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Definição
A derivada representa a equação da reta tangente a curva no ponto P(a, f(a)), dada pelo limite de h tendendo a 0:
A derivada de uma função f em uma variação é denotada como:
, com x próximo a 0, ou seja, a variação de x é infinitesimal. Além disso, a derivada é a taxa de variação de alguma coisa, isto é, é a taxa instantânea de variação de y em relação a x no intervalo x. A derivada não existe caso a função tenha uma quina - como é o caso da função - ; f(x) não é continua no ponto ou se a função tem uma tangente vertical em x=a. Toda função que dependa de uma variação , sendo que f(x) é a derivada de y(x);exemplo disso é a velocidade que é a primeira derivada do espaço ( e a aceleração que é a segunda derivada do espaço ( ). Teorema: se f for diferenciável em a, então f é contínua em a.
Regras de diferenciação
1 Derivada de uma constante:
2 Regra da Potência; n sendo positivo:
3 Regra da multiplicação por constante, se c for constante e f derivável:
4 Regra da soma: se f (x) e g (x)forem ambas diferenciáveis:
5 Derivada da função exponencial natural:
6 A regra do produto: se f(x) e g(x) forem diferenciáveis:
7 A regra do quociente: se f(x) e g(x) forem diferenciáveis:
8 Derivada de funções trigonométricas:
9 A regra da cadeia: Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F= f[g(x)] será derivável em x F’ será dada pelo produto:
F ’(x)= f’(g(x)).g’(x)
Na notação de Leibniz, se y= f(u)-função de fora- e u=g(x) – função de dentro- forem funções deriváveis, então:
10 Derivadas das funções trigonométricas inversas:
11 Derivadas de funções logarítmicas:
Se f’(x) em um intervalo, então f(x) é decrescente nesse intervalo.
4 Teste da derivada primeira (máximos e mínimos locais) Definição: Seja c um número crítico de uma função continua f(x); →Se o sinal de f’(x)mudar de + para – em c, então f tem um máximo local em c; →Se o sinal de f’(x) mudar de – para + em c então f tem um mínimo local em c; →Se o sinal de f’(x) não mudar em c, então não há máximo nem mínimo em c.
5 Teste da f’’(x) Teste da concavidade: →Se f’’(x) quando , então o gráfico de f(x) é côncavo paca cima no intervalo [a,b]; →Se f’’(x) quando , então o gráfico de f(x) côncavo para baixo no intervalo [a,b];
Teste da derivada segunda: Seja f’’(x) continua na proximidade de c: →Se f’(c)=0 e f’’(c) , então f(x) tem um mínimo local em c; →Se f’(c)=0 e f’’(c) , então f(x) tem um máximo local em c;
RESUMO DOS TESTES:
F’(x) Crescente ou decrescente F’(x) Crescente F’(x) Decrescente
F’’(x) Concavidade F’’(x) ↑ F’’(x) ↓
