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Geometria (11.º ano)
Equa¸c˜oes de retas e planos
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
1.1. Sobre um ponto da reta CD sabemos que:
- pertence ao plano que cont´em a base [ABCD], e este ´e definido pela equa¸c˜ao x = 3, ent˜ao,
como qualquer ponto desta reta, tem abcissa 3;
- pertence ao plano CDE, pelo que verifica a equa¸c˜ao 5y + 2z − 62 = 0.
Assim, de entre as op¸c˜oes apresentadas, a ´unica que representa um ponto que verifica cumulativa-
mente as duas condi¸c˜oes ´e (3, 4 ,21), porque a abcissa ´e 3 e 5(4) + 2(21) − 62 = 0.
Resposta: Op¸c˜ao A
1.2. Como a reta EF ´e perpendicular ao plano CDE o vetor normal do plano,v⃗ (0, 5 ,2), tamb´em ´e um
vetor diretor da reta, e uma equa¸c˜ao da reta EF ´e:
(x,y,z) = (− 9 , 0 ,2) + k(0, 5 ,2), k ∈ R
E assim, um ponto gen´erico desta reta, tem coordenadas: (− 9 , 5 k,2 + 2k), k ∈ R
Como o ponto E ´e a interse¸c˜ao da reta EF com o plano CDE, substituindo as coordenadas
do ponto gen´erico da reta EF na equa¸c˜ao do plano CDE, obtemos o valor de k, correspondente ao
ponto F :
5(5k) + 2(2 + 2k) − 62 = 0 ⇔ 25 k + 4 + 4k − 62 = 0 ⇔ 29 k = 62 − 4 ⇔ k =
⇔ k = 2
Desta forma, temos que as coordenadas do ponto E s˜ao
= (− 9 , 10 ,6), e o
comprimento da aresta da base ´e:
EF =
p
2
2
2
Como os planos que contˆem as bases do prima s˜ao paralelas. Como a base [ABCD] est´a contida no
plano de equa¸c˜ao x = 3 e o ponto E tem abcissa −9, ent˜ao a base [EF GH] est´a contida no plano
de equa¸c˜ao x = −9, pelo que a altura do prima ´e:
AF = 3 − (−9) = 12
E assim temos que o volume do prisma ´e:
V = EF
2
× AF =
2
× 12 = 1392
Exame – 2025,
´ Ep. especial
- Como a base da pirˆamide ´e um quadrado de lado
6, e o volume ´e 4
6, podemos determinar a altura
M V da pirˆamide:
V[ABCDV ] =
× A[ABCD] × M V ⇔ 4
×
2
× M V ⇔ 4
× M V ⇔
= M V ⇔ M V = 2
Como a pirˆamide [ABCDV ] ´e regular, a reta perpendicular `a base que cont´em o v´ertice V tamb´em
cont´em o centro da base (M ). Assim, a reta M V , que cont´em ponto M ´e perpendicular ao plano ABC,
pelo que o vetor normal do plano ABC, (
u (2, − 1 ,1)), tamb´em ´e um vetor diretor da reta M V , e por
isso ´e definida pela equa¸c˜ao vetorial:
(x,y,z) = (2, − 1 ,3) + k(2, − 1 ,1), k ∈ R
Assim, um ponto gen´erico desta reta, tem coordenadas: (2 + 2k , − 1 − k , 3 + k) , pelo que o vetor
M V
´e da forma:
M V = V − M = (2 + 2k , − 1 − k , 3 + k) − (2, − 1 ,3) = (2k, − k,k), k ∈ R
E a respetiva norma ´e:
M V =
p
(2k)
2
2
2 ⇔ 2
p
4 k
2
2
2 ⇒
2
6 k
2
2
⇔ 4 × 6 = 6k
2 ⇔
⇔ 24 = 6k
2 ⇔
= k
2 ⇔ 4 = k
2 ⇔ k = ±
4 ⇔ k = 2 ∨ k = − 2
Como o ponto V tem abcissa positiva, o valor de k correspondente ´e 2, e as suas coordenadas s˜ao:
(2 + 2k , − 1 − k , 3 + k) =
k=
Exame – 2025, 2.ª Fase
3.2. Como o ponto C pertence ao plano mediador do segmento de reta [AB], vamos determinar uma
equa¸c˜ao deste plano:
(x − 4)
2
2
2 = (x − 2)
2
2
2 ⇔
⇔ x
2 − 8 x + 16 + y
2 − 4 y + 4 + z
2 = x
2 − 4 x + 4 + y
2 − 6 y + 9 + z
2
⇔ − 8 x + 16 − 4 y + 4 = − 4 x + 4 − 6 y + 9 + 6z + 9 ⇔ − 8 x − 4 y + 20 = − 4 x − 6 y + 6z + 22 ⇔
⇔ − 8 x + 4x − 4 y + 6y − 6 z + 20 − 22 = 0 ⇔ − 4 x + 2y − 6 z − 2 = 0 ⇔ − 2 x + y − 3 z − 1 = 0
Como as retas BC e DF s˜ao paralelas, o vetor diretor da reta DF tamb´em ´e um vetor diretor da
reta BC, que cont´em o ponto B, e por isso ´e definida pela equa¸c˜ao vetorial:
(x,y,z) = (2, 3 , − 3) + k(1, 1 , − 5), k ∈ R
E assim, um ponto gen´erico desta reta, tem coordenadas: (2 + k , 3 + k , − 3 − 5 k).
Como o ponto C ´e a interse¸c˜ao da reta BC com o plano mediador, substituindo as coordenadas
do ponto gen´erico da reta BC na equa¸c˜ao do plano mediador, obtemos o valor de k, correspondente
ao ponto C:
−2(2+k)+3+k−3(− 3 − 5 k)−1 = 0 ⇔ − 4 − 2 k+3+k+9+15k−1 = 0 ⇔ 14 k = − 7 ⇔ k = −
⇔ k = −
Desta forma, temos que as coordenadas do ponto C s˜ao:
Exame – 2025, 1.ª Fase
4.1. Como a equa¸c˜ao que define o plano que cont´em a base do cone ´e x + 2y − 8 = 0, o vetor normal deste
plano,u⃗ (1, 2 ,0), tamb´em ´e um vetor normal de qualquer plano paralelo ao plano da base do cone,
pelo que a equa¸c˜ao do plano que pretendemos definir ´e da forma:
x + 2y + d = 0
Como se pretende que o plano contenha o ponto de coordenadas (1, − 3 ,4),
podemos determinar o valor do parˆametro d, substituindo estas coordenadas,
na equa¸c˜ao anterior:
1 + 2(−3) + d = 0 ⇔ 1 − 6 + d = 0 ⇔ −5 + d = 0 ⇔ d = 5
u⃗
u⃗
E assim, uma equa¸c˜ao que define o plano paralelo ao plano que cont´em a base do cone e que passa
no ponto de coordenadas (1, − 3 , 5), ´e:
x + 2y + 5 = 0
Resposta: Op¸c˜ao C
4.2. Como os pontos A e B pertencem ambos ao plano definido pela equa¸c˜ao x − 2 y − 8 = 0, temos que:
- o ponto A tem ordenada e cota nulas, porque pertence ao semieixo positivo Ox, ou seja a sua
abcissa ´e: x A
− 2(0) − 8 = 0 ⇔ x A
- o ponto B tem abcissa e cota nulas, porque pertence ao semieixo positivo Oy, ou seja a sua
ordenada ´e: 0 − 2(y B
) − 8 = 0 ⇔ 2 y B
= 8 ⇔ y B
⇔ y B
Determinando as coordenadas do ponto M , ponto m´edio do segmento [AB], temos:
Como [AB] ´e um diˆametro da base do cone, e o cone ´e reto, o ponto m´edio do segmento de reta
pertence a reta M V , perpendiculara base do cone que cont´em o v´ertice. Assim, como o vetor
normal do plano que cont´em a base do cone,v⃗ (1, 2 ,0), tamb´em ´e um vetor diretor da reta M V , uma
equa¸c˜ao da reta M V ´e:
(x,y,z) = (4, 2 ,0) + k(1, 2 ,0), k ∈ R
Assim, as coordenadas do ponto V , s˜ao da forma (4 + k , 2 + 2k , 0) e como a sua abcissa tem menos
uma unidade do que a sua ordenada, obtemos o valor de k a que corresponde o ponto V , resolvendo
a equa¸c˜ao:
4 + k = 2 + 2k − 1 ⇔ 4 − 2 + 1 = 2k − k ⇔ 3 = k
Ou seja, as coordenadas do ponto V s˜ao
Exame – 2024,
´ Ep. especial
- Como a reta BC pertence ao plano que cont´em uma das bases do prisma, ´e
perpendicular aos planos que contˆem as faces laterais do prisma, em particular
ao plano ABF. Assim, o vetor diretor da reta BC tamb´em ´e um vetor normal
do plano ABF.
Assim, a equa¸c˜ao do plano ABF ´e da forma:
2 x + 3y + 6z + d = 0
E como o ponto A pertence ao plano, podemos determinar o valor do parˆametro d, substituindo as
coordenadas, na equa¸c˜ao anterior:
2(4)) + 3(−4) + 6(−3) + d = 0 ⇔ 8 − 12 − 18 + d = 0 ⇔ −22 + d = 0 ⇔ d = 22
E assim, a equa¸c˜ao do plano ABF , ´e 2x + 3y + 6z + 22 = 0.
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2024, 1.ª Fase
- Como o prisma ´e reto, as arestas laterais s˜ao perpendiculares `as bases do prisma, pelo que a reta EL
(que cont´em uma aresta lateral) ´e perpendicular ao plano ABF (que cont´em uma das bases). Assim,
observando que o vetor diretor da reta EL tamb´em ´e um vetor normal do plano ABF , temos que uma
equa¸c˜ao deste plano ´e da forma:
3 x + 4y + d = 0
E como o ponto A pertence ao plano, substituindo as suas coordenadas na equa¸c˜ao anterior, obtemos o
valor do parˆametro d:
3(4) + 4(0) + d = 0 ⇔ 12 + d = 0 ⇔ d = − 12
Ou seja, uma equa¸c˜ao do plano ABF ´e 3x + 4y − 12 = 0.
Como as retas EL e F G s˜ao paralelas (porque cont´em arestas laterais de um prisma reto), ent˜ao o vetor
diretor diretor do reta EL tamb´em ´e um vetor diretor da reta F G, pelo que, recorrendo ao ponto G,
obtemos uma equa¸c˜ao vetorial da reta F G:
(x,y,z) =
E assim, um ponto gen´erico desta reta, tem coordenadas:
12 + 3k ,
Como o ponto F ´e a interse¸c˜ao da reta F G com o plano ABF , substituindo as coordenadas do ponto
gen´erico da reta F G na equa¸c˜ao do plano ABF , obtemos o valor de k, correspondente ao ponto F :
3(12 + 3k) + 4
− 12 = 0 ⇔ 36 + 9k + 26 + 16k − 12 = 0 ⇔ 25 k = − 50 ⇔ k = −
⇔ k = − 2
Desta forma, temos que as coordenadas do ponto F s˜ao:
Exame – 2023, 2.ª Fase
8.1. Como as retas OD e AC s˜ao paralelas porque contˆem arestas laterais de um prisma reto, os respetivos
vetores diretores s˜ao colineares. Desta forma, podemos verificar que o vetor
(0, 4 ,3), ou
seja, ´e colinear com um vetor diretor da reta AC, e por isso ´e um vetor diretor da reta OD.
Temos ainda que, uma equa¸c˜ao da reta OD ´e (x,y,z) = (0, 0 ,0)+k
, k ∈ R, pelo que podemos
verificar que o ponto de coordenadas (0, − 4 , − 3) pertence `a reta OD porque
Assim, (x,y,z) = (0, − 4 , − 3) + k
, k ∈ R ´e uma equa¸c˜ao vetorial que define a reta OD.
Resposta: Op¸c˜ao B
8.2. Como a base [ABC] do triˆangulo est´a inscrita numa semicircunferˆencia de diˆametro [AB], ent˜ao o
triˆangulo ´e retˆangulo em C, e por isso a reta AC ´e perpendicular ao plano CBE.
Assim, o vetor
u = (0, 4 ,3), vetor diretor da reta AC ´e tamb´em um vetor normal do plano CBE,
pelo que este pode ser definido por uma equa¸c˜ao da forma 0x + 4y + 3z + d = 0, d ∈ R. Como o
ponto E pertence ao eixo Oy e OE = 12,5, temos que as suas coordenadas s˜ao (0; 12,5; 0), pelo que
podemos determinar o valor do parˆametro d na equa¸c˜ao do plano CBE:
0 + 4(12,5) + 3(0) + d = 0 ⇔ 50 + 0 + d = 0 ⇔ d = − 50
Pelo que uma equa¸c˜ao do plano CBE ´e 4y + 3z − 50 = 0.
Assim, as coordenadas do ponto C, podem ser determinadas pela interse¸c˜ao da reta AC com o
plano CBE. Assim, temos que as coordenadas de um ponto da reta AC s˜ao da forma (x,y,z) =
(10, 0 ,0) + (0, 4 k, 3 k) = (10, 4 k, 3 k), k ∈ R, e substituindo as coordenadas na equa¸c˜ao do plano, temos:
4(4k) + 3(3k) − 50 = 0 ⇔ 16 k + 9k = 50 ⇔ 25 k = 50 ⇔ k =
⇔ k = 2
Desta forma, substituindo o valor de k nas coordenadas do ponto da reta AC, (10, 4 k, 3 k), obtemos
as coordenadas do ponto C:
Exame – 2023, 1.ª Fase
- Como o ponto E pertence ao plano ADE, e o vetor
AB ´e um vetor normal do plano, as coordenadas do
vetor
AB s˜ao:
AB = B − A = (1, − 1 ,2) − (− 2 , 5 ,0) = (1 − (−2), − 1 − 5 , 2 − 0) = (3, − 6 ,2)
Assim, temos que a equa¸c˜ao do plano ADE pode ser da forma 3x − 6 y + 2z + d = 0
Para determinar o valor de d, na equa¸c˜ao do anterior, substitu´ımos as coordenadas do ponto A, porque
as estas verificam a equa¸c˜ao do plano, porque o ponto pertence ao plano:
3(−2) − 6(5) + 2(0) + d = 0 ⇔ − 6 − 30 + 0 + d = 0 ⇔ d = 36
Pelo que, uma equa¸c˜ao cartesiana do plano ADE ´e
3 x − 6 y + 2z + 36 = 0
As coordenadas de todos os pontos da reta dada, e em particular o ponto de interse¸c˜ao da reta com o
plano ADE, ou seja, o ponto E, para k ∈ R, s˜ao da forma:
(x,y,z) = (0, 0 ,3) + k(1, − 1 , − 1) = (0 + kk , 0 − k , 3 − k) = (k , − k , 3 − k)
Como o ponto de interse¸c˜ao da pertence ao plano ADE podemos determinar o valor de k substituindo
as coordenadas gen´ericas do ponto, na equa¸c˜ao do plano:
3(k) − 6(−k) + 2(3 − k) + 36 = 0 ⇔ 3 k + 6k + 6 − 2 k + 36 = 0 ⇔
⇔ 7 k + 42 = 0 ⇔ k =
⇔ k = − 6
Desta forma temos que as coordenadas do ponto E, s˜ao:
Exame – 2021, 2.ª Fase
11.1. Como se pretende identificar um plano perpendicular ao plano que cont´em a base do cone, ent˜ao
os respetivos vetores normais devem ser perpendiculares, pelo que calculamos os produtos escalares
entre os vetores normais dos planos definidos em cada uma das hip´oteses o vetor normal do plano
que cont´em a base do cone para encontrar um produtos escalares nulos e assim identificar planos
perpendiculares:
• (0, 4 , − 3).(0, 4 , − 3) = 0 + 4 × 4 + (−3) × (−3) = 16 + 9 = 25
• (3, 4 ,1).(0, 4 , − 3) = 3 × 0 + 4 × 4 + 1 × (−3) = 0 + 16 − 3 = 13
• (0, 3 ,4).(0, 4 , − 3) = 0 + 3 × 4 + 4 × (−3) = 12 − 12 = 0
• (1, 3 ,4).(0, 4 , − 3) = 1 × 0 + 3 × 4 + 4 × (−3) = 0 + 12 − 12 = 0
Assim, temos que apenas as equa¸c˜oes apresentadas nas op¸c˜oes (C) e (D) representam planos per-
pendiculares ao plano que cont´em a base do cone, pelo que resta verificar qual das duas equa¸c˜oes ´e
verificada pelas coordenadas do ponto (1, 2 , − 1), substituindo as suas coordenadas em cada uma das
equa¸c˜oes:
- 3(2) + 4(−1) = 18 ⇔ 6 − 4 = 18 ⇔ 2 = 18 (Proposi¸c˜ao falsa)
- 1 + 3(2) + 4(−1) = 3 ⇔ 1 + 6 − 4 = 3 ⇔ 3 = 3 (Proposi¸c˜ao verdadeira)
Ou seja a equa¸c˜ao x + 3y + 4z = 3 define um plano perpendicular ao plano que cont´em a base do
cone e passa no ponto de coordenadas (1, 2 , − 1)
Resposta: Op¸c˜ao D
- Como [P QRS] ´e um trap´ezio de bases [P Q] e [RS], as retas P Q e RS s˜ao
paralelas. Assim, o plano perpendicular a reta RS tamb´em ´e perpendiculara
reta P Q, pelo que o vetor
P Q ´e um vetor normal do plano pretendido.
P Q = Q − P = (− 2 , 1 ,1) − (1, − 1 ,2) = (− 2 − 1 , 1 − (−1), 1 − 2) = (− 3 , 2 , − 1)
Logo a equa¸c˜ao do plano ´e da forma:
− 3 x + 2y − z + d = 0
P Q
SR
E como o ponto P pertence ao plano, podemos determinar o valor do parˆametro d, substituindo as
coordenadas, na equa¸c˜ao anterior:
−3(1) + 2(−1) − (2) + d = 0 ⇔ − 3 − 2 − 2 + d = 0 ⇔ −7 + d = 0 ⇔ d = 7
E assim, a equa¸c˜ao do plano perpendicular `a reta RS e que cont´em o ponto P , ´e:
− 3 x + 2y − z + 7 = 0
Exame – 2021, 2.ª Fase
14.1. Como se pretende identificar uma reta perpendicular `a reta EF , e os respetivos vetores diretores
s˜ao perpendiculares, calculamos os produtos escalares entre os vetores diretores das retas de cada
uma das hip´oteses o vetor diretor da reta EF para encontrar um produtos escalares nulos e assim
identificar dire¸c˜oes perpendiculares `a reta EF :
• (− 3 , − 2 ,2).(2, − 3 ,0) = − 3 × 2 + (−2) × (−3) + 2 × 0 = −6 + 6 + 0 = 0
• (− 3 , − 2 ,2).(0, 3 , − 3) = − 3 × 0 + (−2) × 3 + 2 × (−3) = 0 − 6 − 6 = − 12
• (− 3 , − 2 ,2).(0, 3 ,3) = − 3 × 0 + (−2) × 3 + 2 × 3 = 0 − 6 + 6 = 0
• (− 3 , − 2 ,2).(2, 0 , − 3) = − 3 × 2 + (−2) × 0 + 2 × (−3) = −6 + 0 − 6 = − 12
Assim, temos que apenas as retas cujas equa¸c˜oes s˜ao apresentadas nas op¸c˜oes (A) e (C) s˜ao perpen-
diculares `a reta EF , pelo que resta verificar a qual das duas retas pertence o ponto E, substituindo
as suas coordenadas em cada uma das equa¸c˜oes:
- (7, 2 ,15) = (7, − 3 ,3) + k(2, − 3 ,0) ⇔
7 = 7 + 2k
2 = − 3 − 3 k
(condi¸c˜ao imposs´ıvel)
- (7, 2 ,15) = (7, − 10 ,3) + k(0, 3 ,3) ⇔
2 = −10 + 3k
15 = 3 + 3k
12 = 3k
12 = 3k
4 = k
4 = k
Ou seja, (7, 2 ,15) = (7, − 10 ,3) + 4(0, 3 ,3), pelo que o ponto E pertence `a reta definida pela equa¸c˜ao
(x,y,z) = (7, − 10 ,3) + k(0, 3 ,3),k ∈ R
Resposta: Op¸c˜ao C
14.2. Como as diagonais de faces opostas de come¸camos por determinar a equa¸c˜ao do plano ABG, para
determinar a ordenada do ponto B:
Como [ABCDEF GH] ´e um paralelep´ıpedo retˆangulo e a reta EF ´e perpendicular ao plano ABG,
ent˜ao o vetor diretor da reta (u⃗ = (− 3 , − 2 ,2)), ´e tamb´em um vetor normal do plano, pelo que a
equa¸c˜ao do plano ABG ´e da forma:
− 3 x − 2 y + 2z + d = 0
Como s˜ao conhecidas as coordenadas do ponto G ((6, 10 ,13), podemos determinar o valor de d,
substituindo as coordenadas na equa¸c˜ao anterior:
−3(6) − 2(10) + 2(13) + d = 0 ⇔ − 18 − 20 + 26 + d = 0 ⇔ d = 12
Assim temos que a equa¸c˜ao do plano ABG ´e − 3 x − 2 y + 2z + 12 = 0 e como o ponto B pertence ao
eixo Oy tem abcissa e cota nulas, pelo que a sua ordenada pode ser obtida a partir da equa¸c˜ao do
plano ABG:
−3(0) − 2 y + 2(0) + 12 = 0 ⇔ − 2 y + 12 = 0 ⇔ 12 = 2y ⇔
= y ⇔ 6 = y
Como as arestas paralelas de faces opostas de um paralelep´ıpedo retˆangulo s˜ao congruentes, podemos
calcular a medida do raio da superf´ıcie esf´erica:
r = BD = GE =
p
2
2
2
p
2
2
2
Assim, temos que a equa¸c˜ao reduzida da superf´ıcie esf´erica de centro no ponto B(0, 6 ,0) e que passa
no ponto D, ´e:
(x − 0)
2
2
2
2
⇔ x
2
2
2 = 69
Exame – 2021, 1.ª Fase
17.1. Determinando as coordenadas dos pontos A e B, com recurso `a equa¸c˜ao que define o plano ABC,
temos:
- Como o ponto A pertence ao eixo Oy, tem abcissa e cota nulas, e assim, a sua ordenada ´e:
3(0) + 4y + 4(0) − 12 = 0 ⇔ 0 + 4y + 0 = 12 ⇔ y =
⇔ y = 3
- Como o ponto B pertence ao eixo Ox, tem ordenada e cota nulas, e assim, a sua abcissa ´e:
3 x + 4(0) + 4(0) − 12 = 0 ⇔ 3 x + 0 + 0 = 12 ⇔ x =
⇔ x = 4
Assim, as coordenadas dos pontos A e B s˜ao, respetivamente, (0, 3 ,0) e (4, 0 ,0) e a distˆancia AB, ou
seja, a altura do cilindro, ´e:
AB =
p
2
2
2
p
2 − (−3)
2
Como o volume do cilindro (VC ) ´e igual a 10π podemos determinar BC, ou seja, a medida do raio
da base do cilindro:
VC = π × BC
2
× AB ⇔ 10 π = π × BC
2
× 5 ⇔
10 π
5 π
= BC
2
⇔ BC
2
BC> 0
BC =
17.2. Designado por Q o ponto do plano ABC que se encontra mais pr´oximo do
ponto P , ent˜ao a reta P Q ´e perpendicular ao plano ABC, pelo que o vetor
normal do plano ABC (
v = (3, 4 ,4))´e tamb´em um vetor diretor da reta P Q.
Assim, temos que uma equa¸c˜ao vetorial da reta P Q, ´e:
(x,y,z) = P + λ
v , λ ∈ R ⇔ (x,y,z) = (3, 5 ,6) + λ(3, 4 ,4), λ ∈ R
Assim, as coordenadas de todos os pontos da reta P Q, e em particular o ponto
do ponto Q, para λ ∈ R, s˜ao da forma:
v⃗
(x,y,z) = (3, 5 ,6) + λ(3, 4 ,4) = (3 + 3λ,5 + 4λ,6 + 4λ)
Como o ponto Q pertence ao plano ABC podemos determinar o valor de λ substituindo as coorde-
nadas gen´ericas do ponto, na equa¸c˜ao do plano:
3(3 + 3λ) + 4(5 + 4λ) + 4(6 + 4λ) − 12 = 0 ⇔ 9 + 9λ + 20 + 16λ + 24 + 16λ − 12 = 0 ⇔
⇔ 41 λ = 12 − 9 − 20 − 24 ⇔ 41 λ = − 41 ⇔ λ = −
⇔ λ = − 1
Desta forma temos que as coordenadas do ponto Q s˜ao:
Exame – 2020, 1.ª Fase
18.1. Substituindo o valor da ordenada do ponto A, y A
= 4 na equa¸c˜ao da reta r, podemos calcular o valor
de k, e depois, o valor da cota do ponto de interse¸c˜ao:
x = 1 + 0k
y = 2 + k
z = 1 + 5k
y=
x = 1
4 = 2 + k
z = 1 + 5k
x = 1
2 = k
z = 1 + 5 × 2
x = 1
k = 2
z = 1 + 10
x = 1
k = 2
z = 11
Ou seja, as coordenadas do ponto A s˜ao (1, 4 ,11)
Observando a equa¸c˜ao do plano α podemos verificar que u⃗ = (2, 3 , − 1)
´e um vetor normal do plano α, e tamb´em de todos os planos paralelos ao plano
α, cujas equa¸c˜oes s˜ao da forma:
2 x + 3y − z + d = 0
u⃗
u⃗
Como as coordenadas do ponto A s˜ao (1, 4 ,11), e este pertence ao plano pretendido, podemos deter-
minar o valor do parˆametro d, substituindo estas coordenadas, na equa¸c˜ao anterior:
2(1) + 3(4) − 11 + d = 0 ⇔ 2 + 12 − 11 + d = 0 ⇔ 3 + d = 0 ⇔ d = − 3
Logo, uma equa¸c˜ao do plano que ´e paralelo ao plano α e que passa pelo ponto A ´e:
2 x + 3y − z − 3 = 0
18.2. As coordenadas de todos os pontos da reta r, e em particular o ponto de interse¸c˜ao da reta r com o
plano α, para k ∈ R, s˜ao da forma:
(x,y,z) = (1, 2 ,1) + k(0, 1 ,5) = (1 + 0 × k , 2 + 1 × k , 1 + 5 × k) = (1 , 2 + k , 1 + 5k)
Como o ponto de interse¸c˜ao da pertence ao plano α podemos determinar o valor de k substituindo
as coordenadas gen´ericas do ponto, na equa¸c˜ao do plano:
2(1) + 3(2 + k) − (1 + 5k) − 9 = 0 ⇔ 2 + 6 + 3k − 1 − 5 k − 9 = 0 ⇔
⇔ 2 + 6 + 3k − 1 − 5 k − 9 = 0 ⇔ − 2 k − 2 = 0 ⇔ − 2 k = 2 ⇔ k =
⇔ k = − 1
Desta forma temos que as coordenadas do ponto de interse¸c˜ao da reta r com o plano α, ou seja as
coordenadas do ponto P , s˜ao:
Exame – 2019,
´ Ep. especial
- Como a pirˆamide ´e quadrangular regular, considerando M o ponto centro da base, ou seja o ponto m´edio
do segmento [AC], temos que o vetor
M V ´e perpendicular ao plano que cont´em a base, ou seja, ´e um
vetor normal do plano que cont´em a base da pirˆamide.
Determinando as coordenadas do ponto M , temos:
x A
y A
z A
Calculando as coordenadas do vetor
M V , temos:
M V = V − M = (3, − 1 ,2) − (1, 0 ,1) = (2, − 1 ,1)
Desta forma, a equa¸c˜ao do plano ´e da forma:
2 x − y + z + d = 0
E como o ponto A pertence ao plano, podemos determinar o valor do
parˆametro d, substituindo as coordenadas, na equa¸c˜ao anterior: x
O
y
z
B
D
V
A
C
M
2(2) − 1 + 0 + d = 0 ⇔ 4 − 1 + d = 0 ⇔ 3 + d = 0 ⇔ d = − 3
E assim, a equa¸c˜ao do plano ´e:
2 x − y + z − 3 = 0
Exame – 2019, 1.ª Fase
- Como o ponto P tem abcissa 1 (xP = 1), e ordenada 3 (yP = 3), substituindo estas coordenadas na
equa¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica, calculamos a cota (zP ):
(xP − 1)
2
2
2
= 10 ⇔ (1 − 1)
2
2
2
= 10 ⇔ 0
2
2
2
= 10 ⇔
⇔ (zP + 1)
2
= 10 − 1 ⇔ zP + 1 = ±
9 ⇔ zP = − 1 ± 3 ⇔ zP = − 4 ∨ zP = 2
Como a cota do ponto P ´e negativa, as coordenadas do ponto P s˜ao (1, 3 , − 4)
Como o plano ´e perpendicular `a reta r, vetor diretor da reta (v⃗ = (4, 1 , − 2)) ´e um
vetor normal do plano, e assim a equa¸c˜ao do plano ´e da forma:
4 x + y − 2 z + d = 0
E como o ponto P pertence ao plano, podemos determinar o valor do parˆametro d,
substituindo as coordenadas, na equa¸c˜ao anterior:
4(1) + 3 − 2(−4) + d = 0 ⇔ 4 + 3 + 8 + d = 0 ⇔ 15 + d = 0 ⇔ d = − 15
v⃗
E assim, uma equa¸c˜ao do plano que passa no ponto P e ´e perpendicular `a reta r, ´e:
4 x + y − 2 z − 15 = 0
Exame – 2018, 2.ª Fase
- Como o plano P QR tem equa¸c˜ao 2x + 3y − z − 15 = 0, um vetor normal do plano ´e
u = (2, 3 , − 1)
Como o prisma ´e regular ent˜ao as arestas laterais s˜ao perpendiculares ao plano das bases, ou seja, a reta
P S ´e perpendicular ao plano P QR, e assim, o vetor normal do plano da base ´e tamb´em um vetor diretor
da reta P S, pelo que, considerando as coordenadas do ponto S(14, 5 ,0), temos que uma equa¸c˜ao vetorial
da reta P S ´e:
(x,y,z) = (14, 5 ,0) + λ(2, 3 , − 1), λ ∈ R
Assim, as coordenadas de todos os pontos da reta P S, e em particular o ponto P , para λ ∈ R, s˜ao da
forma:
(x,y,z) = P + λ⃗u = (14, 5 ,0) + λ(2, 3 , − 1) = (14 + 2λ,5 + 3λ, − λ)
Como o ponto P pertence ao plano P QR podemos determinar o valor de λ substituindo as coordenadas
gen´ericas do ponto, na equa¸c˜ao do plano:
2(14 + 2λ) + 3(5 + 3λ) − (−λ) − 15 = 0 ⇔ 28 + 4λ + 15 + 9λ + λ − 15 = 0 ⇔ 28 + 14λ = 0 ⇔
⇔ 14 λ = − 28 ⇔ λ =
⇔ λ = − 2
Desta forma temos que as coordenadas do ponto P s˜ao:
Assim, calculado a distˆancia entre os pontos P e S, temos:
P S =
p
2
2
2
p
2
2
2
Assim, calculando a ´area lateral, ou seja, das 6 faces laterais, e arredondando o resultado `as d´ecimas,
temos:
Alateral = 6 × P Q × P S = 6 × 4 ×
Exame – 2018, 1.ª Fase
- Como a base inferior do cilindro est´a contida no plano xOy ent˜ao os centros das duas bases tˆem abcissas
e ordenadas iguais. Como a cota do centro A ´e zero e a altura ´e 3, ent˜ao as coordenadas do ponto C s˜ao
Assim, calculando as coordenadas do vetor
BC, temos:
BC = C − B = (1, 2 ,3) − (1, 3 ,0) = (0, − 1 ,3)
E assim, uma equa¸c˜ao vetorial da reta com a dire¸c˜ao do vetor
BC e que contenha o ponto B, ou seja, a
reta BC, ´e:
(x,y,z) = (1, 3 ,0) + k(0, − 1 ,3),k ∈ R
O ponto de intersec¸c˜ao da reta BC com o plano xOz ´e o ponto da reta BC que tem ordenada nula, como
todos os restantes pontos do plano xOz.
Assim, substituindo y = 0 na equa¸c˜ao da reta, podemos calcular de k, e depois, o valor da cota do ponto
de interse¸c˜ao:
x = 1 + 0k
y = 3 − k
z = 0 + 3k
y=
x = 1
0 = 3 − k
z = 3k
x = 1
k = 3
z = 3 × 3
x = 1
k = 3
z = 9
Ou seja as coordenadas do ponto de interse¸c˜ao da reta BC com o plano xOz s˜ao (1, 0 ,9)
Exame – 2017,
´ Ep. especial
