Sequências e Séries numéricas, Notas de estudo de Química

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NOTAS DE AULA

SEQ UENCIAS E S¨ ERIES NUM´ ERICAS´

Cl´audio Martins Mendes

Primeiro Semestre de 2006

Sum´ario

• 1 Seq¨uˆencias e S´eries Num´ericas
  • 1.1 Seq¨uˆencias Num´ericas
  • 1.2 S´eries Num´ericas
    • 1.2.1 O que ´e uma s´erie?
    • 1.2.2 Propriedades das s´eries
    • 1.2.3 Uma condi¸c˜ao necess´aria `a convergˆencia
  • 1.3 S´eries de termos n˜ao negativos
    • 1.3.1 Crit´erio da Compara¸c˜ao
    • 1.3.2 Crit´erio da Integral (Cauchy-1837)
    • 1.3.3 Crit´erio da Raz˜ao (ou de D’Alembert)
    • 1.3.4 Crit´erio da Raiz (ou de Cauchy)
  • 1.4 S´eries de termos quaisquer
    • 1.4.1 Convergˆencia Absoluta
    • 1.4.2 S´eries Alternadas
    • 1.4.3 Reagrupamentos - Parenteses
    • 1.4.4 Complemento

3. Sendo (an) onde

a 2 n− 1 = 7 a 2 n = 4

temos

Consideremos as seq¨uˆencias:

αn = n ; βn = (−1)n^ e γn =

n

Como fun¸c˜oes eles podem ter os seus gr´aficos tra¸cados, mas ele geralmente s˜ao pouco

significativos.

6

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°

°°

r

r

r

r r r

αn

6

r r r r r r

βn

6

r r (^) r r r r

γn

Uma representa¸c˜ao mais conveniente para seq¨uˆencias pode ser obtida colocando-se os

pontos a 1 , a 2 , a 3 ,... sobre uma reta.

0 α 1 α 2 α 3

β 1 =β 3 =· · · 0 β 2 =β 4 =· · ·

0 γ 4 γ 3 γ 2 γ 1

Esta representa¸c˜ao pode mostrar para onde a seq¨uˆencia “est´a indo”. A seq¨uˆencia (αn) “diverge”para infinito, a seq¨uˆencia (βn) ´e dita “oscilante”e a seq¨uˆencia

(γn) “converge para 0”.

Todas estas frases podem ser definidas precisamente, e ´e o que faremos.

Defini¸c˜ao 1.1.2. A seq¨uˆencia (an) ´e dita convergente com limite ` se para cada ε > 0

dado, ∃ N = N (ε) ∈ N tal que n > N ⇒ |an − `| < ε.

Observe: −ε < an − < ε ou seja − ε < an < ` + ε.

−ε^ an `+ε

A partir de um certo N todos os an est˜ao no intervalo (− ε , + ε). Da arbitrariedade do ε temos que os an v˜ao se juntando em torno de `.

Nota¸c˜ao: (^) nlim→∞ an = ou (an) →.

Observa¸c˜ao 1. Note que a defini¸c˜ao anterior ´e muito parecida com a de lim x→∞ f (x) = ` ,

vista anteriormente.

Observa¸c˜ao 2. Quando uma seq¨uˆencia tem limite 0 frequentemente ela ser´a dita infi-

nit´esima.

Exemplos:

n

→ 0 De fato: Dado ε > 0. Queremos: N ∈ N tal que n > N ⇒

n

< ε

mas n > N ⇒

n

N

Basta ent˜ao tomar N tal que

N

≤ ε [ ou seja: N ≥

ε

, N ∈ N ].

n n + 1

De fato: Dado ε > 0. Queremos: N ∈ N tal que n > N ⇒

∣∣^ n n + 1

∣∣ < ε

mas

∣∣^ n n + 1

n + 1 e

n > N ⇒ n + 1 > N + 1 ⇒

n + 1

N + 1

Basta tomar ent˜ao N ≥

ε

, N ∈ N.

Defini¸c˜ao 1.1.3. Uma seq¨uˆencia (an) ´e dita divergente quando ela n˜ao ´e convergente.

Teorema 1.1.5 (Teorema da Substitui¸c˜ao). Se

x^ lim→∞ f^ (x) =^ L ,^ ent˜ao^ nlim→∞ f^ (n) =^ L ,

L sendo um n´umero real, −∞ ou ∞.

6

x

y

r

r r

L

y = f (x)

Observa¸c˜ao: A rec´ıproca do resultado anterior ´e falsa, em geral. Por exemplo:

nlim→∞ sen(nπ) = 0^ mas^ xlim→∞ sen(πx)^ n˜ao existe

Exemplos:

1. Para p > 0 inteiro,

xlim→∞

xp^ = 0 ; logo (^) nlim→∞

np^

2. Como (^) xlim→∞(1 +

x )x^ = e , vale igualmente que (^) nlim→∞(1 +

n )n^ = e.

3. Como (^) xlim→∞ x

1 x (^) = 1 ent˜ao lim n→∞ n^

1 n (^) = 1 ou seja, lim n→∞

√ nn = 1.

4. (^) nlim→∞ 3 n^3 e^2 n^

Calculemos lim x→∞ 3 x^3 e^2 x

x^ lim→∞

3 x^3 e^2 x^ = lim x→∞ 9 x^2 2 e^2 x^ = lim x→∞ 18 x 4 e^2 x^ = lim x→∞

8 e^2 x^

onde aplicamos a Regra de L’Hˆopital repetidamente, sempre verificando em cada passagem

intermedi´aria que ainda temos uma forma indeterminada.

Pelo Teorema da Substitui¸c˜ao: lim n→∞

3 n^3 e^2 n^

Limites de seq¨uˆencias tˆem propriedades semelhantes a limites de fun¸c˜oes, vistos anterior-

mente. Enunciaremos algumas delas:

Se lim n→∞ an = L e (^) nlim→∞ bn = M ent˜ao:

(i) (^) nlim→∞(an ± bn) = L ± M

(ii) (^) nlim→∞(c an) = c L (c ∈ R)

(iii) (^) nlim→∞(an bn) = L · M

(iv) lim n→∞

an bn

L

M

(se M 6 = 0).

Outra propriedade an´aloga ao caso de limite de fun¸c˜ao ´e a seguinte:

• Se (^) nlim→∞ |an| = 0 ent˜ao (^) nlim→∞ an = 0 (∗)

Exemplos:

n

− 2 cos ( π n

n − 2 cos ( π n

n · cos ( π n

n · cos ( π n

n^2

n^2

n

n

4. Sendo r um n´umero real, tem-se (^) nlim→∞ rn^ =

0 se |r| < 1 1 se r = 1. Se |r| > 1 ou r = −1 a seq¨uˆencia (rn) ´e divergente. De fato:

xlim→∞ |r|x^ = 0^ se^ |r|^ <^ 1. Pelo Teorema da Substitui¸c˜ao, lim n→∞ |r|n^ = 0 ou seja lim n→∞ |rn| = 0.

(v) mon´otona se for de um dos tipos acima.

Defini¸c˜ao 1.1.7. • (an) ´e dita limitada superiormente se, para algum n´umero real

A , tem-se an ≤ A, ∀ n ∈ N.

• (an) ´e dita limitada inferiormente se, para algum n´umero real B , tem-se B ≤ an, ∀ n ∈ N.
• (an) ´e dita limitada se for limitada superior e inferiormente.

−→

a 1 a 2 a 3

a 4 a 5

a 5 a 3 a 4

a 2 a 1

seq¨uˆencia crescente seq¨uˆencia decrescente

a 2 a 1 a 3 A B a 1 a 3 a 2

seq¨uˆencia limitada superiormente

seq¨uˆencia limitada inferiormente

Teorema 1.1.8 (Teorema Fundamental sobre Seq¨uˆencias).

(a) Toda seq¨uˆencia crescente e limitada superiormente ´e convergente.

(b) Toda seq¨uˆencia decrescente e limitada inferiormente ´e convergente.

Observa¸c˜ao 1. No caso (a) se an ≤ A, ∀ n ∈ N ent˜ao an ≤ (^) nlim→∞ an ≤ A.

No caso (b) se B ≤ an, ∀ n ∈ N ent˜ao B ≤ lim n→∞ an ≤ an.

a 1 a 2 a 3 a 4 n^ lim→∞an^ A

B (^) nlim→∞an a 4 a 2 a 3

a 1

Observa¸c˜ao 2. Se (an) ´e crescente e n˜ao ´e limitada superiormente ent˜ao an supera qualquer

n´umero positivo, para todo ´ındice suficientemente grande, logo, diverge para ∞.

De modo an´alogo se (an) ´e decrescente e n˜ao ´e limitada inferiormente, ela diverge para

−∞.

Teorema 1.1.9. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em . Se (an) → e an pertence ao dom´ınio

de f , para cada n , ent˜ao (f (an)) → f (`).

æ δ^ - æ δ^ -

an `

æ ε^ - æ ε^ -

f (an) f (`)

j

f

N

HH PP XX (^) √√ √√ ªª^

!! *

Observa¸c˜ao: O teorema anterior em outra nota¸c˜ao:

Se lim n→∞ an = e lim x→ f (x) = f (`)

ent˜ao

lim n→∞ f (an) = f (`) = f ( lim n→∞ an )

Exemplos:

ln

n n + 1

n n + 1

• ln ´e cont´ınua em 1.

Assim

ln

n n + 1

→ ln 1 = 0

n

n

→ 1 e como

´e cont´ınua em 1 temos que

n

Propriedades: (Tente provar)

1. Se an ≤ bn para n ≥ k e se (an) → L e (bn) → M ent˜ao L ≤ M.

Logo, pela propriedade 2 anterior temos o resultado.

Propriedade: (^) nlim→∞ an+k = lim n→∞ an , para qualquer valor de k ∈ N. Em linguagem corrente: Isto significa que n˜ao se altera a convergˆencia de uma seq¨uˆencia quando se desconsidera um n´umero finito de termos.

Exerc´ıcios:

1. Considere sn = 1 +

n

. Prove que (sn) → ∞. Resolu¸c˜ao: Como (sn) ´e crescente, existem duas possibilidades, a saber:

(i) (sn) ´e limitada superiormente e assim pelo Teorema Fundamental para seq¨uˆencias (sn) seria convergente.

(ii) (sn) n˜ao ´e limitada superiormente e assim (sn) → ∞.

s 1 = 1 , s 2 = 1 +

, s 3 = 1 +

s 4 = 1 +

, s 5 ,...

s 8 = 1 +

︸ ︷︷ ︸^4

(^12)

4 · (^18)

Pode-se mostrar, por indu¸c˜ao, que

s 2 k > (k + 1) ·

, ∀ k ∈ N.

Assim (sn) n˜ao ´e limitada superiormente, portanto: (^) nlim→∞ sn = ∞.

2. Seja (an) constru´ıda pelo processo de indu¸c˜ao de modo que a 1 =

2 , a 2 =

... , an+1 =

2 + an. Mostre que (an) ´e convergente com limite 2. Provemos, por indu¸c˜ao, que (an) ´e crescente:

(i) a 1 < a 2

(ii) Suponhamos v´alido para n − 1 , isto ´e: an− 1 < an

an =

2 + an− 1 <

2 + an = an+.

Assim an < an+1 , portanto (an) ´e crescente.

Provemos, por indu¸c˜ao, que 3 ´e limitante superior de (an):

(i) a 1 =

(ii) Suponhamos an− 1 < 3. Ent˜ao

an =

2 + an− 1 <

portanto (an) ´e crescente e limitada superiormente e assim, pelo Teorema Funda- metal para seq¨uˆencias, (an) → ` , mas an+1 =

2 + an , logo

a^2 n+1 = 2 + an.

^2 = lim n→∞ a^2 n+1 = lim n→∞(2 + an) = 2 + lim n→∞ an = 2 +.

Assim ^2 = 2 + ⇒ = 2 ou = −1. Logo = 2 , pois sabemos que > 0. Portanto, (^) nlim→∞ an = 2.

3. (^) nlim→∞

n^2

n^2

n n^2

Vejamos alguns termos:

1 ,

Voltemos ao termo geral: 1 n^2

n^2

n n^2

1 + 2 + · · · + n n^2

soma de PA = n 2

n + 1 n^2

2 n

Assim lim n→∞

n^2

n n^2

= lim n→∞

2 n

E natural esperar que´ 1 2

2 n^

onde as ´ultimas reticˆencias pretendem indicar que a soma deve ser feita indefinidamente, isto

´e, trata-se de uma soma com infinitas parcelas.

Parece natural definir tal soma como sendo lim n→∞ sn. E o que faremos.´ Usando a f´ormula (que ser´a provada posteriormente)

a + ar + ar^2 + · · · + arn−^1 = a rn^ − 1 r − 1 ; r 6 = 1

para o nosso caso, em que a =

e r =

, vem:

sn =

2 n^

(^12 )n^ − 1 1 2 −^1

)n .

Assim (^) nlim→∞ sn = 1. Obtivemos, ent˜ao, com a defini¸c˜ao dada de soma infinita, o valor 1, que ´e o comprimento

da fita toda dada inicialmente.

Vamos `as defini¸c˜oes: Consideremos a seq¨uˆencia (an). A partir da seq¨uˆencia (an) vamos construir a seq¨uˆencia (sn) do seguinte modo:

s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 ...

sn = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + · · · + an .. .

Defini¸c˜ao 1.2.1. A seq¨uˆencia (sn) ´e chamada s´erie associada `a seq¨uˆencia (an). Cada

sn ´e referido como soma parcial de ordem n. Os termos an s˜ao chamados os termos

da s´erie.

Nota¸c˜ao:

n≥ 1

an ou

an ou

∑^ ∞

n=

an ou a 1 + a 2 + · · · + an + · · ·.

Exemplos:

1. (an) = ((−1)n+1). Constru´ımos a seq¨uˆencia (s´erie): s 1 = a 1 = 1 s 2 = a 1 + a 2 = 0 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 = 1 ...
2. (an) =

n

Constru´ımos a seq¨uˆencia (s´erie): s 1 = 1 s 2 = 1 +

.^2

sn = 1 +

n .. .

3. (an) =

10 n

Constru´ımos a seq¨uˆencia (s´erie): s 1 = 0, 6 s 2 = 0, 6 + 0, 06 = 0, 66 s 3 = 0, 66 + 0, 006 = 0, 666 .. . Observe que (sn) →

Escrevemos 2 3

Defini¸c˜ao 1.2.2. A s´erie

an ´e dita convergente se a seq¨uˆencia (sn) for convergente.

Caso contr´ario a s´erie ´e dita divergente.

Se a seq¨uˆencia (sn) ´e convergente para S dizemos que a s´erie

∑^ ∞

1

an ´e convergente com

soma S.

Aqui sn = 1 +

n

J´a vimos anteriormente que (sn) → ∞.

Algumas s´eries s˜ao importantes pois servem como referˆencia para o estudo de outras. A

S´erie Telesc´opica, a S´erie Harmˆonica s˜ao exemplos deste tipo. Outro exemplo seria a S´erie

Geom´etrica.

A S´erie Geom´etrica

n≥ 1

a rn−^1 = a + ar + ar^2 + · · · (a 6 = 0) ´e convergente se, e somente

se, |r| < 1 , caso em que sua soma ´e a 1 − r

Assim

a + ar + ar^2 + · · · + arn^ + · · · = a 1 − r , |r| < 1 (∗)

onde r ´e dito raz˜ao da S´erie Geom´etrica.

De fato:

(i) Se r = 1 ent˜ao sn = a + a + · · · + a = na , que tende a ∞ ou −∞ , conforme a > 0 ou a < 0. Portanto a s´erie ´e divergente.

(ii) Se r 6 = 1, temos: sn = a + ar + ar^2 + · · · + arn−^1 rsn = ar + ar^2 + ar^3 + · · · + arn.

Subtraindo membro a membro:

sn(1 − r) = a − arn^ = a(1 − rn).

Portanto sn = a (1 − rn) 1 − r

a 1 − r

a 1 − r

· rn^.

• Se |r| < 1, como vimos anteriormente, (rn) → 0 e assim

nlim→∞ sn^ = lim n→∞

a 1 − r

a 1 − r rn

a 1 − r

a 1 − r · (^) nlim→∞ rn^ =

a 1 − r

• Se |r| > 1 ou r = −1 , como vimos anteriormente, (rn) ´e divergente e pela express˜ao anterior de sn o mesmo acontece com ele. Logo a s´erie ´e divergente. §

Exemplo:

(a) Calcule a soma da s´erie geom´etrica

(b) Escreva o n´umero 4 , 728 = 4, 7282828 · · · como quociente de inteiros.

Resolu¸c˜ao:

(a) Para descobrir a raz˜ao, dividimos o segundo termo pelo primeiro

r =

4 5 − 2

Como a = −2 , usamos (∗) para obter a soma desejada

− 2 1 − (−^25 )

7 5

(b) Temos: 4 , 728 = 4 , 7282828 · · · = 4.7 + 0, 02828 · · · = = 4 , 7 + 0, 028 + 0, 00028 + 0, 0000028 + · · · =

=

28 103 1 − (^1012)

[usamos (∗) com a =

e r =

]

1.2.2 Propriedades das s´eries

Lembrando que uma s´erie nada mais ´e do que uma seq¨uˆencia, aplicando as propriedades

de seq¨uˆencias obt´em-se:

Teorema 1.2.3. Se

n≥ 1

an e

n≥ 1

bn s˜ao convergentes e c ´e um n´umero real, tem-se:

n≥ 1

(an ± bn) =

n≥ 1

an ±

n≥ 1

bn

∑^ ∞

n=

c an = c

∑^ ∞

n=

an.