Veja que esse experimento
se caracteriza como uma distribuição binomial, visto que temos 10 tentativas sucessivas e
independentes de um experimento, que nesse caso é o lançamento da moeda. Além disso, só
temos dois resultados possíveis para a variável aleatória que conta o número de caras, sucesso
com probabilidade p = 1/2 e fracasso com probabilidade q = 1/2. Assim,
𝑥
𝑛−𝑥
Daí,
2
8
Verificando o aprendizado
Questão 1
A alternativa E está correta.
Comentário: Seja a variável aleatória X: “O motor funcionar”. Assim, calcular a
probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a probabilidade que
nenhum funcione. Daí,
0
20
Questão 2
A alternativa D está correta.
Comentário: Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de itens não
conformes. Dessa forma, podemos dizer que X segue um binomial (n, p = 0,01).
Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no mínimo um item não
conforme na amostra seja de, no mínimo, 0,90.
0
𝑛
𝑛
Para resolver essa desigualdade, aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da
desigualdade. Assim,
ln
𝑛
≤ ln
ln
ln
Módulo 3
Teoria na prática
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Mão na massa
Questão 1
A alternativa A está correta.
Comentário: Veja que o problema trata do número de tentativas para se obter um evento pela
primeira vez. Portanto, possui a característica da distribuição geométrica. Seja X a variável
aleatória que representa o número de tentativas até a ocorrência da primeira face dois. Então,
X~G(p=1/6) e vimos que:
Se X é uma geométrica ⇒ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑞
𝑥− 1
Daí,
5
6
3
1
6
Questão 2
A alternativa C está correta.
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 3
A alternativa D está correta.
Comentário: Sabendo que a variável aleatória 𝑋 da questão anterior tem distribuição
geométrica com parâmetro 𝑝 = 1 / 3. Temos:
Questão 6
A alternativa A está correta.
Comentário: Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior segue uma distribuição
hipergeométrica com parâmetros N=150, r=15 e n=30, tem-se:
Daí, 𝑝 =
15
150
= 30 × 0 , 01 = 0 , 3.
Verificando o aprendizado
Questão 1
A alternativa B está correta.
Comentário: Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o
passageiro terá que passar no raio-X para a moeda ser detectada pela primeira vez.
Então, 𝑋~𝐺
. Daí,
2
Questão 2
A alternativa C está correta.
Comentário: Seja X a V.A. que representa as vagas de idosos nesse estacionamento.
Portanto, X é uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=180, r=30 e n=20.
Assim,
Questão 3
A alternativa D está correta.
Comentário: Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
A alternativa E está correta.
Comentário: Observe que, se em 5 páginas a média λ é igual a 3, portanto, em uma página,
teremos 3/5 erros. Assim,
− 3 / 5
0
− 3 / 5
1
Questão 5
A alternativa A está correta.
Comentário: Seja a variável aleatória X: “Reclamações por hora”. Logo, 𝑋~𝑃
. No
entanto, o problema pede a probabilidade que receba apenas uma reclamação em 10 minutos.
Portanto, em 10 minutos, λ = 5/6. Assim,
− 5 / 6
1
Questão 6
A alternativa E está correta.
Comentário: Observe que a questão poderia ser resolvida por meio de uma distribuição
Binomial, pois temos que a variável aleatória, digamos X, representa o número de defeitos
(sucessos) nas visitas, isto é, 𝑋~𝐵(𝑛 = 1000 , 𝑝 = 0 , 01 ). Dessa forma, a solução poderia ser
obtida por:
0
1000
1
999
1
999
Note que quanto maior o valor de x a calcular, mais trabalhoso seria o montante dos cálculos.
Além disso, teríamos que trabalhar com os fatoriais das combinações. Dessa forma, para facilitar
os cálculos poderíamos usar a distribuição de Poisson para resolver esta questão. Nesse caso,
consideraremos a aproximação da distribuição Binomial pela distribuição de Poisson, bastando
fazer λ = np = 1000 x 0,01 = 10. Assim,
− 10
0
− 10
1
− 10
2
Observe que os resultados são bem aproximados.
Verificando o aprendizado
Questão 1
A alternativa B está correta.
Comentário: Seja a variável aleatória X: “Incidência da doença por habitante”. Veja que
. Portanto, em uma cidade de 500.000 habitantes, X será uma Poisson com
λ = 5. Assim,
− 5
2
Questão 2
A alternativa A está correta.
Comentário: Veja a probabilidade de uma lâmpada queimar com probabilidade 0,01 e
poderíamos resolver utilizando a distribuição binomial. No entanto, para evitar,
usaremos a distribuição de Poisson com λ = 100.
− 50
40
