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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
(base: Fundamentos de Física – Mecânica; Halliday e Resnick, 9ª Edição.) CAPÍTULO 4 – Movimento em Duas e Três Dimensões 4-1 Posição e Deslocamento
A localização de uma partícula pode ser dada pelo vetor posição r ⃗, que, na notação de vetores
unitários é escrito:
r ⃗ = x i ^ + y^ j + z k ^
Os coeficientes x, y e z fornecem a localização da partícula em relação à origem ao longo dos eixos de coordenadas.
Quando a partícula se move, o vetor posição varia. Se o vetor posição varia de ⃗ r 1 para ⃗ r 2 , em
determinado intervalo de tempo, o deslocamento será dado por:
Δ r ⃗^ = ⃗ r 2 - ⃗ r 1 ou Δ r ⃗^ = (xx 2 ^ i^ + y 2 ^ j^ + z 2 ^ k ) - (xx 1 i ^^ + y 1 ^ j^ + z 1 k ^ )
4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea No caso de uma grandeza bidimensional ou tridimensional devemos considerar essas grandezas
como vetores e usar a notação vetorial. Se uma partícula sofre um deslocamento Δ r ⃗ em um
intervalo de tempo Δt, a velocidade médica ⃗ v méd é dada por:
⃗ v méd =
Δ r ⃗
Δt
Quando falamos da velocidade de uma partícula, em geral estamos nos referindo à velocidade
instantânea ⃗ v em um certo instante. Esta velocidade é o valor para o qual tende a velocidade ⃗ v
méd quando o intervalo de tempo tendo para zero. Podemos escrever como a derivada de^ ⃗ v :
⃗ v =
d ⃗ r
dt
4-3 Aceleração Médica e Aceleração Instantânea
Quando a velocidade da partícula varia de ⃗ v 1 para ⃗ v 2 em um intervalo de tempo Δt, a aceleração
média durante este tempo é:
⃗ a méd =
v 2 − ⃗ v 1
Δt
Quando fazemos Δt tender a 0, podemos obter a velocidade instantânea:
⃗ a =
d ⃗ v
dt
Se o módulo ou a orientação da velocidade variam, a partícula possui uma aceleração. 4-4 Movimento Balístico Um caso especial de movimento bidimensional: uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial v 0 e com uma aceleração constante, igual à aceleração de queda livre g , dirigida para baixo. Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil (o que significa que é projetada ou lançada) e o movimento é chamado de movimento balístico. Vamos analisar o problema sem levar em consideração a influência do ar. O projétil é lançado
com uma velocidade ⃗ v 0 que pode ser descrita como:
As componentes v0x e v0y podem ser calculadas se conhecermos o ângulo θ 0 entre ⃗ v 0 e o
semieixo x positivo, assim: Durante o movimento, o vetor posição e a velocidade mudam continuamente, mas a aceleração é constante e dirigida para baixo. O projétil NÃO POSSUI aceleração horizontal. O movimento vertical e o movimento horizontal são independentes, um não afeta o outro. Essa propriedade permite decompor um problema em dois, um para o movimento horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo). 4-5 Análise do Movimento Balístico 4-5-1 Movimento Horizontal Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal vx da velocidade de um projétil permanece inalterada e igual ao valor inicial V0x durante todo o percurso. Em qualquer instante, o deslocamento horizontal em relação à posição inicial com a = 0 é dada por: , com v0x = v 0 cos θ 0 , temos 4-5-2 Movimento Vertical O movimento vertical é um movimento já discutido, o mesmo para uma partícula em queda livre. Assim, para encontrar o deslocamento temos: E para a velocidade podemos adaptar a equação da velocidade ou Torricelli:
(vetores velocidade e aceleração em uma partícula) O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade possui o mesmo sentido que o movimento. A aceleração associada ao movimento é chamada de aceleração centrípeta, pois está sempre na direção radial apontando para o centro da circunferência. O modelo dessa
aceleração a ⃗ é:
ac =
v
2
r
(xaceleração centrípeta)
Durante essa aceleração com velocidade escalar constante, a partícula percorre a circunferência completa (distância 2πr) em um intervalo de tempo dado por:r) em um intervalo de tempo dado por:
T =
2 πrr
v
O parâmetro T é chamado de período e é o tempo que a partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada. Demonstração: a velocidade v de uma partícula em movimento é sempre tangente à
trajetória da partícula na posição considerada. Na Fig. 4-17(a), isso significa que ⃗ v é
perpendicular a uma reta r (raio). Nesse caso, o ângulo θ que ⃗ v faz com uma reta
vertical passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x.
Em termos de componentes, ⃗ v pode ser escrita na forma:
4-7 Movimento Relativo em Uma Dimensão A velocidade de uma partícula depende do referencial de quem está observando e, para nossos propósitos, um referencial é um objeto em que fixamos um sistema de coordenadas. Suponha que Alexandre (A - Referencial) esteja parado observando um carro (P - partícula) passar. Bárbara (B – Referencial) está dirigindo com uma velocidade constante e observa P. De acordo com a figura 4-18, xpa = xpb + xba
