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Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Número 42 (marzo 2011 – junio 2011)
ISSN – 1698-277X
ÍNDICE
Artículos, notas y lecciones de preparación olímpica 42
Abel y las ecuaciones integrales, por José Manuel Sánchez Muñoz
Algunas cónicas relacionadas con el triángulo, por Evgeniy Kulanin y Alexei
Myakishev.
Disquisitiones. Resolución de problemas, por Roberto Bosch Cabrera.
Problemas para los más jóvenes 42
Cinco problemas propuestos en el concurso nacional rumano Sperantze
Ramnicene, 9 de abril de 2011, nivel Junior. Agradecemos al prof. Neculai
Stanciu, de Buzau, su proponente, habernos facilitado los enunciados en
rumano, traducidos por el editor.
Problemas de nivel medio y de Olimpiadas 42
Cinco problemas de la 21ª Competición Matemática Húngaro-
Transilvana, 2011. Agradecemos al Prof. Mihaly Bencze, de Brasov, el
habernos facilitado los enunciados.
Problemas
Agradecemos al Prof. Bruno Salgueiro que nos advierte que una solución al
problema 84 aparece en el libro Teoría de juegos, de Ventsel, publicado por la
Editorial MIR.
Problemas propuestos 206-
Problemas resueltos
Presentamos soluciones a los problemas 21 y 38, que permanecían abiertos,
de Roberto Bosch Cabrera, Florida (U.S.A.), al tiempo que le pedimos excusas
por no habernos hecho eco de sus soluciones cuando publicamos las de estos
problemas que permanecían abiertos.
Presentamos una solución al problema 144, de Saturnino Campo Ruiz
(Salamanca, España), que por alguna razón no había llegado al editor, por lo
que le pedimos excusas al Prof. Campo.
Recibida una solución al problema 197, por Raúl A. Simón Elexpuru (Chile),
una vez publicado el número correspondiente.
Problema 201
Recibidas soluciones de: Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, España;
Saturnino Campo Ruiz, Salamanca, España; Gabriel Alexander Chicas Reyes, El
Salvador; Pedro Luis Clavería Vila, Zaragoza, España; Dones Colmenárez,
Barquisimeto, Venezuela; Mariela Lilibeth Herrera Ruiz, Maracay, Venezuela;
Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero,
España; Cristóbal Sánchez-Rubio García, Benicasim, España; y el proponente,
todas muy similares.. Presentamos la solución de Chica Reyes.
Problema 202
Recibidas soluciones muy similares de: Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA;
Gabriel Alexander Chicas Reyes, El Salvador; Daniel Lasaosa Medarde,
Pamplona, España; Jorge Mozo Fernández, Valladolid, España; Bruno Salgueiro
Fanego, Vivero, España; Cristóbal Sánchez-Rubio García, Benicasim, España; y
el proponente. Presentamos la solución de Bosch Cabrera.
Problema 203
Recibidas soluciones de: Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA; José Hernández
Santiago, Oaxaca, México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España;
Joaquín Rivero Rodríguez, Zalamea de la Serena, España; Bruno Salgueiro
Fanego, Vivero, España; Jorge Tipe Villanueva, Lima, Perú; y el proponente.
Presentamos las soluciones de Lasaosa, Rivero, Salgueiro y Tipe.
Problema 204
Recibidas soluciones de : Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA; José
Hernández Santiago, Oaxaca, México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona,
España; Joaquín Rivero Rodríguez, Zalamea de la Serena, España; Bruno
Desarrollada en el Centro de Altos Estudios Universitarios de la
OEI con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación
Internacional para el Desarrollo (AECID)
Editor: Francisco Bellot Rosado
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Curso iberoamericano de formación de profesores de secundaria
en el área de matemáticas Ñandutí
El curso está dirigido al profesorado de Enseñanza Secundaria en
ejercicio de cualquiera de los países iberoamericanos. Cualquier docente
de este nivel puede solicitar participar. No es necesario ningún tipo de
requisito previo salvo el impartir docencia en ese nivel que acreditará
cuando se le solicite. Tampoco es necesario poseer una formación previa
en el manejo de los medios informáticos porque, precisamente, uno de
los objetivos del curso es proporcionar esos conocimientos a quienes
estén dispuestos a formarse para la utilización de esos recursos. En este
sentido, habrá una unidad cero cuyo contenido va en esa línea.
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Abel y las Ecuaciones Integrales
José Manuel Sánchez Muñoz
6 de mayo de 2011
Resumen El nombre de Niels Henrik Abel tiene un lugar privilegiado en el Olim- po Matemático, al lado de nombres como Newton, Euler, Gauss, Cauchy o Riemann. A lo largo de su corta vida, realizó numerosas contribuciones matemáticas tan importantes como significativas. Aunque sus estudios se centraron fundamentalmente en el álgebra y el cálculo integral, su nombre será siempre asociado a algunas ramas del análisis, particularmente a la teoría de las ecuaciones integrales, cuyo desarrollo sistemático llevaron a cabo Volterra, Fredholm y Hilbert setenta años después de sus descubri- mientos.
Palabras Clave: Ecuaciones Integrales, Abel, Funciones Trascendentes, Quín- tica.
1. Introducción
Ofrecemos a nuestro lector una traducción de un artículo llamado “Auflö- sung einer mechanischen Aufgabe” que Abel publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), Vol. I, 1826, pp. 153–157; Oeuvres Complè- tes, Nouvelle édition par L. Sylow et S. Lie , Vol. I, 1881, pp. 97–101. Se trata de una versión revisada y mejorada de unos estudios anteriores con el nombre de “Solution de quelques problèmes a l’aide d’intégrales définies” , Magazin for Natur- videnskaberne, Aargang I, Bind 2, Christiania, 1823; Oeuvres Complètes. Vol. I, pp. 11–18.
Abel resolvió el famoso problema de la curva tautócrona mediante su re- ducción a una ecuación integral que desde entonces lleva su nombre. Su ele- gante solución necesita de una ligera modificación para ser presentada de una forma moderna. Esta solución y las fórmulas
φ ( x ) =
∫ (^) ∞
0
dq f ( q ) cos qx , f ( q ) =
π
∫ (^) ∞
0
dx φ ( x ) cos qx
dadas por Fourier^1 son quizás los primeros ejemplos de la expresión implícita de una función desconocida de una ecuación en la que esta función aparece en
(^1) “Théorie de mouvement de la chaleur les corps solides” Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France , Vol. 4, 1819–1820 (publicado en 1824) pp. 185–555 (489). Esta memoria fue presentada por Fourier en 1811 y fue premiada en 1812.
Fue el segundo de siete hermanos (seis niños y una niña). Cuando Niels te- nía sólo un año de edad, su padre fue designado pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Risør. Aquellos primeros años fueron tiempos difíciles, dado que Noruega pasaba por un época crítica para su desarrollo político y econó- mico. En el país dominaba la pobreza, el hambre, y la carestía. Antes en 1789 había comenzado la Revolución francesa, y años más tarde, el gran conquis- tador Napoleón en el apogeo máximo de su poder e influencia sobre Europa, había forzado a Noruega a la unión política con Dinamarca, y aunque ambas naciones pretendieron ser neutrales en el transcurso de las guerras que se des- encadenaron, sufrieron un fuerte ataque naval de Inglaterra en Copenhague (1801), y un bloqueo de la costa noruega en 1807, además de tener que afrontar posteriormente un enfrentamiento militar con Suecia (1813). Tras las guerras napoleónicas, dado que los noruegos habían realizado varios intentos de inde- pendizarse de Suecia sin éxito, su padre, un profundo nacionalista, y habida cuenta de su actividad política , fue considerado para ser elegido miembro en el cuerpo legislativo del Storting o Parlamento Noruego, encargado en 1814 de reescribir la constitución noruega con el fin de disolver la unión con Dinamarca y pactar la anexión a Suecia.
Cristianía en julio de 1814 Pintura de Margrethe Kristine Tholstrup
Unos años antes, Søren ha- bía llevado a cabo varias campa- ñas eficaces, como la fundación de la primera Universidad no- ruega en Cristianía (actual Os- lo) que tuvo lugar en 1811, la cual se pudo crear al proveerse de un cuerpo docente constitui- do por los mejores maestros de la Escuela Catedralicia de Cris- tianía (existente desde la Edad Media), inaugurando la docen- cia universitaria en 1813. Pero Noruega estaba inmersa en una profunda crisis, y el padre de Abel fue incapaz de resolver la precaria situación familiar, por lo que difícilmente pudo lograr escolarizar a su primogénito y a Niels Henrik.
Bernt Michael Holmboe
A la edad de trece años, en 1815, su hijo Niels ingresa- ría a duras penas en la Escuela Catedralicia de Cristianía, en la moderna ciudad de Oslo. La escuela tenía una inme- jorable reputación, pero acababa de perder a parte de sus mejores profesores que se habían mudado a la Universi- dad Real Frederik, lo que provocó que parte del entusias- mo intelectual de los alumnos de la Catedralicia se viera pronto frenado. Al principio de su instrucción, Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien me- diocre y sin que ni siquiera las matemáticas le desperta- ran atracción alguna. Sin embargo, afortunadamente, se produjo un inesperado cambio en su actitud tras la muer- te de un condiscípulo suyo ante los malos tratos recibidos por un maestro bru- tal que se excedía con métodos pedagógicos mediante castigos corporales a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven aunque capaci-
tado profesor matemático llamado Bernt Michael Holmboe (1795-1850), quien inició su misión motivando a sus alumnos para que resolvieran por sí mismos algunos problemas de álgebra y geometría. Supo así vislumbrar entonces el gran potencial de Abel, teniendo que escoger cuestiones especiales para él, a la vista de su enorme capacidad. Según coinciden varios historiadores, es en aquel momento crucial de la vida de Abel, cuando “se consagra a las matemáticas con la pasión más ardiente” , adquiriendo rápidamente un pleno conocimiento de las matemáticas elementales.
Bajo las enseñanzas de Holmboe, el joven Abel comenzó a familiarizarse con trabajos de mayor nivel como los de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo (obras que fueron textos universitarios durante más de cien años)^6 , Lagrange y Laplace. Registros Bibliotecarios, acreditan que durante su primer año univer- sitario, Abel había solicitado en préstamo, la Arithmetica Universalis y Principia Mathematica de I. Newton, Disquisitiones Arithmmeticae de C. F. Gauss, o Calcul de fonctions de J. L. Lagrange entre otras obras de grandes maestros. Años más tarde le preguntaron cómo pudo situarse tan rápidamente en primera fila, a lo que Abel replicó:
“...estudiando a los maestros, no a sus discípulos.”
Niels Henrik Abel (retrato original) Este es el único retrato de Abel que se hizo en vida. Se trata de un grabado realizado por Johan Gør- bitz en otoño de 1826 durante su estancia en Pa- rís. ©c Matematisk Institutt, Universidad de Oslo.
En esta época, la carrera política del padre de Abel acababa de forma ines- perada y trágica en Septiembre de 1818, expulsado del Parlamento debido a fal- sas acusaciones contra algunos de sus colegas. Inmerso en una profunda de- presión, Søren se había refugiado en la bebida como válvula de escape a sus problemas lo que le hizo enfermar gra- vemente. El padre de Abel fallecía sólo dos años después en 1820. En su fune- ral, su viuda Anne Marie Abel bebió en exceso y se fue a la cama con uno de sus sirvientes a la vista de todos los asisten- tes al acto. Esta pérdida sumiría a la fa- milia en una situación crítica, recayen- do sobre Abel una gran responsabilidad para su sustento, ya que su hermano mayor estaba incapacitado para trabajar por enfermedad. Su madre cayó en una profunda depresión difícil de superar lo que la hizo convertirse en una alcohóli- ca.
En 1821, a pesar de la precaria situación en la que vivían él y su familia, Abel logra ser matriculado en la Universidad Real Frederik y en atención a
(^6) A los 16 años, Abel generalizó el teorema del binomio formulado por Isaac Newton (y exten- dido luego a los números racionales por Euler), dando una prueba válida, no sólo para números enteros y racionales, sino también para los casos de exponentes irrarionales e imaginarios.
res matemáticos de Noruega (Christopher Hansteen, Søren Rasmussen,...) pu- dieron comprobar la veracidad de su conjetura, envió a través de Holmboe la presunta resolución al matemático profesor Ferdinand Degen en Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias de Dinamarca. Degen le contestó requiriéndole algún ejemplo numérico, y sin comprometerse a dar su opinión. Esa respuesta contenía la advertencia de que “estudiara las integra- les elípticas”^9. Fue entonces cuando Abel se puso a trabajar en la búsqueda de ejemplos, hallando más tarde un error en su razonamiento, lo que le suscitó su primera gran decepción, aunque este hecho le motivaría para reconducir su estrategia en la dirección correcta. Abel se dio cuenta de que su estrategia no era la adecuada y no había tenido éxito en su empresa y aparcó de momento el problema de la quíntica. Fue entonces cuando centró su atención y sus ener- gías en las integrales elípticas y se dio cuenta de que las funciones inversas de las integrales elípticas, esto es las funciones elípticas, tenían propiedades muy interesantes.
Con respecto a sus gustos, aficiones y carácter, Abel mostraba un gran inte- rés por el teatro, pero nulo por la música. A veces mostraba un espíritu impe- tuoso, mientras que otras entraba en profundas depresiones; todo esto sugiere que sufría cambios de humor con tendencias maníaco depresivas. Era muy modesto y aparentemente amable, y siempre estaba dispuesto a ayudar a sus amigos cuando fuera necesario. Abel no ofrecía nada notable en su aspecto ge- neral. Era de estatura media, complexión delicada y ojos azul claro, y vestía siempre con un atuendo simple y descuidado. Quizás lo único destacable de su carácter era que no resultaba ser una persona demasiado extrovertida. En 1822 conseguiría la graduación.
Residencia de estudiantes en Oslo
Durante su estancia en la Universidad, fueron los propios profesores quienes le ayudaron a su manuten- ción. Abel había encontra- do en cierto modo una aco- gida lo más similar posi- ble a un ambiente familiar en la casa del científico, ex- plorador, catedrático de Os- lo y profesor de Astrono- mía Christopher Hansteen, quien le había dado un te- cho en una habitación del ático de su vivienda, y consideraba a su esposa como una segunda madre, ya que ésta cuidó de él como si de un hijo se tratara, y en estos años difíci- les le ayudó enormemente. Abel publicó su primer artículo en una revista de Ciencias Naturales ( Magazin for Naturvidenskaben ) impresa en Noruega, y de la que Hansteen era uno de sus editores. Se publicaron algunos breves traba- jos de Abel, pero pronto se comprobó que aquel material que Abel presentaba no era muy común. En 1823, escribió un ensayo en francés titulado “Solution
(^9) Esto hizo que Abel se iniciara en la que sería su segunda contribución fundamental para las matemáticas, que le condujo a su famosa memoria de París y su posterior competición con Jacobi.
de quelques problèmes a l’aide d’intégrales définies” , aparece por primera vez el planteamiento y la solución de una ecuación integral. Buscó financiación en la Universidad para poder publicarlo, sin embargo el trabajo se perdió mientras estaba siendo revisado.
Christine Kemp, retrato de Johan Gørbitz, 1835
Al contrario que Noruega, Dinamarca contaba con una buena escuela de matemáticas. Por ello en el verano de 1823, con la edad de veintiún años, y a instancias de su benefactor Hansteen, el profesor Rasmussen concedió a Abel una modesta beca de 100 speciedaler^10 (propulsada con la ayuda de profesores de la Universidad) para visi- tar a Ferdinand Degen o von Schmidten entre otros céle- bres matemáticos daneses en Copenhague. Una vez allí, Abel realizó algunos estudios acerca del último teorema de Fermat. El tío de Abel, Peder Mandrup Tuxen, tra- bajaba en la base naval de Christianshavn, en Copenha- gue,donde conoció a una joven llamada Christine Kemp, hija de un comisario de guerra en Dinamarca, con quien entabló una relación sentimiental. Se dice de ella que no era especialmente bella, pero gozaba de un excepcional buen carácter. En 1824, Christine se mudaría a Son en Noruega donde trabajó como institutriz para estar cerca de su novio, y en las navidades de ese mismo año se prometerían.
Tras su retorno de Copenhague, Abel retomó nuevamente el problema de la ecuación quíntica. Ya a finales de 1823, fue capaz de demostrar correctamente que en general, ésta no podía ser resuelta mediante radicales, resultado amplia- do más tarde por Galois a las ecuaciones de grado mayor. Publicó su primera demostración en 1824 en una memoria que comenzaba así:
“Los geómetras se han ocupado mucho de la solución general de las ecua- ciones algebraicas y varios de ellos trataron de probar la imposibilidad. Pero, si no estoy equivocado, ellos no han tenido éxito hasta el presente.”
y seguía,
“Uno de los problemas más interesantes del Álgebra es el de la solución algebraica de las ecuaciones, y observamos que casi todos los matemáti- cos distinguidos se han ocupado de este tema. Llegamos sin dificultad a la expresión de las raíces de las ecuaciones de los cuatro primeros grados en función de sus coeficientes. Fue descubierto un método uniforme pa- ra resolver estas ecuaciones, y se creyó sería aplicable a las ecuaciones de cualquier grado, pero, a pesar de todos los esfuerzos de Lagrange y de otros distinguidos matemáticos, el fin propuesto no fue alcanzado. Esto llevó a la creencia de que la solución de las ecuaciones generales era algebraica- mente imposible; pero esta creencia no podía ser comprobada, dado que el método seguido sólo llevaba a conclusiones decisivas en los casos en que las ecuaciones eran solubles. En efecto, los matemáticos se proponían resolver ecuaciones sin saber si era posible. Así se podía llegar a una solución, pero (^10) Moneda Noruega en circulación entre 1816 y 1875. Más tarde sería sustituida por el rigsdaler specie , y este a su vez por la corona noruega. Al cambio 1 corona noruega = 1 / 4 speciedaler.
Berlín, Heinrich Hintze, 1829
En su viaje por tierras ger- manas, Abel decidió acompañar a sus compañeros que se diri- gían a Berlín. Previamente hizo un alto en las proximidades de Hamburgo, en Altona, donde con- tactó con el astrónomo Heinrich Christian Schumacher (amigo de Gauss). Una vez llegaron a Berlín, decidieron que pasarían allí el in- vierno. Abel gastó gran parte de sus fondos en Berlín, pero tuvo la gran suerte de que entró en con- tacto, previa misiva de recomendación de von Schimidten, con August Leo- pold Crelle (1780-1855), quien se convertiría en un personaje vital en su vida tanto personal como profesional.
August Leopold Crelle
Crelle era un exitoso ingeniero civil que dirigía grandes obras públicas de ferrocarril en Prusia, y go- zaba de un mayor peso específico en el mundo ma- temático que su gran benefactor hasta el momento Holmboe. Nacido en 1780, había desarrollado una temprano interés por las matemáticas, y publicado al- gunas obras sobre matemáticas aplicada y escolar. En 1826, cuando llegó Abel, Crelle acababa de fundar el Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario sobre matemáticas pura y aplicada), llamado común- mente Journal de Crelle. Este hecho provocó que debi- do a la emisión regular del diario, Berlín fuera consi- derada una importante ciudad en el mundo matemá- tico. Aunque su objetivo era cubrir también aspectos formales de matemáticas aplicadas, pronto se centra prácticamente de forma exclusiva en la matemática pura. Crelle sostenía que:
“...las matemáticas puras deberían ser explicadas en primera instancia sin prestar atención a sus aplicaciones. Debería desarrollarse puramente desde y para sí misma, para que sólo de esta manera pueda ser libre para moverse y evolucionar en cualquier dirección. En la enseñanza de las aplicaciones matemáticas, éste es el resultado particular que la gente busca. Serán extre- madamente sencillas de encontrar para aquellos que estén científicamente entrenados, y los que hayan captado su espíritu.”
En el prefacio del primer número de su Journal , Crelle declaró sus objetivos: no sólo se publicarían nuevos artículos sino que una selección de artículos pu- blicados en otras lenguas serían traducidos al Alemán. El propio Crelle había traducido al alemán el libro de geometría de Legendre y algunos de los tra- bajos de Lagrange. Pronto, el Journal adquirió carácter internacional, gracias a los contactos de Crelle en París entre otros lugares. Tenía un don extraordina- rio para descubrir jóvenes prometedores matemáticos y animarlos. Los prime- ros trabajos de Abel, Dirichlet, Eisenstein, Grassmann, Hesse, Jacobi, Kummer,
Lobachevski, Möbius, Plücker, von Staudt, Steiner y Weiertrass fueron todos publicados en el Journal de Crelle.
Crelle era un hombre de carácter afable y sociable. Después de que Abel lo conociera en Enero de 1826, éste escribió a su antiguo profesor Holmboe:
“No puede usted imaginar qué hombre tan excelente es, exactamente tanto como uno mismo debería ser; pensativo y sin embargo terriblemente cor- tés como multitud de gente, bastante honesto llegado el caso. Cuando me encuentro con él, me siento tan agusto como cuando estoy con usted o con otros buenos amigos.”
Cuando Abel llegó a Berlín, Crelle estaba pensando en lanzarse a esta gran aventura con sus propios medios económicos y Abel tuvo una parte en que tomara la decisión. Existen dos relatos acerca de la primera visita de Abel a Crelle, ambos interesantes. Por aquella época Crelle desempeñaba un cargo del gobierno para el que tenía poca aptitud y menos gusto: el de examinador del Instituto de Industria (Gewerbe-Institut) en Berlín. El relato de Crelle, de terce- ra mano (Crelle a Weierstrass y éste a Mittag-Leffler), de esta visita histórica es el siguiente:
“Un buen día, un joven muy desconcertado, con un rostro juvenil e in- teligente, penetró en mi habitación. Creyendo que se trataba de un candi- dato para ingresar en el Instituto le expliqué que eran necesarios diversos exámenes. Al fin, el joven abrió su boca y dijo en muy mal alemán: ¡No exámenes, sólo Matemáticas!.”
Con los ánimos, el apoyo y la amistad de Crelle, Abel publicó sus traba- jos de forma regular en el Journal ; para entonces Crelle ya se había percatado de que estaba ante un auténtico genio matemático. El primer volumen por sí sólo contenía siete de sus trabajos, y los siguientes volúmenes muchos más la mayoría de ellos de importancia suprema. En total llegó a publicar 22.
La estancia de Abel en Berlín, de unos cinco meses, influyó sobremanera en su vida profesional. Allí leyó el Analyse Algébrique de A. L. Cauchy (1789-1857) por quien manifestaría más adelante una gran admiración por el conjunto de sus trabajos. En uno de sus artículos sobre la quíntica, ya Abel había usado resultados de Cauchy sobre permutaciones.
En una carta a Hansteen, Abel habla fundamentalmente de dos temas, el primero la necesidad de inferir al Análisis Matemático un fundamento firme, y el segundo una imagen de su humanidad y optimismo a pesar de todas las contrariedades con las que se había encontrado a lo largo de su vida.
“En el análisis superior pocas proposiciones han sido demostradas con un rigor suficiente. En todas partes encontramos el desgraciado procedimiento de razonar desde lo especial a lo general, y es un milagro que esta forma de razonar sólo rara vez nos haya llevado a la paradoja. Es en efecto extraordi- nariamente interesante buscar la razón de esto. Esta razón, en mi opinión, reside en el hecho de que las funciones que hasta ahora se presentan en el Análisis pueden ser expresadas en su mayor parte por potencias... Cuando
de esta decepción fue el motivo por el que en lugar de encaminarse a París, Abel decidió prolongar su viaje (a todas luces, en perjuicio de su salud y de su carrera, además de tratarse de un viaje que poco tenía que ofrecerle desde el punto de vista científico) para disfrutar en algunas “juergas” con sus compañe- ros estudiantes, dirigiéndose hacia Venecia y el norte de Italia, para atravesar los Alpes en su ruta hacia la capital francesa. Como justificación, Abel escribiría a Hansteen:
“Pensé al principio marchar directamente desde Berlín a París, satisfecho con la promesa de que el Sr. Crelle me acompañaría. Pero el Sr. Crelle tuvo dificultades, y tendré que viajar solo. Estoy constituido de tal modo que no puedo tolerar la soledad. Cuando estoy solo me hallo deprimido, me siento pendenciero, y tengo poca inclinación para el trabajo. Por tanto me he dicho a mí mismo que sería mucho mejor ir con el Sr. Boeck a Viena, y este viaje me parece injustificado por el hecho de que en Viena hay hombres como Litrow, Burg, y otros, todos ellos excelentes matemáticos; añádase también que será la única ocasión en mi vida de hacer este viaje. ¿Hay algo que no sea razonable en este deseo mío de ver algo de la vida del Sur? Puedo trabajar activamente mientras viajo. Una vez en Viena, existe para ir a París, una vía directa por Suiza. ¿Por qué no ver un poco todas estas cosas? ¡Dios mío! también a mí me gustan las bellezas de la naturaleza como a cualquier otro. Este viaje me hará llegar a París dos meses más tarde, esto es todo. Podré rápidamente recuperar el tiempo perdido. ¿No le parece que este viaje me hará mucho bien?.”
Visitaron Leipzig, Freiburgo, Dresden, Praga, Viena, Graz, Trieste, Venecia, Verona, Innsbruck, Lucerna, Zurich, y Basilea. En Freiburgo, visitó a Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann y su hermano el matemático August Nau- mann, y fue aquí donde Abel llevó a cabo descubrimientos interesantes sobre teoría de funciones, sobre todo elípticas e hiperelípticas, y unas clases de fun- ciones que son ahora conocidas como funciones abelianas.
París, Seyfert, 1818
Era Julio cuando Abel llegó a París y con la ayuda de su ami- go Johan Gørbitz encontró aco- modo con una familia pobre pe- ro codiciosa que le proporcionaba dos malas comidas por día y un inmundo aposento a cambio de un elevado alquiler. Había man- dado a Berlín la mayoría de sus trabajos para la publicación en el Journal , pero se había reservado el que consideraba el más importan- te para presentarlo en la Acede- mia de Ciencias de Francia. El trabajo en cuestión era un teorema sobre funcio- nes trascendentales. Las vacaciones de verano habían comenzado recientemen- te, por lo que aquellos matemáticos con los que esperaba entrevistarse estaban fuera de la ciudad. Por lo tanto Abel continuó trabajando en su teorema hasta Octubre momento en el que lo finalizó para su presentación en la Academia.
Cuando los profesores regresaron, Abel sintió que éstos eran demasiado inac- cesibles, además de que difícilmente le entendían quizás porque su francés no era lo suficientemente fluido. Legendre, cuya principal especialidad eran las integrales elípticas, tuvo su primer encuentro efímero con Abel antes de subir a un carruaje, y sólo tuvo tiempo de saludarle costésmente y presentarle sus excusas pues debía marcharse. Cauchy también lo recibió con su característica descortesía. Abel comentó sobre este encuentro en una carta fechada el 24 de octubre de 1826, dirigida a Holmboe:
“Le diré que esta ruidosa capital del continente me ha producido por el mo- mento el efecto de un desierto. Prácticamente no conozco a nadie, a pesar de hallarnos en la más agradable estación cuando todos se hallan en la ciudad ... Hasta ahora he conocido a Sr. Legendre, a Sr. Cauchy y a Sr. Hachet- te y a algunos matemáticos menos célebres, pero muy capaces: Sr. Saigey, editor del Bulletin des Sciences y Sr. Lejeune-Dirichlet, un prusiano que vino a verme el otro día creyéndome compatriota suyo. Es un matemáti- co de gran penetración. Con Sr. Legendre ha probado la imposibilidad de resolver la ecuación x^5 + y^5 = z^5 en enteros, y otras cosas importantes. Legendre es un hombre extraordina- riamente cortés, pero desafortunadamente tan viejo como las piedras. Cau- chy es un excéntrico, y no se puede llegar a ningún lado con él, aunque es el matemático que sabe en estos momentos cómo desarrollar la matemática. Al principio no comprendía prácticamente nada, pero ahora veo algunas cosas con más claridad. Cauchy es extremadamente Católico y fanático. Una cosa muy extraña en un matemático (...). Es el único que se preocupa de las matemáticas puras. Poisson, Fourier, Ampére, trabajan exclusiva- mente en problemas de magnetismo y en otras materias físicas. Sr. Laplace creo que ahora no escribe nada. Su último trabajo fue un complemento a su teoría de las probabilidades. Muchas veces le veo en el Instituto. Es un buen sujeto(...) Poisson es un hombre bajo con una tripita muy graciosa. Es un agradable camarada y sabe comportarse con dignidad. También Fou- rier (...) Lacroix es extremadamente viejo. El lunes Sr. Hachette me presen- tará a varios de estos caballeros. Por otro lado, los franceses no me gustan tanto como los alemanes; los franceses son anormalmente reservados hacia los extranjeros. Es difícil acercarse a ellos. Y no me atrevo a presentar mis pretensiones. Todo el mundo trabaja en sus propios asuntos sin importarle los otros. Todo el mundo quiere enseñar y nadie aprender. El más absoluto egoísmo prevalece por todos los sitios. Lo único que buscan los franceses de los extranjeros son la práctica (...) puede imaginar qué difícil es hacer- se notar, especialmente para un principiante (...) He realizado un trabajo sobre ciertas clases de funciones trascendentes, para presentarlo al Insti- tuto (...) He decidido que lo vea Cauchy, pero seguramente ni se dignará a mirarlo. Y me atrevo a decir sin jactancia, que es un buen trabajo. Siento gran curiosidad por conocer el juicio del Instituto.”
Luego cuenta lo que está haciendo, y añade un resumen de sus proyectos no muy optimistas.
“Muchas cosas me quedan por hacer, pero en tanto me halle en el extran- jero todo lo que haga será bastante malo. ¡Si yo tuviera mi cátedra como el Sr. Kielhau tiene la suya!. Mi posición no está asegurada, pero no me in- quieto acerca de esto; si la fortuna no me acompaña en una ocasión, quizá me sonría en otra.”
Regresó a Cristianía en Mayo de 1827, y para ganar algún dinero tuvo que dar instrucción a algunos escolares. Su novia Christine se empleó como insti- tutriz en casa de unos amigos de su familia en Frøland. Abel pasó el verano con su novia en esa ciudad. Estaba a la sazón, dedicado a la teoría de funcio- nes elípticas, en su competición con Jacobi, escribiendo algunos artículos sobre la misma. En la Navidad de ese año, hubo de viajar en trineo para visitar a su novia en Frøland, llegando tras su viaje bastante enfermo. El riguroso clima no- ruego ya le había hecho desde hacía tiempo padecer tuberculosis pulmonar, de la que tuvo conocimiento médico durante su estancia en París y que Abel había atribuido a un frío persistente. Quizás el trajín y la excesiva tensión de aquel largo viaje al extranjero de más de año y medio de duración, contribuyeron a que esa enfermedad le llevara más tarde a su fatal desenlace.
Casa donde murió Abel en Frøland
En 1828, Hansteen recibió una subvención para investigar el mag- netismo terrestre en Siberia y se nombró entonces a Abel para que lo sustituyera en su puesto docen- te en la Universidad y también en la Academia Militar. Este he- cho mejoró su precaria situación económica. Pero Abel continuaba entregado en cuerpo y alma a su investigación matemática, si bien su salud se iba deteriorando cada día. Las vacaciones veraniegas de 1828 las pasó junto a su novia en Frøland y volvería a viajar de nuevo a esta ciudad para celebrar la Navidad de ese año. A mediados de enero de 1829, Abel empeoró notablemente. Supo que no vi- viría mucho tiempo, a causa de una hemorragia que no fue posible detener. Con anterioridad ya había escrito a su amigo Keilhau, con quien Abel se sentía profundamente unido, implorándole que se hiciera cargo de la asistencia de su madre; y además de aquel requerimiento, al visitarle le aconsejó que entablara una relación seria con Christine (a quien Keilhau no conocía), manifestándole:
“No es bella; tiene el cabello rojo y es pecosa, pero se trata de una mujer admirable.”
(un tiempo después de que Abel muriera, resultó que ambos se casaron). Así fueron los últimos días de Abel en Frøland en el hogar de la familia inglesa en la que Christine era institutriz. La debilidad y la creciente tos hicieron que sólo pudiese estar fuera de la cama unos pocos minutos. Ocasionalmente intentaba trabajar en su matemática, pero ya no podía escribir. A veces revivía el pasado, hablando de su pobreza y de la bondad de la Señora Hansteen. Padeció su peor agonía durante la noche del 5 de abril. En la madrugada llegó a sentirse
más tranquilo, y durante la mañana a las once en punto del 6 de abril de 1829, exhaló su último suspiro. Tenía 26 años y ocho meses.
Dos días más tarde de la muerte de Abel llegaba una carta de Crelle, quien se había encargado de intermediar con el ministro de educación en Berlín para que Abel obtuviera una plaza definitiva como profesor de la Universidad de Berlín en un nuevo Instituto Tecnológico. Allí tendría por compañeros de tra- bajo a Dirichlet, Jacobi y Steiner. Lamentablemente la carta llegaba demasiado tarde. El propio Gauss, con el fin de reparar dignamente su anterior comporta- miento para con Abel, había intermediado junto a Humboldt, solicitando una cátedra para él. Legendre, Poisson y Laplace, habían escrito asimismo al rey de Suecia para que Abel ingresara en la Academia de Estocolmo. Para entonces Cauchy no había aún emitido informe alguno sobre el primer ensayo de Abel, a pesar de que Legendre había emitido varias protestas al respecto, pero pa- ra este momento ya se conocía la esencia de la misma a través del Journal de Crelle.
El propio Crelle escribió un largo elogio en su Journal en el que decía:
“Todo el trabajo de Abel lleva la imprenta de la genialidad y la fuerza de su intelecto que es extraordinario y en ocasiones increíble, aún cuando la juventud del mismo no fuera tomada en consideración. Se puede decir que fue capaz de salvar todos los obstáculos hasta llegar a la raíz de los pro- blemas con un vigor que parecía inagotable. Atacaba los problemas con extraordinaria energía; él los consideraba desde su superficie y era capaz de vislumbrar con tal perspectiva su estado, que todas las dificultades pa- recían desvanecerse bajo el victorioso ataque de su genio...Pero no sólo era su gran talento lo que fomentó el respeto de los demás por Abel y lo que hace infinitamente lamentable su pérdida. Se distinguió por la pureza y la nobleza de su carácter y por una rara modestia que le hizo ser una persona tan apreciada como su genialidad.”
Al final de sus días, ajeno al conocimiento de Abel y otras instituciones noruegas competentes, ocurrió que C. G. Jacobi (1804-1851) tuvo noticias del teorema de Abel por el propio Legendre (con quien Abel sostuvo correspon- dencia después de su regreso a Noruega) y en una carta a Legendre fechada el 14 de marzo de 1829, éste comentó:
“¡Qué descubrimiento es ese Abel!(...) ¿Cómo es posible que ese descubri- miento, quizás el más importante que se haya hecho en nuestro siglo, se comunicara a su Academia hace dos años y se escapara a la atención de sus colegas?.”
Esta noticia llegó hasta Noruega, lo que unido a las expectativas que en su momento se habían depositado en la figura de Abel, hizo que el propio cón- sul de Noruega en París interpusiera una reclamación diplomática con la firme intención de que el manuscrito perdido se recuperara. La Academia indagó y casualidades de la vida Cauchy encontró dicho manuscrito en 1830. En una carta fechada en abril de 1829 que contestaba a la del 14 de marzo a Jacobi, Legendre comenta que una vez hallado el manuscrito, Cauchy se dispuso a
