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Álgebra linear
Vetores bi, tri e n-dimensionais
Vetores comumente representados por flechas, as quais sua direção e sentido
representam também a direção e sentido dos vetores. Além de poder ser entendido que o
ponto de onde parte a flecha é o ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é seu ponto final e
seu tamanho também corresponderia ao tamanho do vetor.
De modo que, se quisesse um vetor V vai de A a B, seria escrito: 𝑉 =𝐴𝐵
Vetores equivalentes : São vetores com mesmo comprimento, direção em sentido, porém em
locais/posições diferentes, podendo ser dito vetores equivalentes como iguais.
Vetores nulos : São vetores cujo ponto inicial e final coincidem, logo tem comprimento 0
(sendo assim denotado pelo próprio número 0), assim não possui direção ou sentido natural,
então assumimos que tem a direção e o sentido que nós convir.
Operações
Adição
Regra do paralelogramo : Se A e B forem vetores os quais seus pontos iniciais coincidem, eles
formam lados de um paralelogramo de modo que a soma de seus comprimentos resulta num
vetor se comprimento C que parte do ponto inicial a um ponto comum a A e B.
Regra do triângulo: Se A e B são vetores de modo que o ponto inicial e B coincide com o ponto
final de A e vice e versa, a soma dos comprimentos de A e B resulta no vetor de comprimento
C que parte do ponto inicial de A até o ponto final de B.
Translação: As adições anteriores podem ser entendidas como translações, de modo que C é o
ponto que resulta da translação do ponto terminal de A na direção e sentido de B a uma
distância igual a B, ou, C é o ponto que resulta da translação do ponto terminal de B na direção
e sentido de A a uma distância igual a A.
Subtração
Primeiro, o negativo de um vetor é o próprio vetor com o sentido oposto, sendo o negativo de
um vetor V representados por - V. Já considerando a existência de um vetor D, a diferença
entre os vetores V e D é escrita como a soma da diferença, logo, D – V = D + (– V). Que pode
ser obtido pela regra do paralelogramo projetando o vetor negativo do vetor que se está
sendo subtraído, por exemplo:
A
B
A
B
V
- V
D
V
D
Multiplicação por um escalar
Se é utilizada quando se tem a necessidade de se mudar comprimento ou sentido de um vetor,
contudo o vetor não pode ser nulo. De modo que sendo V um vetor não nulo multiplicado por
uma constante K não nula, é denotado por KV, sendo o vetor resultante com direção de V e
sentido e comprimento de K.
Colineares e paralelos: Já se um vetor D com ponto inicial comum a V forem múltiplos
escalares um do outro, assumimos que ambos pertencem a uma mesma reta comum E. Além
de o vetor 0 não tenha sentido ou direção bem definidos, assim podendo ser considerado
paralelo a todos os vetores quando conveniente.
Lei da associatividade da adição vetorial
Diz que, não importa quais somemos primeiros ou modo que agrupemos os vetores terá o
mesmo resultado.
Sendo assim um modo de se expressar essa soma é ligar o ponto inicial de um vetor ao ponto
final de outro e se traçar um vetor do ponto inicial do primeiro ao ponto final do último (e1). Já
para x, y e z sendo tridimensionais e tendo ponto inicial comum o vetor da soma desses três
vai ser a diagonal do paralelepípedo que pode ser imaginado tendo esses três como arrestas
(e2).
Vetores com sistema de coordenadas
Se um vetor tiver ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas ele estará totalmente
determinado pelas coordenadas de eu ponto final. Tais coordenadas são os componentes do
vetor em relação ao sistema de coordenadas.
E1) Para o espaço bidimensional o ponto final de um vetor b é escrito como 𝑏 = (𝑏 1
2
E2) Para o espaço tridimensional o ponto final de um vetor t é escrito como 𝑡 = (𝑡 1
2
3
e1 z
y,
x y x,
e
y
x
1
2
b
y
x
z
1
2
3
t
E
E
Para a subtração segue o mesmo princípio já que a mesma é encarada como a soma das
diferenças. Sendo escrita como v - w = v + (-w)
A multiplicação por um escalar ocorre que, multiplica-se todos as coordenadas pelo escalar,
por exemplo:
1
2
𝑛
) gráfico 2
Definição 3: Se v= (V1, V 2 ,...,Vn) e w= (W1, W2,...,Wn) ão vetores em 𝑅
𝑛
e se k é um escalar
qualquer, definimos:
1
1
2
2
𝑛
𝑛
1
2
𝑛
1
2
𝑛
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Teorema 1 : Se u, v e w são vetores em 𝑅
𝑛
e se k e m são escalares, então:
a) u + v = v + u
b) (u + v) + w = u + (v + w)
c) u + 0 = 0 + u + u
d) u + (-u) =
e) k(v + w) = kv + kw
f) (k + m)v = kv + km
g) K(mu) = (km)u
h) 1u = u
Teorema 2: Se v é um vetor em 𝑅
𝑛
e se k é um escalar, então:
a) 0v=
b) K 0 = 0
c) (-1)v = - v
Definição 4 : Dizemos que um vetor w em 𝑅
𝑛
é uma combinação linear dos vetores V1, V2, ...,
Vr se w puder ser expresso na forma de
W = K1V1 + K2V2 + ...+ KrVr
2
2
1 𝑣
1
(𝑤
1
, 𝑤
2
)
(𝑣
1
, 𝑣
2
)
(𝑣
1
1
, 𝑣
2
2
)
1
1
2
2
(𝑣
1
, 𝑣
2
)
(𝑘𝑣
1
, 𝑘𝑣
2
)
Em que K1, K2 ...Kr, são escalares, denominados coeficientes escalares.
Os vetores escritos pela notação v = (V1, V2, ..., Vn), chamada de forma matriz linha, podem
ser escritos em forma de matriz coluna 𝑣 =
1
2
𝑛
, sendo anotação muitas vezes escolhida por
gosto desde que a natureza de um problema não exija uma específica.
Norma, produto escalar e distancia em 𝑹
𝒏
A norma (comprimento) de um vetor V é denotada pelo símbolo ||V||. Onde pelo Teorema de
Pitágoras, a norma de um vetor (V1 + V2) de 𝑅
2
é:
1
2
2
2
Definição 1: Se V = (V1, V2, ..., Vn) for um vetor em 𝑅
𝑛
, então a norma de V é denominada por
||V|| e pela formula
1
2
2
2
𝑛
2
Exemplo: Qual a norma de um vetor V=(- 2 +4+(-1)) em 𝑅
3
2
2
2
Teorema 1: Se v for um vetor em 𝑅
𝑛
e k um escalar qualquer, então
a)
b)
c)
Vetores de norma 1 denominados unitários são úteis para especificar uma direção e sentido
quando comprimento irrelevante. Ele pode ser obtido escolhendo um vetor não nulo com a
direção desejada e após isso através da relação 𝑢 =
1
‖ 𝑣
‖
𝑣 esse processo para obtenção de um
vetor unitário é denominado normalização de v.
Exemplo: Qual o vetor unitário que tem mesma direção e sentido de V=(4+4+2)
2
2
2
Ao se trabalhar vetores unitários com coordenadas em 𝑅
2
e em 𝑅
3
eles são denominados
vetores unitários canônicos.
O produto escalar revela uma informação sobre o ângulo que pode ser obtida reescrevendo a
formula como:
cos 𝜃 =
Com base na desigualdade que o ângulo obedece e nas propriedades da função cosseno, tem-
se que
a) 𝜃 é agudo se u. v > 0
b) 𝜃 é obtuso se u. v < 0
c) 𝜃 =
se u. v = 0
Exemplo: Qual o produto escalar dos vetores
= 1 e
= 9 que tem ângulo entre si igual
a cos 60 °
cos 𝜃 = 1. 9.
Para vetores em 𝑅
3
, sejam u = (U1, U2, U3) e v = (V1, V2, V3), não nulos com ângulo que o
obedeça a desigualdade, temos que a formula resulta em
2
2
2
cos 𝜃
A qual pode ser simplificada a:
u. v = U1V1 + U2V2 + U3V
Definição 4: Se u = (U1, U2, ..., Un) e v = (V1, V2, ..., Vn) forem vetores em 𝑅
𝑛
, então o produto
escalar de u e v é denotado por u. v e definido por
u. v = U1V1 + U2V2 + ... + UnVn
Exemplo: Calcule o produto escalar de u. v , sendo u = (2,4,5,3) e v = (1,1,2,3)
u. v = 2.1 + 4.1 + 5.2 + 3.3 = 2 + 4 + 10 + 9 = 25
No caso de u = v, temos a relação de 𝑣. 𝑣 = 𝑣
1
2
2
2
𝑛
2
2
Que fornece a formula para expressar o comprimento de um vetor em termos de um produto
escalar ‖𝑣‖ = √
Teorema 2: Se u, v, w forem vetores em 𝑅
𝑛
e se a for um escalar, então
a) u. v = v. u
b) u. (v + w) = u. v + u. w
c) a(u. v) = (au). v
d) v. v ≥ 0, sendo v. v = 0, somente se, v = 0
Teorema 3: Se u, v, w forem vetores em 𝑅
𝑛
e se a for um escalar, então
a) 0. v = v. 0 = 0
b) (u + v). w = u. w + v. w
c) U (v - w) = u. v – v. w
d) (u - v). w = u. w – v. w
e) a(u. v) = u. (av)
Para a noção do ângulo entre v e u em 𝑅
𝑛
começamos com a formula 𝜃 = arccos (
𝑢. 𝑣
‖𝑢‖‖𝑣‖
Porém essa formula o arco cosseno só estará definido se seu argumento obedecer a seguinte
desigualdade − 1 ≤
𝑢. 𝑣
‖ 𝑢
‖‖ 𝑣
‖
Assim tal desigualdade é valida para quaisquer vetores não nulos de 𝑅
𝑛
, sendo assim
conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz
Teorema 4: Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Se u = (U1, U2, ..., Un) e v = (V1, V2, ..., Vn) forem vetores em 𝑅
𝑛
, então
|u. v|≤ ||u|| ||v||
Geometria
Teorema 5: se u, v e w forem vetores em 𝑅
𝑛
, então
a) ||u + v||≤ ||u|| + ||v||
b) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
Teorema 6: Identidade do paralelogramo com vetores
Se u e v forem vetores em 𝑅
𝑛
, então
2
2
2
2
Teorema 6: Relação entre produto escalar e a norma de 𝑅
𝑛
Se u e v forem vetores em 𝑅
𝑛
com produto escalar, então
2
2
Hão varias formas de expressar produto escalar de vetores usando notação matricial.
Logo, se A for uma matriz n x n e u e v n x 1, então das propriedades da transposta obtêm-se as
formulas
𝑇
𝑇
Fornecendo ligação entre a multiplicação por uma matriz A n x n e a multiplicação por 𝐴
𝑇
O produto escalar nos fornece outro modo de calculo
Tendo A = {aij} como uma matriz m x r e B = {bij} uma matriz r x n, logo a ij-ésima entrada de
AB é escruta por aij bij, que é o produto escalar do i-ésimo vetor linha de A (air)com o j-ésimo
vetor coluna de B (brj). Assim, se r1, r2, ..., rm forem vetores linha de A e e1, e2, ...,en vetores
coluna de B, podemos escrever o produto matricial como
𝐴𝐵 = [
1
1
1
𝑛
𝑚
1
𝑚
𝑛
]
Aluno: Marcos Vinícius de Sousa Silva Matrícula: 496761 Turma: Eng. Mecânica 2020.
