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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE GEOTECNIA – SGS-404: FUNDAÇÕES
Professores: Nelson AOKI e José Carlos A. CINTRA
Monitores: José Antonio, Marina e Natália
NOTAS DE AULA
AULA 13: SEGURANÇA E CONFIABILIDADE DE FUNDAÇÕES
(adaptado do artigo “Dogma do Fator de Segurança, de autoria de Nelson Aoki, publicado no SEFE
VI – Seminário de Engenharia de Fundações Especiais e Geotecnia, São Paulo, 2008, v. 1, p. 9-42)
1. INTRODUÇÃO.
Hoje, no caso de ocorrência de ruína da obra, além das penas legais, o profissional de engenharia civil responsável pela obra sujeita-se muitas vezes à execração pública em geral e, em particular, dentro da própria classe. De fato, a ruína pode ser conseqüência de erro humano ou fruto de incompetência profissional, conforme estatísticas efetuadas por Melchers [2]. Entretanto, mesmo na ausência de tais fatores, uma obra pode vir a ruir devido a fatores aleatórios e variáveis que independem da fragilidade da condição humana.
Tradicionalmente, pensa-se que o estabelecimento de um fator de segurança elevado afasta a obra da condição de ruína. Mas, seria a engenharia uma ciência exata, determinística, a ponto de se poder evitar a condição de ruína através de um simples fator de segurança? Ou, como ocorre na medicina, seria uma profissão sabidamente sujeita à aleatoriedade de fatores independentes e fora de seu controle? O profissional de engenharia civil experiente sabe que fator de segurança maior que um nada significa, e não garante que a obra não venha a ruir.
O problema é que não se ensina, adequadamente, como estabelecer a relação entre a probabilidade de ruína decorrente de fatores aleatórios, e o fator de segurança prescrito nas normas. A probabilidade de ruína e o fator de segurança não podem ser tratados independentemente : são formas diferentes de prover margem de segurança adequada para a obra. Na verdade existe uma relação direta entre os dois parâmetros.
Portanto, a meta é determinar o valor ótimo do fator de segurança considerando a relação entre o fator de segurança e a probabilidade de ruína, a partir da variabilidade das cargas atuantes, do mecanismo de interação solo - estrutura, da resistência dos materiais, e dos custos incluindo o risco de ruína.
Note-se que a variabilidade pode ser percebida de forma intuitiva: os coeficientes de variação podem ser intuídos pela experiência. Para os engenheiros experientes a confiabilidade da obra é quantificada pela prática. Para aqueles neófitos, resta aprender a analisar os dados disponíveis para quantificar o fator de segurança e a probabilidade de ruína associada, a partir de uma análise de otimização deste valor.
Resumindo, consideram-se as seguintes variáveis: tipo de estrutura, cargas atuantes (A), solicitações (S) resultantes da interação das cargas com a estrutura e resistências (R) dos materiais. Os parâmetros que condicionam a relação entre fator de segurança (FS) e fator de confiabilidade (β) são os coeficientes de variação (vS) da solicitação (S) e (vR) da resistência (R). Os quatro últimos valores comandam a segurança e a confiabilidade estrutural e constituem objeto de análise desta aula. Em resumo, conclui-se que a análise do fator de segurança ótimo deve considerar aspectos técnicos, legais, de mercado e o custo do risco da obra.
2. VARIABILIDADES DAS CARGAS, MODELOS ESTRUTURAIS E RESISTÊNCIAS.
As causas da variabilidade dos fatores independentes que influenciam a probabilidade de ruína, e que devem ser considerados no projeto de estruturas em geral, incluem os seguintes grupos e classes, conforme Freudenthal [3]:
Grupo A. Causas de flutuação no valor das cargas. I. Incertezas e variabilidade de condições de carregamento (cargas funcionais e ambientais). a) Carga permanente. b) Carga móvel inclusive efeito dinâmico. II. Incerteza e variabilidade de condições externas independentes da carga. a) Variação de temperatura. b) Forças de vento. c) Incerteza de comportamento do solo. Grupo intermediário. Causas de incerteza no cálculo da solicitação. III. Variação de rigidez. IV. Imperfeição de métodos e defeitos de premissas. a) Acurácia do método e tolerância do cálculo numérico. b) Inadequação de premissa acerca de condições iniciais e de contorno. Grupo B. Causas de flutuação da resistência. V. Incerteza e imprecisão do mecanismo de resistência adotado. a) Imprecisão ou inadequação do mecanismo concebido. b) Variabilidade dos limites de resistência dos materiais. VI. Variação das dimensões da estrutura, inclusive das camadas de solo. O grupo intermediário trata da variabilidade inerente ao modelo de interação solo-estrutura que condiciona o valor da solicitação, ou seja, do efeito da carga sobre o sistema estrutural em análise.
A variabilidade final resultante da flutuação e incertezas, nas cargas e no cálculo da deformação, condiciona o valor do coeficiente de variação (vS) da solicitação e, a flutuação e incertezas na resistência condiciona o valor (vR) do coeficiente de variação da resistência dos elementos estruturais e do solo.
Quanto à incerteza de comportamento do solo, Phoon [4] considera dois tipos de incerteza geotécnica: a do modelo de cálculo e a dos respectivos parâmetros geotécnicos envolvidos. Ressalta que a incerteza na avaliação de parâmetros de solos e rochas é um dos aspectos chave de projeto, que distingue a engenharia geotécnica da engenharia de estruturas. Esta incerteza decorre da variabilidade intrínseca que resulta do processo geológico natural que produziu e continuamente modifica o maciço de solo in situ.
Acrescenta ainda, a variabilidade dos efeitos de execução e do tempo decorrido após a execução. Considera que a incerteza na medida do parâmetro é afetada por efeitos decorrentes do equipamento, do procedimento de ensaio e/ou operador, além de efeitos aleatórios durante a realização do teste.
A última incerteza envolve a transformação das medidas de laboratório ou de campo, em propriedades do solo para fins de projeto. Apresenta, também, valores indicativos de coeficientes de variação pertinentes aos vários fatores e tipos de solos tratados. Phoon [4] conclui que qualquer estudo de variabilidade geotécnica só se aplica ao local especifico analisado. Para esclarecer a incerteza referente ao modelo de cálculo preconiza: a) realização de testes de protótipos realistas, b) obtenção de quantidade de dados suficientemente grande e representativo e, c) testes de qualidade razoavelmente alta onde incertezas devido a interferências estejam controladas.
Finalmente, lembra-se que a resistência final da fundação depende do grau de perturbação provocado pela execução, das propriedades do solo natural. Portanto, os coeficientes de variação da resistência do solo natural não são iguais aos da fundação. Neste contexto, valores indicativos da variabilidade final da resistência de alguns tipos de estacas em maciços de solos brasileiros podem ser encontrados em Silva [5].
3. FATOR DE SEGURANÇA NO PROJETO DE ESTRUTURAS.
De modo geral, o comportamento de uma estrutura sob ação das cargas funcionais e ambientais é considerado satisfatório, quando: a) no estado limite último ou de ruína, o sistema oferece uma segurança satisfatória contra a ruptura; b) no estado limite de serviço, os deslocamentos e rotações são compatíveis com a funcionalidade da obra, e com as condições impostas pela estética, funcionalidade e durabilidade da obra;
Tabela 1: Fatores de segurança do Manual de Engenharia Civil (Rankine, 1861).
Quando o carregamento de trabalho era composto por carga aplicada lenta ou subitamente, deviam- se multiplicar cada parcela de carga por seu próprio fator de segurança e somar os produtos. O fator de segurança para material metálico comum era 1,5 vezes o valor recomendado para os materiais perfeitos. Nota-se ainda certa semelhança entre os fatores de segurança de alvenaria e madeira.
Decorrido um século depois desta publicação, esta era ainda a filosofia das normas brasileiras aprovadas nos anos 1950/1960, referentes às estruturas de madeira, aço concreto armado e fundações. A Tabela 2 apresenta os valores das tensões admissíveis à compressão para peças curtas, de vários materiais admitidos nestas normas:
Tabela 2. Tensões admissíveis à compressão peças curtas comprimidas de diversas normas brasileiras. Material Norma ABNT Resistência σf (MPa) Fm Tensão admissível (MPa)
Aço NB14-1958 σe = 240 2 σf l = 120 Concreto (Estádio II) NB1-1950 (^) σc28 = 18 3 σc = 6
Madeira NB11- 1950 (^) σm = 25,7 (Pinho Paraná) 5 σc = 5
Nota-se que os fatores de segurança eram praticamente iguais aos recomendados por Rankine cem anos antes. Neste espaço de tempo o emprego do concreto praticamente substituiu o emprego da alvenaria como material estrutural. Atualmente, a alvenaria estrutural reassume aos poucos seu antigo papel.
Os diferentes valores de fator de segurança (Fm) refletem o grau de confiabilidade que se tem sobre a resistência do material cuja dispersão em torno do valor médio é função do controle da qualidade que se exerce sobre os procedimentos utilizados durante as fases de projeto e execução da estrutura. No caso de materiais manufaturados, quanto mais rígidos os métodos e processos de seleção e controle exercidos, menores serão os valores das dispersões em torno da média e, maior a certeza sobre a resistência do material.
Para os materiais geotécnicos, a variabilidade da rigidez e resistência das camadas de solo decorre de sua formação natural podendo-se, até certo ponto, conhecer a distribuição espacial das propriedades das camadas, através de ensaios de campo ou laboratório.
Contudo, tratamentos para alterar as propriedades naturais de um solo pouco resistente constituem, ainda, processos dispendiosos, difíceis e complexos.
A Tabela 3 apresenta os fatores de segurança da norma brasileira NBR 6122/1996 - Projeto e execução de fundações [8] (atualmente em processo de revisão).
Tabela 3. Fator de segurança mínimo norma NBR 6122/1996 - Projeto e execução de fundações.
3.2 Princípio da carga de ruptura.
Pelo princípio da carga de ruptura, as tensões de trabalho majoradas por fatores de segurança globais não devem ultrapassar as tensões de resistência última do material. O dimensionamento é feito no estado limite de ruptura comprovando-se que:
σ (Fg. g + Fp. p ) ≤ σf (8)
Condição do material Cargas impostas lentamente (dead load)
Cargas impostas subitamente (live load) Materiais perfeitos e manufaturados 2 4 Materiais comuns bons e manufaturados: Metal (ferro) 3 6 Madeira 4 a 5 8 a 10 Alvenaria 4 8
Condição Fator segurança FS Capacidade de carga de fundações superficiais 3, Capacidade de carga de estacas e tubulões sem prova de carga 2, Capacidade de carga de estacas e tubulões com prova de carga 1,
Onde: σ (Fg. g + Fp. p) = tensões produzidas pelas cargas permanentes (g) majoradas pelo fator de segurança (Fg) e pelas cargas móveis majoradas pelo fator de segurança (Fp). Este método permite aplicar diferentes fatores de segurança para diferentes tipos de cargas aplicadas, conforme Hansen [6].
No Brasil apenas a norma de concreto armado evoluiu por este estágio, com a adoção pela NB1- e NB2-1961 do dimensionamento no chamado estádio III. Segundo estas normas, para o caso de compressão simples, multiplicavam-se as cargas permanentes e acidentais por Fg = 2 e as cargas móveis por Fp = 2,4 e as tensões resultantes no concreto e aço não deviam ultrapassar os limites de resistência destes materiais.
Para o concreto admitia-se curva normal para a distribuição de resistência, introduzindo-se a noção de resistência característica (σR) à compressão mínima, com 95% de certeza, definida pela expressão:
σR = (1-1,645 vR) σc28 (9) vR = coeficiente de variação da resistência à compressão simples do concreto:
σc28 = resistência média à compressão simples do concreto aos 28 dias, obtida em, no mínimo 32 ensaios em corpos de prova cilíndricos padronizados.
c 28
Rk
v R
σRk = desvio padrão da resistência à compressão simples do concreto. Quando não se conhecia o coeficiente de variação adotavam-se padrões de qualidade de controle:
- para controle rigoroso: σR = 3/4. σc
- para controle razoável: σR = 2/3. σc
- para controle regular: σR = 3/5. σc28σR
3.3 Princípio dos fatores parciais de segurança.
Pelo princípio dos fatores parciais de segurança aplicam-se fatores parciais de majoração para as diferentes cargas características e comparam-se as tensões majoradas com as resistências características minoradas por fatores de minoração, comprovando-se que:
( ) m
f g p f
f g fp σ σ + ≤ (11)
fg, fp = fatores parciais de majoração das cargas; fm = fator parcial de minoração da resistência. O dimensionamento é feito no estado nominal de cálculo de ruptura comprovando-se que as tensões devidas aos diferentes tipos de carga, devidamente majoradas, não ultrapassam as tensões resistentes minoradas, conforme Hansen [6].
No Brasil, a norma de concreto armado NB1-1978 adotava um fator de majoração γf = 1,4 para as cargas e um fator de minoração γc = 1,4 para o concreto de resistência característica mínima fck, definido por:
fck = (1-1,645.vR). σc28 (12) Para indicar que somente o terceiro princípio era aplicável ao caso de problemas de ruptura ou estabilidade em Mecânica dos Solos, Hansen [6] dava dois exemplos de aplicação. O primeiro exemplo é o de um dique seco de concreto submetido à carga de subpressão. O problema implica em duas cargas e nenhuma resistência de material. Neste caso, deve-se aplicar um fator de segurança a pelo menos uma das cargas. O segundo exemplo é o de um talude em areia sem sobrecarga. Neste caso, a segurança exige que a resistência média ao cisalhamento ao longo da superfície crítica de ruptura deve exceder a tensão cisalhante ao longo desta superfície. Aparentemente, o problema implica em uma carga: o peso específico da areia e uma resistência do material: o ângulo de atrito da areia. Contudo não se majora o peso uma vez que as resistências ao cisalhamento e as tensões cisalhantes cresceriam proporcionalmente. Daí, ser irrelevante majorar ou não o peso especifico do material: o fator de segurança pode ser aplicado somente sobre o ângulo de atrito que é uma constante do material. Assim, a resistência ao cisalhamento de cálculo (τd) do solo seria calculada pela expressão:
A aplicação da condição geral (1) aos valores relacionados aos pontos notáveis caracterizados pelo desvio padrão de (R) e (S) geram a noção de fator de segurança característico que se segue.
Denomina-se solicitação característica Sk e resistência característica Rk aos seguintes valores notáveis: Sk = solicitação característica = μS + αS.σS (18)
Rk = resistência característica = μR - αR.σR (19) Onde, αS = número que caracteriza a solicitação em termos de desvios padrão; αR = número que caracteriza a resistência em termos de desvios padrão. Considerando as expressões (14) a (19), verifica-se que os valores característicos notáveis valem:
Sk = μS (1 + αS vS) (20) Rk = μR (1 – αR vR) (21) Quando a probabilidade de ocorrência desejada é de 5% resulta: αS = αR = 1,645. A Figura 1 apresenta as curvas de probabilidade de resistência fR(r) e de solicitação fS(s), indicando os valores médios, característicos e desvios padrões. Os pontos B e C de mudança de curvatura das curvas definem os respectivos desvios padrões das curvas de solicitação e resistência. Esta figura apresenta ainda as relações entre todos os valores e os fatores de segurança médio e característico.
Figura 1. Curvas de resistência e solicitação e fatores de segurança médio e característico. A condição de não ocorrência de ruína aplicada à relação entre a resistência característica Rk e a solicitação característica Sk resulta no fator de segurança característico definido por:
S
R
F
k
k
k >
Substituindo-se nesta expressão, os valores característicos das equações (20) e (21), resulta: ( ) ( )
1 v
1 v
F
S S S
R R R
k >
Considerando a expressão (16) e a expressão (23), chega-se à relação entre o fator de segurança e o fator de segurança característico :
S S
R R k S
1 v
1 v
F F (24)
A expressão (23) é muito utilizada na área de Engenharia Mecânica para o dimensionamento de elementos estruturais de máquinas, conforme Shigley & Mischke [10].
A norma EN 1990 do Eurocode [11] e a Norma Brasileira NBR 6122/1996 [8] preconizam a verificação de segurança no estado nominal de cálculo no estado limite último.
Densidade probabilidade
fR(r)
(FS -1) μS
fS(s)
0 μS Sk Rk μR s, r
σS σR
B
C
αS σS αR σR
(Fk-1)Sk
De acordo com estas normas deve-se comprovar que, neste estado nominal, a solicitação de cálculo (Sd) seja menor ou igual à resistência de cálculo (Rd):
Sd ≤ Rd (25)
Onde: Sd = solicitação máxima de cálculo = Sk.γf (26)
Rd = resistência mínima de cálculo = Rk /γm (27) Sendo, γf = fator parcial de majoração da solicitação, legalmente fixado em norma;
γm = fator parcial de minoração da resistência, legalmente fixado em norma. A figura 2 apresenta a filosofia de dimensionamento no estado nominal de cálculo, conforme Aoki [12]. A figura indica os valores médios, característicos e de cálculo que condicionam a verificação de segurança no estado nominal de cálculo, conforme a expressão (25). Apresenta ainda a relação entre a margem de segurança, o fator de segurança médio e os fatores de segurança parciais.
Figura 2. Filosofia de dimensionamento no estado nominal de cálculo Além dos fatores parciais definidos em norma é possível determinar os seguintes fatores parciais de segurança que dependem da variabilidade das curvas de solicitação e resistência:
γS = fator parcial de variabilidade da solicitação = S
Sk
= (1 + αS vS) (28)
γR = fator parcial de variabilidade da resistência = k
R
R
( (^1) R vR)
− α
As expressões (26) a (29) permite escrever: Sd = μS.γS.γf (30)
Rd = m R
R γ γ
μ (^) (31)
As condições (16) e (25) combinada com as expressões (30) e (31) permite concluir que a relação entre o fator de segurança médio e os fatores parciais de segurança vale:
FS = (γS γf γR γm) >1 (32) Das expressões (22), (25), (26) e (27) resulta uma condição legal a ser obedecida nos projetos:
Fk = fator parcial da norma (fatores parciais fixados em norma) = (γf. γm) ≥ 1 (33)
O produto (γf.γm) deve ser tratado como um único valor: arbitrado um valor o outro fica determinado:
Densidade probabilidade
(FS -1). μS
fS(s) σR
fR(r)
FS = (γS .γR). (γf. γm)
μS μS (γS-1) (^) Sk.(γf –1) (^) Rk.(1-1/γm) μR (1-1/γR)
0 μS Sk Sd = Rd Rk μR s, r
Sd ≤ Rd
μS = μR /FS
Tabela 6. Norma Dinamarquesa DS415 - Fatores parciais minoração resistência (γm)
Fator parcial minoração Condição Normal Especial Capacidade de carga de elementos isolados de fundação sem prova de carga 2,0 2, Capacidade de carga de elementos isolados de fundação com prova de carga 1,6 1, Estaca sujeita a ensaio de prova de carga 1,4 1,
Tabela 7. Norma Dinamarquesa DS415 - Fatores parciais majoração das cargas (γf) Ações Fator parcial majoração Cargas permanentes 1, Cargas móveis 1,
5. PROBABILIDADE DE RUÍNA.
As bases e o desenvolvimento da abordagem denominada teoria de confiabilidade estrutural foram pioneiramente estabelecidas nos idos de 1950 por Freudenthal [3] [13] e, desde então, seu desenvolvimento tem sido notável especialmente na engenharia de estruturas.
A Figura 3 apresenta a definição de probabilidade de ruína que é numericamente igual à área hachurada sob a curva de densidade de probabilidade da função probabilidade de ruína pf.
Figura 3. Probabilidade de ruína e curva de densidade de probabilidade de ruína. Se estas distribuições forem especificadas em termos das funções de densidades de probabilidade fR(r) e fS(s) respectivamente, então a probabilidade de ruína (pf) , ou seja, a probabilidade de (R≤S) se escreve,:
p P(ruína) P(R S) f^ ( )s^ f ( )r^ dr ds
s
f S R
−∞
∞
−∞
p f ∫fS ( )s FR( )s ds
∞
−∞
As expressões (39) e (40) representam a convolução das funções FR(s) e fS (s), onde FR(s) é a distribuição acumulada de fR(r), condicionada por valores da função fS(s), conforme Lawrence [14]. Após o ponto (A) da Figura (3), os valores de probabilidade de ocorrência de R são maiores do que S e, no cálculo de FR(s) deve-se limitar o valor fR (s) ao valor de fS (s) disponível. Esta limitação condiciona a convolução.
Além disso, dependendo do problema analisado, o limite inferior de integração pode não se estender a menos infinito: a solicitação e/ou a resistência mínima pode ser igual a zero ou ser limitada a valores fixos.
A probabilidade de ruína determinada pela expressão (40) considera que existe completa aleatoriedade de atuação de solicitação e resistência. Muitas vezes podem-se impor condições, por exemplo, comparar subconjuntos de pares ordenados de resistência e solicitação resultando em valores de probabilidade de ruína condicionados. Trata-se de um dos aspectos da análise de vulnerabilidade ao evento de ruína previsto.
A Figura 4 mostra que a integral (40) corresponde à convolução das funções fS (s) e FR(s), onde a área hachurada pode ser obtida por planilhamento da curva indicada. Por exemplo, ordenando-se todos os valores de resistência em ordem crescente e comparando-se, termo a termo, com todos os valores de solicitação
pf
Densidade probabilidade
f^ fR(r) S(s) A
0 μS μR s, r
ordenados em ordem decrescente, resulta a área hachurada à esquerda do ponto A da Figura 5, que representa a probabilidade de ruína condicionada pf,r.
Figura 4 – Convolução: definição das funções fS(s) e FR(s) da equação (40). Procedendo de modo inverso, ou seja, ordenando-se todos os valores de solicitação em ordem crescente e comparando-se, termo a termo, com todos os valores de resistência ordenados em ordem decrescente, resulta a área hachurada à direita do ponto A da mesma figura, que representa a probabilidade condicionada pf,s.
A presença de blocos sobre mais de uma estaca requer também análise especial. De fato, a ruína de uma estaca sob o bloco de fundação pode causar certa redistribuição de solicitação nas demais estacas, não ocorrendo, necessariamente, a ruptura do apoio representado pelo bloco que sustenta o pilar que sobre ele se apóia. Neste caso pode-se proceder a análise que considera a plastificação de uma estaca do grupo, com conseqüente redistribuição de solicitações nas demais estacas do bloco, conforme Schiel [15].
Figura 5. Probabilidade de ruína condicionada: casos de resistência crescente ou solicitação crescente. A margem de segurança definida em (5) escrita em termos das funções que definem as variáveis (R) e (S) é chamada equação de estado limite cuja complexidade comanda o grau de dificuldade de se determinar a probabilidade de ruína. No caso de distribuição estatística qualquer, a equação de estado limite expandida em série de Taylor origina o método de confiabilidade de primeira ordem ou FORM – First Order Reliability Method – que utiliza o primeiro termo da série, conforme Hasofer e Lind [16]. No método de confiabilidade de segunda ordem ou SORM - Second Order Reliability Method – utilizam-se os dois primeiros termos da expansão, conforme Rackwitz & Fiessler [17]. O método de primeira ordem e segundo momento ou FOSM – First Order Second Moment – é um caso particular do FORM que se aplica à distribuição normal ou gaussiana, onde a margem de segurança é uma função linear da média e desvio padrão.
Assim, no caso de distribuições normais ou gaussianas o valor médio da variável dependente margem de segurança (M) da inequação (5) se reescreve:
μM = (μR - μS) > 0 (41) Neste caso, a curva de densidade de probabilidade da margem de segurança (M) é também gaussiana e é definida pelo valor médio (μM), desvio padrão (σM) e coeficiente de variação (vM):
μM = valor da margem de segurança média;
pf, r pf, s
Densidade probabilidade
f^ fR(r) S(s) A
0 μS μR s, r
fS (s) fR (r)
s, r
área = FR (s)
fS (s)
s
Densidade probabilidade
Sabe-se que o risco, medido pela conseqüência da ruína em termos econômicos, sociais e ambientais, depende do tipo de obra, e da vulnerabilidade específica do conjunto de elementos estruturais analisado.
A Tabela 8 apresenta, para fins de dimensionamento no estado limite último, as diferentes classes de conseqüências (CC) da ruína previstas no Eurocode EN 1990:
Tabela 8. Definição das classes de conseqüências conforme Eurocode EN 1990. Classe de conseqüência Descrição Exemplos de edificações e obras civis
CC
Alta conseqüência em termos de perda de vidas humanas e conseqüência muito grande em termos econômico, social ou ambiental.
Estádios, edifícios públicos onde as conseqüências da ruína são altas (por exemplo, sala de concertos)
CC
Média conseqüência em termos de perda de vidas humanas e conseqüência considerável em termos econômico, social ou ambiental.
Edifício residencial e edifício de escritórios, edifícios públicos onde as conseqüências da ruína são médias (por exemplo, edifício de escritórios)
CC
Baixa conseqüência em termos de perda de vidas humanas e conseqüência pequena ou negligenciável em termos econômico, social ou ambiental.
Edificações agrícolas onde normalmente não entram pessoas (por exemplo, edifício de estocagem), estufas. Nota: Atualmente os requisitos de confiabilidade são relacionados ao elemento estrutural da obra de construção analisada que constituem o objeto de estudo específico.
- O critério para classificação das conseqüências é a importância, em termos de conseqüências da ruína, da estrutura ou elemento estrutural que é objeto de estudo.
- Dependendo da forma do elemento estrutural e decisões tomadas durante o projeto, um elemento particular da estrutura pode ser projetado na mesma, maior ou menor classe de conseqüências do que aquela da estrutura como um todo.
A Tabela 9 apresenta os valores de fator de confiabilidade exigidos pelo Eurocode EN 1990.
Tabela 9. Valores mínimos fator de confiabilidade β do Eurocode EN 1990 (estado limite último). Período de referência de um ano Período de referência de 50 anos Classe de confiabilidade Valor mínimo fator confiabilidade β
Máxima probabilidade ruína pf
Valor mínimo fator confiabilidade β
Máxima probabilidade ruína pf RC3 5,2 9,964E-08 4,3 8,540E- RC2 4,7 1,301E-06 3,8 7,235E- RC1 4,2 1,335E-05 3,3 4,834E- Nota: Considera-se que o dimensionamento usando o EN 1990, com fatores parciais do anexo A1 do EN 1991 até EN 1999, conduz a estruturas com valor de fator de confiabilidade maior que 3,8 para um período de referência de 50 anos. A confiabilidade para elementos estruturais de classe acima de RC3 não é considerada neste anexo, uma vez que cada uma destas estruturas requer considerações individuais.
Nos projetos geotécnicos, Phoon et ali.[18] constatam que, no momento, a adoção de fatores de segurança parciais de majoração e minoração associadas a valores mínimos de fator de confiabilidade (β) indicadas na Tabela 9, precisa ser discutida e examinada com muita cautela.
6. RELAÇÃO ENTRE FATOR DE SEGURANÇA E PROBABILIDADE DE RUÍNA.
Para estabelecer uma conexão entre a teoria de confiabilidade estrutural proposta por Freudenthal, com os fatores de segurança de Hansen, deve-se voltar à definição de fator de segurança e margem de segurança definido em (3) e (5) com a probabilidade de ruína definida em (39). A relação entre a margem de segurança (M) e o fator de segurança (F) encontra-se na condição de não ocorrência de ruína da expressão (6). Desta expressão determina-se a margem de segurança média em função do fator de segurança médio:
μM = (FS -1) μS (48) Igualando-se este valor ao valor da margem de segurança média em função do fator de confiabilidade médio da expressão (45), resulta:
(FS -1) μS = β σM (49)
A Figura 7 mostra a margem de segurança média definida pelo fator de segurança e pelo fator de confiabilidade médios, de acordo com as expressões (45) e (48), e a probabilidade de ruína associada.
Figura 7. Fator de segurança, margem de segurança e probabilidade de ruína. Desenvolvendo-se esta expressão chega-se à seguinte equação do segundo grau: FS^2 (β^2 vR^2 – 1) + 2.FS + β^2 vS^2 -1 = 0 (50) Extraindo-se a raiz positiva desta equação resulta: FS = [1+ β (vS^2 + vR^2 - β^2 vS^2 vR^2 ) 0,5] / [1- β^2 vR^2 ] (51) A relação inversa encontra-se em Cardoso e Fernandes [19] β = (1- 1/FS) / [vR^2 + (1/FS)^2 vS^2 ]0,5^ (52) A probabilidade de ruína pF é função direta de β, conforme Ang & Cornell [20] e Ang &Tang [21]. pf = 1- Φ(β) (53) No caso de distribuições lognormais de resistência (R) e de solicitação (S) demonstra-se que: FS = exp(β(ln((1+vR^2 )(1+vE^2 ))0.5)-1/2(ln(1+vE^2 )-ln(1+vR^2 ))) (54) Ou, alternativamente, β = [ln(FS)-1/2ln(1+vR^2 )+1/2*ln(1+ vS^2 )]/[ln(1+vR^2 )+ln(1+ vS^2 )]0.5^ (55) Para determinar a probabilidade de ruína pf a partir de β pode-se utilizar a expressão EXCEL:
pf = 1- DIST. NORM (β,0,1,VERDADEIRO) (56) Uma vez determinados os valores de (vS) e (vR), o fator de segurança e a probabilidade de ruína não podem ser tratados separadamente: as expressões (51), (52) e (56) mostram sua interdependência. Do mesmo modo, no caso de distribuição estatística lognormal, as fórmulas (53), (54) e (56) relacionam os valores de β e FS, mostrando novamente a interdependência entre fator de segurança e probabilidade de ruína.
A Figura 8 apresenta a relação entre o fator de confiabilidade β e o inverso da probabilidade de ruína:
pf
Densidade probabilidade
fS(s) fR(r) A
0 μS μR s, r
μM = (FS -1) = β. σM
(^110) 100 1,000 10, 100, 1,000, N = 1/ pf (inverso da probabilidade de ruína)
Fator de confiabilidade (
β
Figura 8. Relação entre fator de confiabilidade e probabilidade de ruína N = 1/pf.
Rk = 847 (1 – 1,645 x 0,269) = 472,2 kN
Fk =
k
k
S
R
Fk = (γf. γm)
γf = 1,40 → valor fixado pela NBR 8681 [23] γm = 1,781 /1,4 = 1,272 > 1,2 (Tabela 5) → valor satisfatório pois atende ao mínimo fixado. Neste caso os fatores parciais de segurança que dependem da variabilidade de (S) e (R) seriam:
γS = (1 + αS vS) = 1+1,645 x vS = 1+ 1,645 x 0 = 1, γR = ( (^1) R vR)
− α
( 1 1 , 645. 0 , 269 )
O fator parcial (γm) pode ser também determinado a partir da expressão (32):
γm = 3,196 /(1,000 x 1,794 x 1,40 ) = 1,272 > 1,2 (Tabela 5) → valor satisfatório. Portanto, o estaqueamento da ponte executado apresenta fator de segurança médio e fatores de segurança parciais que atendem aos mínimos fixados nas normas brasileiras.
O fator de confiabilidade β associado ao fator de segurança médio FS seria:
β = (1- 1/FS) / [vR^2 + (1/FS)^2 vS^2 ]0,5^ = (1-1/3,196)/ [0,269^2 + (1/3,196)^2 x 0^2 ]0,5^ = 2, Utilizando-se a expressão (56) verifica-se que a probabilidade de ruína correspondente seria:
pf = 1- DIST. NORM (2.55,0,1,VERDADEIRO) = 0,0054 =
Vick [24] estabelece três tipos de interpretações para este valor: a freqüencista , a subjetiva (ou bayesiana) e a motivacional. A interpretação freqüencista considera que dada uma população de 185 estacas uma romperia com a aplicação da carga de 265 kN. No caso, a população real é de 12 estacas sendo improvável a ocorrência de ruptura. Assim, a probabilidade de ruína de uma em 185 estacas é aceitável.
Para mostrar a importância de se verificar a confiabilidade implícita no dimensionamento tradicional baseado em fator de segurança, considere-se a possibilidade legal de se adotar FS = 1,6 indicado na Tabela 3 para obra com prova de carga. Note-se que sem prova de carga o fator deveria ser igual a dois.
De fato, se o aumento do número de provas de carga justifica diminuir o valor do fator de segurança , esta seria uma possibilidade mais que justa neste caso onde todas as estacas do estaqueamento foram submetidas à prova de carga.
Adotando-se então o fator de segurança prescrito para obras com provas de carga tem-se: FS = 1,60 (Tabela 3) NBR 6122, que resultaria em nova carga admissível de: Padm = μR / FS = 847 / 1,6 = 529 kN. Neste caso, o novo fator de confiabilidade seria: β = (1- 1/FS) / [vR^2 + (1/FS)^2 vS^2 ]0,5^ = (1-1/1,6)/ [0,269^2 + (1/1,6)^2 x 0^2 ]0,5^ = 1, pf = 0,0826 → 1/12 ou seja, a teoria de confiabilidade indica que uma estaca, na população de 12 estacas, romperia com a aplicação de uma solicitação igual à nova carga admissível de 529 kN!
Acaso ou não, a tabela 11 mostra que, realmente, uma estaca (estaca E3) apresentou carga de ruptura de 500 kN, comprovando a aplicabilidade dos conceitos expostos e a ineficácia da prescrição legal da norma.
Conclui-se que, sob o aspecto técnico do problema, não se pode fixar o fator de segurança médio sem associar a este número a probabilidade de ocorrência de ruína, em cada caso específico de obra.
7. OTIMIZAÇÃO DO FATOR DE SEGURANÇA.
As expressões (33) e (38) mostram que o fator de segurança (FS) é produto de dois fatores: (Fk) arbitrado em norma, e (Fv) que depende de vR e vS. O Eurocode EN 1990 denomina calibração ao processo de determinação dos fatores parciais γf e γm que compõem (Fk). O procedimento geral de calibração, que depende da experiência local de cada país, pode ser visto em Gulvanessian et ali.[25]. Portanto, o valor ótimo
do fator de segurança (FS), sob o aspecto legal das normas, depende do valor ótimo de (Fk) que deve atender à condição (23).
Na análise sob o aspecto econômico-financeiro o valor ótimo de (FS) corresponde à obra de custo total mínimo. Entende-se por custo total à soma do custo inicial da obra mais o custo do risco.
De acordo com a norma AS/NZS 4360:19999[26], risco é a eventualidade de algo acontecer que produzirá um impacto nas metas, medido em termos de probabilidade de ocorrência e conseqüências. Assim, o custo do risco, ou simplesmente risco, é igual ao produto da probabilidade de ruína vezes o custo das conseqüências econômico-financeiras da ruína. No cálculo deste custo deve-se levar em conta a vulnerabilidade da população analisada ao evento de ruína. Quanto à importante questão de interpretação da probabilidade, a Norma Australiana opta pela definição da escola freqüencista.
O procedimento de otimização de risco baseada em confiabilidade pode ser encontrado no excelente trabalho de Verzenhassi [27]. Para ilustrar este procedimento de otimização considere-se o caso da obra de ponte com fundação em estaca do item anterior, na qual se conhece a carga vertical total atuante.
Neste caso, supõe-se que a curva de distribuição de resistência (μR, σR e vR) das estacas e o coeficiente de variação da solicitação (vR) sejam os mesmos valores já apresentados. Tendo em vista a simplicidade do problema sugere-se utilizar o seguinte procedimento:
a) Fixar o número de estacas e calcular as solicitações e o fator de segurança resultante; b) Determinar as quantidades de serviços e materiais da superestrutura e da fundação; c) Determinar os custos da superestrutura e da fundação; e) Determinar o custo inicial da obra = custo superestrutura + custo fundação; f) Determinar pf = probabilidade de ruína da fundação, associada ao fator de segurança resultante; g) Determinar o custo conseqüência em caso de ruína (incluindo a vulnerabilidade); h) Determinar o custo risco = (pf x custo conseqüência); i) Determinar o custo total = custo inicial + custo risco ; j) Repetir os passos (a) até (i) para valor crescente de número de estacas; k) Determinar o ponto da curva de custo total mínimo e determinar o fator de segurança ótimo.
7.1 Exemplo de aplicação do procedimento de otimização do fator de segurança.
No exemplo da ponte de madeira ficou evidenciado que, sob aspecto técnico, a probabilidade de ruína de 0,0826 no projeto de seis estacas com fator de segurança de 1.6, legalmente possível segundo a Norma NBR 6122/1996, não era satisfatório. Por outro lado, o estaqueamento realmente executado, de 12 estacas, com fator de segurança de 3,2 e uma probabilidade de ruína associada de 0,0054 atendia ambos os aspectos legal e técnico.
A aplicação do procedimento descrito de análise de custo total, para estes e outros projetos, permite determinar o fator de segurança ótimo sob aspecto econômico – financeiro. Naturalmente, a solução ótima de engenharia deve atender simultaneamente aos três aspectos: técnico, legal e econômico – financeiro.
Para fins de análise deste exemplo de aplicação considera-se que a carga vertical total da ponte é constante e igual a (12 x 265) = 3180 kN em todos as soluções de estaqueamento analisadas. Para cada valor de número de estacas, projetado para suportar a carga total da ponte, pode-se determinar o fator de segurança, a probabilidade de ruína e o custo total incluindo o custo do risco. Os resultados encontram-se nas Tabelas 11 e 12 e as análises nos gráficos das Figuras 10, 11 e 12. Destacam-se em negrito os resultados correspondentes ao menor custo total para as condições de mercado fixadas na análise.
A Tabela 11 apresenta os resultados da análise de otimização para número crescente de estacas. A coluna dois da Tabela 11 apresenta a solicitação (S) supondo que a carga é igualmente distribuída entre as estacas. Para cálculo do custo supõe-se que o custo da superestrutura seja R$ 120000,00 e que cada estaca de madeira tem um custo unitário de R$ 600,00. Para fins de cálculo do risco supõe-se que o custo da conseqüência da ruína é igual ao custo inicial da obra (reconstruir a ponte).
Note-se que, no dimensionamento, considerou-se coeficiente de variação da solicitação igual a zero. O fator parcial de minoração de resistência foi fixado em 1,2 de acordo com a Tabela 5. Para 10 estacas, o fator de segurança ótimo de 2,7 é composto pelos seguintes fatores parciais:
Fk= 1,48; Fv= 1,80; γf = 1,24; γm= 1,20; γS= 1,00; γR= 1, Verifica-se que o fator parcial γf = 1,24 < 1,4 valor fixado pela NBR 8681 → não é satisfatório. A Figura 10 apresenta as curvas de custo inicial e total em função do inverso da probabilidade de ruína. Sobre a curva de custo total verifica-se que o mínimo foi de R$ 127292,00. Na escala secundária apresenta-se a curva de número de estacas em função da probabilidade de ruína.
Figura 10. Curvas de custos e número de estacas em função da probabilidade de ruína. A Figura 11 apresenta a curva de custo inicial e total em função do fator de segurança. A Figura 12 apresenta as mesmas curvas em função do número de estacas. Ambas as figuras mostram que as curvas apresentam custo mínimo para fator de segurança 2,7 correspondente a 10 estacas.
A presente análise de otimização do fator de segurança permite concluir que a solução de 10 estacas é a de menor custo total de mercado levando-se em conta o risco proveniente das variabilidades consideradas. Contudo, nota-se que o fator parcial γf = 1,24 desta solução não atendeu ao valor mínimo legal de 1,4 exigido na Norma Brasileira NBR 8681. Entretanto, se comparada com a Tabela 7 da Norma Dinamarquesa DS 415 verifica-se que, na média entre carga permanente e móvel, este fator seria aceitável.
Figura 11. Curvas de custos e fator de segurança Figura 12. Curvas de custos e número de estacas.
Inverso probabilidade ruína (1/pf)
Custos (R$)
Numero estacas
Custo total Custo inicial
Numero estacas
127292
100000
120000
140000
160000
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4. Fator segurança médio (FS)
Custos (R$)
Custo total Custo inicial
127292
10
100000
120000
140000
160000
0 5 10 15 20 Numero total estacas
Custos (R$)
Custo total Custo inicial
Finalmente, as Tabelas 11 e 12 mostram que para 12 estacas, FS = 3,2 e pf = 0,0054 atendendo simultaneamente, às condições legais e técnicas (de segurança e confiabilidade) com custo total praticamente igual à da solução ótima, sob o aspecto econômico – financeiro.
Conclui-se que a solução otimizada que atende simultaneamente aos aspectos técnicos, legais e de mercado é a solução que foi executada com 12 estacas. O fator de segurança ótimo é 3,2.
8. CONCLUSÕES.
A engenharia é ciência e arte: por mais difícil que sejam as previsões e decisões deve-se tentar fixar fatores de segurança associados às conseqüências da ruína cuja probabilidade seja compatível com as variabilidades reais de resistências e solicitações esperadas.
No dimensionamento baseado na carga admissível não se pode fixar o valor de fator de segurança médio da obra sem explicitar a probabilidade de ruína a ele associado. O fator de segurança médio e a probabilidade de ruína de uma obra são variáveis inseparáveis_._ No dimensionamento a partir de fatores de segurança parciais, a coerência entre o projeto e a execução exige que se especifique o valor característico e o desvio padrão da resistência, além da probabilidade de ruína esperada.
A otimização do fator de segurança do ponto de vista econômico – financeiro e de mercado conduz à solução de custo total mínimo. Esta solução deve ser analisada considerando aspectos técnicos relacionados à segurança e à confiabilidade e, aspectos legais relativos aos fatores de segurança mínimos prescritos em Normas. A solução final a ser adotada no projeto deve atender simultaneamente a todos estes aspectos.
O público em geral, o investidor, o projetista e o executor devem estar cientes de que a engenharia é uma atividade de risco, e devem trabalhar no sentido de minimizar a probabilidade de ruína estimada. Os riscos esperados decorrentes desta análise devem ser cobertos por seguros adequados.
Espera-se que este paradigma de otimização da segurança e confiabilidade de estruturas facilite a escolha mais racional do fator de segurança de uma obra de Engenharia.
REFERÊNCIAS
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[3] Freudenthal, A. M. (1947). The Safety of Structures. Transactions, American Society of Civil Engineers, Paper No. 2296, Vol.112, 125-180.
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[7] Rankine, J.B. (1861) – A Manual of Civil Engineering. 5th edn. 1867, London: Griffin. TE. R. Gerstein Library, 777-899.
[8] ABNT – NBR 6122/1996 – Projeto e execução de fundações: Procedimento.
[9] DS 415. Norm for fundering (Code of practice for foundation engineering).
[10] Shigley, J. E. & Mischke, C. R. (1989) - Mechanical Engineering Design. 5th ed., McGraw Hill, Inc. New York. (ISBN: 0-07-056899-5, Library of Congress: TJ 320.S5 1989).
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[13] Freudenthal, A. M., Garrelts, J. M. and Shinozuka, M. (1966). The Analysis of Structural Safety. Journal of the Structural Division, ASCES, 92( STI), 267-325.
