Sequêcias e Séries de funções, Notas de estudo de Química

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NOTAS DE AULA

SEQ UENCIAS E S¨ ERIES DE FUNC´ ¸ OES˜

Cl´audio Martins Mendes

Primeiro Semestre de 2006

Sum´ario

• 1 Seq¨uˆencias e S´eries de fun¸c˜oes
  • 1.1 Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
  • 1.2 S´eries de Fun¸c˜oes
  • 1.3 S´eries de Potˆencias
  • 1.4 Representa¸c˜ao de fun¸c˜oes como s´eries de potˆencias
  • 1.5 S´erie Binomial

1

1

y

x

f 3 f 2 f 1 °°

°°

°°

°°

°°

°

6

Observa¸c˜ao: Para cada x 0 ∈ A fixado, obtemos uma seq¨uˆencia num´erica (fn(x 0 )) que pode ou n˜ao ser uma seq¨uˆencia num´erica convergente.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Seja (fn) uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes definidas em A, subconjunto de R. Seja B ⊂ A e f uma fun¸c˜ao com valores reais, definida em um conjunto contendo B. Di- zemos que a seq¨uˆencia (fn) converge sobre B para f se para cada x ∈ B, fixo, a seq¨uˆencia num´erica (fn(x)) converge para f (x). Neste caso chamaremos a fun¸c˜ao f de limite, sobre B, da seq¨uˆencia (fn).

Nota¸c˜ao: (fn) → f sobre B ou (^) nlim→∞ fn = f sobre B. Observa¸c˜ao 1: Notemos que f est´a univocamente determinada, isto ´e, ´e de fato uma fun¸c˜ao. Observa¸c˜ao 2: [(fn) → f sobre B ] ⇔ [ Para cada x ∈ B e para cada ≤ > 0, ∃N 0 ∈ N, N 0 = N 0 (≤, x), tal que para n ≥ N 0 temos |fn(x) − f (x)| < ≤ ] Observa¸c˜ao 3: Este tipo de convergˆencia de seq¨uˆencia de fun¸c˜oes ´e chamado tamb´em de convergˆencia ponto a ponto. Exemplo 1. Consideremos A = R e fn : R → R dadas por fn(x) = xn. Fixado x ∈ R temos que (^) nlim→∞ fn(x) = lim n→∞^ xn = 0. Logo, tomando-se f : R → R dada por f (x) = 0, temos que (fn) → f sobre R, ponto a ponto.

°° °°

°°

°°

°°

°°

°°

f

f 1

6

f 2 f 3 f 4 x

y

x 0

Exemplo 2. Consideremos A = [0, 1] e fn : A → R dadas por fn(x) = xn. Fixado x ∈ A temos que (i) Se x = 1 ent˜ao lim n→∞ fn(1) = lim n→∞ 1 n^ = 1.

(ii) Se 0 ≤ x < 1 ent˜ao lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ xn^ = 0.

Logo, tomando-se f : A → R dada por f (x) =

0 , se x 6 = 0 1 , se x = 1 temos que (fn) → f sobre B = A = [0, 1], ponto a ponto.

x 0

f 1 f 2 f 3 °°

°°

°°

°°

°°

°°

y

1 x

6

Exemplo 3. Consideremos A = R e fn : R → R dadas por fn(x) = x

(^2) + nx n. Fixado x ∈ R temos que lim n→∞ fn(x) = lim n→∞^ x

2 n +^ x^ =^ x. Logo, tomando-se^ f^ :^ R^ →^ R^ dada por f (x) = x, temos que (fn) → f sobre R, ponto a ponto.

≤

≤

fn f

y

x

6 ? 6

?

6

Observa¸c˜ao 2. Segue imediatamente das defini¸c˜oes que convergˆencia uniforme implica em convergˆencia ponto a ponto. A rec´ıproca ´e falsa, como mostram os exemplos a seguir.

Exemplo 1. Sejam A = R e fn : R → R dada por fn(x) = xn. Observemos que (fn) → 0 quando n → ∞, isto ´e, a seq¨uˆencia (fn) converge ponto a ponto para a fun¸c˜ao f (x) = 0 em R. Por´em a convergˆencia n˜ao ´e uniforme em R. De fato, suponhamos, por absurdo, que (fn) → 0 uniformemente em R. Ent˜ao, dado por exemplo, ≤ = 1, deveria existir um N 0 ∈ N tal que se n ≥ N 0 ent˜ao | xn − 0 | < 1, para todo x ∈ R. Em particular | (^) Nx 0 | < 1, ∀x ∈ R ou equivalentemente |x| < N 0 , ∀x ∈ R, o que ´e um absurdo. Portanto n˜ao existe um N 0 ∈ N tal que |fn(x) − f (x)| < ≤ = 1, ∀x ∈ R. Logo a convergˆencia n˜ao ´e uniforme.

x

≤ n≤ x (^0) ≤

(^6)? ?^6

fn

f 2

y f 1

°°

°°

°°

°°

°°

°°

°°

6

Exemplo 2. Consideremos A = [0, 10] e fn : A → R dada por fn(x) = xn. Observemos que como no caso anterior (fn) → f = 0, ponto a ponto sobre A = [0, 10]. Analisemos se a convergˆencia ´e uniforme. Para isto, dado ≤ > 0 tomemos N 0 ∈ N tal que

N 0 > (^10) ≤. Ent˜ao, se n > N 0 temos |fn(x) − f (x)| = | xn| ≤ (^10) n ≤ (^) N^100 < ≤ mostrando que (fn) → f , uniformemente sobre A = [0, 10]. Notemos aqui que o mesmo tipo de racioc´ınio poderia ser usado para o caso de A = [a, b] qualquer.

x

≤ (^10) ≤

6 ? ?

6

fn

f 3

f 2

y f 1

°°

°°

°°

°°

°°°

6

Exemplo 3. Consideremos A = [0, 1], fn : A → R, dada por fn(x) = xn^ e f : A → R,

definida por f (x) =

0 , se x < 1 1 , se x = 1 Observemos que (fn) → f pontualmente em A = [0, 1], mas a convergˆencia n˜ao ´e uniforme. De fato, suponhamos, por absurdo, que a convergˆencia seja uniforme. Dado ≤ tal que 0 < ≤ < 1. Por maior que seja n tomamos x 0 ∈ [0, 1] tal que ≤^1 /n^ < x 0 < 1 Logo, |fn(x 0 ) − f (x 0 )| = |xn 0 − 0 | = xn 0 > ≤ Portanto, a convergˆencia n˜ao ´e uniforme.

°°

°μ

fn(x) = xn

≤^1 /n x 0 ?

6 ≤

?

6 ≤ (^) -

6 1

(^1) x

y

°°

°°

°°

°°

°°

°

Neste caso, (fn) → f ponto a ponto sobre A, mas a convergˆencia n˜ao ´e uniforme (Tente veri- ficar). Mais adiante teremos uma outra maneira de comprovar que neste caso a convergˆencia n˜ao pode ser uniforme.

1

x 0 f x

y

≤ ≤ ?

6?

6

f 3

f 2

f 1

@ @

@@

@@

@@

@@

@@

6

1 1 - (^132)

Exemplo 7. Sejam A = R e fn : R → R, definida por f(x) =

1 − (^1) n |x| , se |x| < n 0 , se |x| ≥ n

e f : R → R dada por f (x) = 1, ∀x ∈ R. Ent˜ao (fn) → f ponto a ponto sobre R, mas n˜ao uniformemente em R. (Tente resolver)

−n − 2 − 1

1

1 2 n

f 1 f 2 fn

y

x

≤

(^6)? (^6)?

≤

x 0

°^ f °° ° @@

@@

6

Exemplo 8. Consideremos A = (0, 1], fn : A → R, dada por fn(x) = (^) nx^1 e f : A → R, definida por f (x) = 0, para todo x ∈ A. Ent˜ao (fn) → f pontualmente em A, mas n˜ao converge uniformemente em A. De fato, suponhamos, por absurdo, que a convergˆencia fosse uniforme. Logo, dado por exemplo ≤ =^12 , existiria um N 0 ∈ N tal que para todo n ≥ N 0 ter´ıamos |fn(x) − f (x)| < 1 /2,

para todo x ∈ A = (0, 1], isto ´e, | (^) nx^1 | < 12 , ∀x ∈ A = (0, 1].

Assim, em particular, | (^) N^10 x| < 12 , ∀x ∈ A = (0, 1].

Logo, 0 < (^) x^1 x < N 2 0 , ∀x ∈ (0, 1], o que ´e um absurdo. Portanto n˜ao existe tal N 0 , isto ´e, a convergˆencia n˜ao ´e uniforme.

1

f x 0

6 ? 6 ?

≤

≤ x

fn

f 2

f 1

y

6

A seguir vamos apresentar algumas resultados baseados na no¸c˜ao de convergˆencia uni- forme.

Teorema 1.1.4. Suponhamos que (fn) seja uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis sobre [a, b] e que (fn) → f uniformemente sobre [a, b], com f integr´avel sobre [a, b]. Ent˜ao ∫ (^) b a f (x) dx = lim n→∞

∫ (^) b a fn(x) dx

ou seja (^) ∫ (^) b

a n^ lim→∞ fn(x)^ dx^ = lim n→∞

∫ (^) b a fn(x) dx

Prova: Dado ≤ > 0, como (fn) → f uniformemente sobre [a, b], existe N 0 = N 0 (≤) ∈ N tal que se n ≥ N 0 ent˜ao |fn(x) − f (x)| < (^) b −≤ a para todo x ∈ [a, b]. Logo, se n ≥ N 0 , temos:

|

∫ (^) b a fn(x) dx −

∫ (^) b a f (x) dx| = |

∫ (^) b a (fn(x) − f (x)) dx|

≤

∫ (^) b a |fn(x) − f (x)| dx ≤

∫ (^) b a

b − a dx^ =^ ≤ Assim,

nlim→∞

∫ (^) b a fn(x) dx =

∫ (^) b a f (x) dx §

y

x

f ≤

≤ 6 ? 6 ?

@@

@@

@@

@@

@@ @ (^) °° °° °° °° °° °

°°

°°

°°

°°

°°

@@ ° @@ @@ @@ @@ @

fn

f 3

f 2

f 1

°°

°°

°°

°°

°°

°

@@

@@

@@

@@

@@ @

6

Exemplo 2. Mesmo se f for diferenci´avel, podemos n˜ao ter a igualdade f ′(x) = lim n→∞ f (^) n′(x). De fato, consideremos fn : R → R dada por fn(x) =^1 n.sen (n^2 x) e f : R → R definida por f (x) = 0, x ∈ R. Observemos que apesar de fn → f uniformemente em R e f ser diferenci´avel, n˜ao temos

nlim→∞ f^ n′(x) =^ f^ ′(x), pois^ f^ n′(x) =^ n^ cos(n^2 x) e este limite nem sempre existe ( por exemplo, ele n˜ao existe quando x = 0).

fn

y

≤

≤

?

6?

6

f 2

f 1

• x f

6

Vejamos ent˜ao qual ´e o resultado que permanece para o caso da diferenciabilidade.

Teorema 1.1.6. Suponhamos que (fn) seja uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes diferenci´aveis sobre [a, b] e que (fn) converge ponto a ponto sobre [a, b] para f. Suponhamos ainda que (f (^) n′) converge uniformemente sobre [a, b] para alguma fun¸c˜ao g e que f (^) n′ seja cont´ınua, ∀n ∈ N. Ent˜ao f ´e diferenci´avel sobre [a, b] e

f ′(x) = lim n→∞ f (^) n′(x)

ou seja, [ lim n→∞ fn(x)]′^ = lim n→∞ f (^) n′(x)

Prova: Do teorema anterior, g ´e cont´ınua sobre [a, b]. Aplicando o teorema 1.2.4 ao intervalo [a, x] temos: ∫ (^) x a g(t) dt = lim n→∞

∫ (^) x a f (^) n′(t) dt = lim n→∞[fn(x) − fn(a)] = f (x) − f (a)

onde, na segunda igualdade aplicamos o Teorema Fundamental do C´alculo. Agora, f (x) − f (a) =

∫ (^) x a g(t) dt = G(x) − G(a)

onde G(x) ´e tal que G′(x) = g(x) (Teorema Fundamental do C´alculo). Assim f ′(x) = G′(x) = g(x) = lim n→∞ f (^) n′(x), ∀x ∈ [a, b]

. §

1.2 S´eries de Fun¸c˜oes

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dada a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (fn) definidas em A ⊂ R podemos construir uma outra seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (Sn(x)) tal que Sn(x) = f 1 (x) + · · · + fn(x) = ∑^ n k=

fk(x). Tal

seq¨uˆencia ´e denominada s´erie de fun¸c˜oes associada `a seq¨uˆencia (fn) e indicada por

∑^ ∞

n=

fn. Observa¸c˜ao: Para cada x 0 ∈ A a s´erie (Sn(x 0 )) ´e uma s´erie num´erica.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Diremos que a s´erie de fun¸c˜oes

∑^ ∞

n=

fn converge pontualmente para

f em A se a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (Sn) converge pontualmente para f , isto ´e, se para cada x ∈ A a s´erie num´erica

∑^ ∞

n=

fn(x) converge para f (x).

Defini¸c˜ao 1.2.3. Diremos que a s´erie de fun¸c˜oes

∑^ ∞

n=

fn converge uniformemente para

f em A se a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (Sn) converge uniformemente para f em A.

∫ (^) b a f (t) dt =

∫ (^) b a

∑^ ∞

n=

fn(t) dt =

∫ (^) b a k^ lim→∞

∑^ k n=

fn(t) dt Teo =.^1.^1.^4

= lim k→∞

∫ (^) b a

∑k n=

fn(t) dt = lim k→∞ ∑^ k n=

∫ (^) b a fn(t) dt =

=

∑^ ∞

n=

∫ (^) b a fn(t) dt

De (iii): Cada fun¸c˜ao f 1 + · · · + fn ´e diferenci´avel, com derivada f 1 ′ + · · · + f (^) n′ cont´ınua. Por hip´otese, a seq¨uˆencia f 1 ′, f 1 ′ + f 2 ′, f 1 ′ + f 2 ′ + f 3 ′, · · · converge uniformemente sobre [a, b] para uma fun¸c˜ao. Pelo Teorema 1.1.6:

f ′(x) = lim n→∞(f 1 ′(x) + f 2 ′(x) = · · · + f (^) n′(x)) =

∑^ ∞

1

f n ′(x)

isto ´e, (

∑^ ∞

n=

fn)′(x) =

∑^ ∞

n=

f (^) n′(x) §

Observa¸c˜ao: At´e aqui este corol´ario pode ter restri¸c˜oes em suas aplica¸c˜oes, desde que temos dificuldades para dizer quando a seq¨uˆencia f 1 , f 1 + f 2 , f 1 + f 2 + f 3 , · · · converge uniforme- mente. O resultado a seguir fornecer´a a mais importante condi¸c˜ao que assegura convergˆencia uniforme.

Teorema 1.2.5. (Crit´erio de Weierstrass ou Teste M de Weierstrass) Seja (fn) uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes definidas em A ⊂ R. Suponhamos que exista uma seq¨uˆencia num´erica (Mn), tal que

|fn(x)| ≤ Mn , ∀x ∈ A

Se a s´erie num´erica

∑^ ∞

n=

Mn for convergente, ent˜ao a s´erie de fun¸c˜oes

∑^ ∞

n=

fn converge absoluta

e uniformemente para uma fun¸c˜ao f em A.

Prova: Como a s´erie num´erica

∑^ ∞

n=

Mn converge, segue, do crit´erio da compara¸c˜ao, que para cada

x ∈ A a s´erie

∑^ ∞

n=

|fn(x)| converge. Logo, a s´erie

∑^ ∞

n=

fn converge absolutamente para uma

fun¸c˜ao f em A, isto ´e, f (x) =

∑^ ∞

n=

fn(x).

Para todo x ∈ A temos:

|f (x) − SN (x)| = |

∑^ ∞

n=

fn(x) −

∑^ N

n=

fn(x)| = |

∑^ ∞

n=N +

fn(x) |

≤

∑^ ∞

n=N +

|fn(x)| ≤

∑^ ∞

n=N +

Mn

Como

∑^ ∞

1

Mn converge, o n´umero

∑^ ∞

n=N +

Mn pode ser tomado arbitrariamente pequeno, to-

mando N suficientemente grande. (

∑^ ∞

n=

Mn − (M 1 + · · · + Mn) =

∑^ ∞

n=N +

Mn )

ou seja: dado ≤ > 0 existe N 0 ∈ N tal que se n ≥ N 0 , ent˜ao

∑^ ∞

n=N +

Mn < ≤, assim, para n ≥ N 0

temos: |f (x) − SN (x)| ≤

∑^ ∞

n=N +

Mn < ≤ , ∀x ∈ A

o que implica que a s´erie

∑^ ∞

n=

fn converge uniformemente para f em A. §

Exemplo 1. Consideremos A = [− 1 , 1] e fn : R → R dada por fn(x) = x 2 nn , n = 0, 1 , 2 , · · ·. Observemos que para todo x ∈ A = [− 1 , 1] temos

|fn(x)| = |x

n 2 n^ | ≤^

2 n Mas a s´erie num´erica ∑∞ n=0 21 n converge (s´erie geom´etrica de raz˜ao 12 ). Ent˜ao, pelo Crit´erio de Weierstrass, a s´erie de fun¸c˜oes ∑∞ n=0^ x 2 nn converge uniforme e absolutamente para uma fun¸c˜ao f em [− 1 , 1]. Neste caso particular podemos obter a fun¸c˜ao f explicitamente observando que ∑^ ∞ n=

xn 2 n^ =

∑^ ∞

n=

(x 2 )n^ = (^1) −^1 x 2

= (^2) −^2 x

Sabemos tamb´em que a s´erie

∑^ ∞

n=

n^2 converge.^ Assim, pelo Cri´erio de Weierstrass, a s´erie ∑^ ∞

n=

cos(nx) n^2 converge uniformemente sobre^ R

Com todas estas verifica¸c˜oes, a s´erie dada inicialmente pode ser derivada termo a termo, ou seja (

∑^ ∞

n=

sen (nx) n^3 )

′ =∑^ ∞

n=

(sen ( n 3 nx ))′^ =

∑^ ∞

n=

cos(nx) n^2 para todo x ∈ R.

Exerc´ıcios propostos

1. Seja (fn) sequˆencia de fun¸c˜oes definidas em [0, 1] de tal modo que:

fn(x) =

2 n^2 x, se 0 ≤ x ≤ 1 / 2 n − 2 n^2 (x − (^1) n), se 1 / 2 n ≤ x ≤ 1 /n 0 , se 1 /n ≤ x ≤ 1 (a) Desenhe o gr´afico de fn (b) Mostre que lim n→∞ fn(x) existe para cada x ∈ [0, 1], fixo arbitrariamente. (c) Calcule lim n→∞(

0 fn(x) dx) e

0 ( lim n→∞ fn(x)) dx (d) Deduza de (c) que a convergˆencia de (fn(x)) n˜ao ´e uniforme em [0, 1]

2. Verifique a convergˆencia e a convergˆencia uniforme da s´erie S(x) =

∑^ ∞

0

x (1 + x)n^ ,^ x^ ≥^0

3. Seja F (x) =

∑^ ∞

1

sen (nx) n^3.^ Prove que: (a) F (x) ´e cont´ınua, para todo x ∈ R (b) lim x→ 0 F (x) = 0. (c) F ′(x) =

∑^ ∞

1

cos(nx) n^2 ´e cont´ınua, para todo^ x^ ∈^ R

4. Seja Sn(x) = nxe−nx^2 , x ∈ [0, 1]. (a) Verificar se lim n→∞(

0 Sn(x) dx) =

0 ( lim n→∞ Sn(x)) dx (b) A convergˆencia ´e uniforme?

5. Seja fn(x) = (^) 1 +nx n (^2) x 2 , x ∈ [0, 1]. Pede-se: (a) lim n→∞(

0 fn(x) dx) (b)

0 ( lim n→∞ fn(x)) dx) (c) Mostre que a convergˆencia n˜ao ´e uniforme.

1.3 S´eries de Potˆencias

Nesta se¸c˜ao iremos trabalhar com um tipo especial de s´eries de fun¸c˜oes, chamadas s´eries de potˆencias. Vimos que: 1 + x + x^2 + · · · + xn^ + · · · = (^1) −^1 x , |x| < 1. Fazendo f (x) = (^1) −^1 x , ent˜ao f (x) = 1 + x + · · · + xn^ + · · ·. Dizemos: f ´e representada por esta s´erie de potˆencias. Por exemplo: f

= 1 +^12 + · · · +

)n

• · · · = (^1) −^1 2

Defini¸c˜ao 1.3.1. Uma s´erie de fun¸c˜oes da forma

∑^ ∞

n=

an(x − c)n^ , x ∈ R ´e dita uma

s´erie de potˆencias centrada em c. c ´e dito centro da s´erie e a 0 , a 1 ,... s˜ao ditos coeficientes da s´erie.

Por comodidade iremos trabalhar com s´eries de potˆencias centradas em 0 , mas os resultados que obteremos ser˜ao gerais. Temos ent˜ao

∑^ ∞

0

an xn^.

Teorema 1.3.2. Se

∑^ ∞

0

an xn^ converge em x 1 , x 1 6 = 0 , ent˜ao ela ´e absolutamente conver-

gente em todo x tal que |x| < |x 1 |.

Prova: Seja x fixado tal que |x| < |x 1 |.

−|x 1 | 0 |x 1 |

? x

∑^ ∞ 0

an xn 1 converge ⇒ (anxn 1 ) → 0 ⇒ ∃ M tal que |anxn 1 | < M , para todo n.