Aula de álgebra LINEAR, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Álgebra Linear

Fco. Leonardo Bezerra M.

([email protected])

Aulas 1 e 2

Matrizes

• Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:
• Um elemento específico numa matriz pode ser localizado a partir de suas coordenadas de linha e coluna.

Tipos Especiais de Matrizes

 Matriz Quadrada: é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( m = n ).

• Para matrizes quadradas A m x m , dizemos que A é uma matriz de ordem m.

 Matriz Nula: é uma matriz em que aij = 0, para todo i e j.

 Matriz Linha: é uma matriz (vetor) que possui uma única linha ( m = 1).

 Matriz Identidade Quadrada: é uma matriz diagonal quadrada ( m = n ), onde aij = 1, para i = j e aij = 0, para todo i ≠ j.

 Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada ( m = n ), onde aij = 0, para i > j (todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos).

 Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada ( m = n ), onde aij = aji (os elementos acima da diagonal principal são uma reflexão dos elementos abaixo da diagonal principal).

Operações com Matrizes

 Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem, A m x n = [ aij ] e B m x n = [ bij ] , é uma matriz m x n , que denotamos A + B , cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Assim: A + B = [ aij + bij ] m x n

 Multiplicação por escalar: Seja A = [ aij ] m x n e k um escalar (número qualquer), então: k A = [ k aij ] m x n

Propriedades

 Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n , e os valores escalares k , k 1 e k 2 , temos:

• k (A + B) = k B + k A ;
• ( k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A ;
• 0 x A = 0 ;
• k 1 ( k 2 A ) = k 1 k 2 A.

Propriedades

 Dadas as matrizes A e B , temos:

• Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta ( A = A’ );

• A’’ = A ;

• (A + B)’ = A’ + B’;

• ( k A ) ’ = k A’.

 Multiplicação: Sejam A = [ aij ] m x n e B = [ bij ] n x p. Definimos AB = [ cuv ] m x p , onde:

• O produto só pode ser efetuado se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda;
• A matriz resultado, C = AB , será de ordem m x p (linhas da primeira x colunas da segunda);