DERIVADAS
ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e
longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os
matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e
cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por
cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o
conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis
surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.
Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas
cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas
algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um
grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os
cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar
determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir
daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por
outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já
conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções
definidas por relações entre variáveis.
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu
conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como
sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim
importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma
tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na
História da Matemática como o "Problema da Tangente".
Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar
uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva;
considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da
curva em direção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma
reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.
Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores
extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar
o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido
no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era
muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das
abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar
tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados.
Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a
considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat
